Pertemuan 24 Himpunan Terbuka dan Tertutup

2. Pertemuan 24Himpunan Terbuka dan Tertutup Matakuliah : K0094 / Analisis Real Tahun : Tahun 2008

3. Sasaran Pengkajian tentang Himpunan Terbuka dan Tertutup sebagai Pengantar Topologi

4. Pokok Bahasan Himpunan Terbuka dan Tertutup

5. Definisi

6. Proposisi

7. Definisi

8. Proposisi

9. Definisi

10. Proposisi

11. Definisi

12. Lemma

13. Lemma

14. Teorema (Ketaksamaan Cauchy – Schwarz)

15. Teorema

16. Definisi Diberikan titik u dalam Rn dan bilangan positif r. Yang dimaksud dengan persekitaran simetrik dengan jejari r dari u adalah N(u) = {v dalamRn : d(u,v) < r}.

17. Definisi Diberikan A  Rn . Titik u dalamRn disebut titik interior dari A bila terdapat suatu persekitaran simetrik dari u yang termuat dalam A. Himpunan semua titik interior dari A disebut interior dari A, ditulis int A.

18. Definisi Himpunan bagian A dari Rn disebut terbuka dalam Rn bila setiap titik dalam A adalah titik interior dari A.

19. Proposisi Setiap persekitaran simetrik dari titik dalam Rn adalah terbuka dalam Rn .

20. Definisi Himpunan bagian A dari Rn disebut tertutup dalam Rn bila barisan {uk} dari titik – titik dalam A yang konvergen ke dalam Rn , maka u di A.

21. Contoh Ambil A = {(x,y) dalam R2 : -1  x  1, -1  y  1}. Maka A tertutup dalam Rn.

22. Teorema(Teorema Karakterisasi Komplemen) Himpunan bagian dari Rn adalah terbuka dalam Rn bila dan hanya bila komplemennya tertutup dalam Rn .

23. Teorema (i.)Gabungan dari himpunan – himpunan bagian yang terbuka dalam Rn adalah terbuka dalam Rn . (ii.)Irisan dari himpunan – himpunan bagian yang tertutup dalam Rn adalah tertutup dalam Rn .

24. Teorema (i.)Irisan dari himpunan – himpunan bagian yang terbuka dalam Rn yang banyaknya berhingga adalah terbuka dalam Rn. (ii.)Gabungan dari himpunan – himpunan bagian yang tertutup dalam Rn yang banyaknya berhingga adalah tertutup dalam Rn .

25. Definisi Misalkan A adalah himpunan bagian dari Rn . (i.)Titik u dalam Rn disebut titik eksterior dari A bila terdapat perserikatan simetrik dari u yang termuat dalam Rn \ A. Himpunan dari semua titik – titik eksterior dari A disebut eksterior dari A, ditulis ekst A. (ii.)Titik u dalam Rn disebut titik batas dari A bila setiap perserikatan simetrik dari u memuat titik dari A dan juga titik dari Rn \ A. Himpunan dari semua titik – titik batas dari A disebut batas dari A, ditulis bt A.

26. Contoh Dari definisi – definisi di atas jelas bahwa Rn = int A U ekst A U bt A dan int A = ekst (Rn \ A), bt A = bt (Rn \ A)

27. Teorema Misalkan A adalah himpunan bagian dari Rn . Maka : (i.)A terbuka dalam Rn bila dan hanya bila A  bt =  ; (ii.)A tertutup dalam Rn bila dan hanya bila bt A  A.