Pengantar Matematika Diskrit dan Himpunan Pertemuan I

1. Pengantar Matematika Diskritdan HimpunanPertemuan I oleh : Tedy Setiadi tedyasni@gmail.com

2. Tujuan : • memahami pengertian matematika diskrit • mengenal ruang lingkup kajian matematika diskrit dan penerapannya • mengenal berbagai refensi pustaka yang dapat diacu

3. Pokok Bahasan • Pengantar matematika diskrit • konsep dasar himpunan

4. Apakah Matematika Diskrit itu? • Cabang matematika yang mempelajari objek-objek diskrit. • Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Benda disebut diskrit jika: • -terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang • berbeda, atau • -elemen-elemennya tidak berkelanjutan (uncontinue). • Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) , graf, pohon

5. Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous). Contoh: himpunan bilangan riil (real) Kenapa penting belajar matematika diskrit ? • Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. • Matematika diskrit merupakan ilmu fondasinya dalam pendidikan informatika.

6. Matematika diskrit memberikan fondasi matematis untuk kuliah-kuliah lanjut di informatika. algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb. • Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika Matematika-nya orang Informatika...

7. Materi-materi dalam Struktur Diskrit: • Logika (logic) • Teori Himpunan (set)  • Matriks (matrice)  • Relasi dan Fungsi (relation and function)  • Induksi Matematik (mathematical induction)  • Algoritma (algorithms) • Teori Bilangan Bulat (integers)  • Barisan dan Deret (sequences and series) • Teori Grup dan Ring (group and ring) • Aljabar Boolean (Boolean algebra) • Kombinatorial (combinatorics)  • Teori Peluang Diskrit (discrete probability) • Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens • Teori Graf (graph – included tree)  • Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity) • Otomata & Teori Bahasa Formal (automata and formal language theory)

8. Beberapa contoh persoalan di dalam Matematika Diskrit • Berapa banyak account mail yahoo yang dapat dibuat? • Bagaimana menentukan jarak terpendek dari dua kota? • Buktikan bahwa perangko senilai n (n 8) rupiah dapat menggunakan hanya perangko 3 rupiah dan 5 rupiah saja

9. Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula? • “Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama?

10. Moral Cerita ini… • Mahasiswa informatika diharapkan mempunyai pemahaman yang kuat dalam Matematika Diskrit, agar tidak mendapat kesulitan dalam memahami kuliah-kuliah lanjutannya di informatika.

11. Lets begin.. • Teori Himpunan

12. Tujuan • dapat memahami konsep himpunan • dapat memahami berbagai variasi operasi pada himpunan • dapat memahami sifat operasi-operasinya.

13. Pengantar.. • Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika • Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class atau collection

14. Definisi • Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. • Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. • HMTIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

15. Notasi himpunan • Himpunan dinyatakan dg huruf capital • misal : A, B, G • Sedangkan elemennya dg huruf kecil a, b, c..,1,2,..

16. Penulisan Himpunan • Enumerasi menyebutkan semua anggota dari himpunan tersebut. contoh : Himpunan tiga bilangan ganjil pertama: A = {1,3,5}. Keanggotaan Himpuan xA : x merupakan anggota himpunan A; xA : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 2. Misalkan: A = {1,3,5,8}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}} maka 1A, {a, b, c} R, sedangkancR, {} K, sedangkan {} A

17. Beberapa simbol baku pada himpunan N = himpunan bilangan alami (asli) = { 0,1, 2, 3,... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks sedangkan U menyatakan himpunan semesta. Contoh: Misalkan U = {a, b, c, d, e} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {a, d, e}.

18. 3. Notasi PersyaratanA = {x | persyaratan x} contoh : A = {x | x bilangan bulat dengan x2 -1 =0} B = {x | x merupakan huruf vokal}

19. Diagram Venn untuk menyatakan relasi antar himpunan Misal U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. maka notasi dalam diagram Venn:

20. Himpunan Berhingga (Finite Set) • Himpunan yang mempunyai anggota berhingga disebut himpunan berhingga (finite set) • Sembarang himpunann yang anggotanya tak berhingga disebut himpunan tak berhingga(infinite set) • contoh A={a,b,c,d,e,f} adalah finite set, sedangkan Z adalah infinite set.

21. Kardinalitas menyatakan banyaknya anggota dari himpunan Notasi: n(A) atau A contoh : (i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 10}, atau B = {2, 3, 5, 7} maka B = 8 (iii) A = {t, {t}, {{t}},{{{t}}} }, maka A = 4

22. Himpunan kosong (null set) • Himpunan yang tidak mempunyai anggota atau kardinalitasnya = 0 • contoh A ={x|x bilangan bulat x2 + 1 = 0} maka n(A)= 0 • notasi himpunan kosong {} atau Ø

23. Himpunan Bagian (Subset)

27. Himpunan yang Ekivalen

28. Himpunan yang Sama

29. Himpunan Kuasa

30. Himpunan Saling Lepas

31. Operasi Terhadap Himpunan

44. Perampatan Operasi Himpunan

46. daftar pustaka • Doer Allan, Kenneth Levasseur, Applied Discrete Structures for Computer Science, Science Research Associates, Inc. Toronti,1985 • Kolman, Bernard, Robert C.Busby,Sharon Ross, Discrete Mathematical Structures,Prentice Hall,1987 • Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi kedua,Penerbit Informatika Bandung,2001 • Rosen,Kenneth H.,Discreete Mathematics and Its Application, The Random House Birkhauser Mathematics Series NewYork,1987

47. web site • http://syssci.atu.edu/math/faculty/finan/main2.pdf • http://www1.cs.columbia.edu/~zeph/3203s04/lectures.html • http://www.informatika.org/~rinaldi/Matdis/matdis.htm