1 / 55

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ. Fonksiyonların Asimptotlarını bulma. Asimptot nedir?. Kaç çeşit Asimptot vardır?. Asimptot nedir?. TANIM.

nuru
Download Presentation

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

  2. Fonksiyonların Asimptotlarını bulma Asimptot nedir? Kaç çeşit Asimptot vardır?

  3. Asimptot nedir? TANIM Bir (d) doğrusu veya bir (c) eğrisi ile bir y=f(x) fonksiyonun sonsuza giden uçları arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa, bu doğru veya eğriye, fonksiyonun bir ASİMPTOT ’ u denir.

  4. y 0 x y 0 x y=f(x) Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. (d) (d) y=b Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. y=f(x)

  5. y 0 x y 0 x y=f(x) Fonksiyon, +’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. (d) (c) y=f(x) Fonksiyon, +’ a (c) eğrisini takip ederek uzanmaktadır.

  6. y y 0 0 x x DÜŞEY ASİMPTOT x=a Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? a y=f(x) x=a y=f(x) Şekildeki eğrinin x=a noktasına yak-laşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? a

  7. TANIM aR olmak üzere, y=f(x) fonksiyonu için, veya oluyorsa, x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyo-nunun DÜŞEY ASİMPTOT’ u denir. Bir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesemez.

  8. eğrisinin düşey asimptotunun olup olma-dığını araştıralım. olur? x’ in hangi değeri için, ÖRNEK: ve x=1 doğrusu DÜŞEY ASİMPTOT’tur.

  9. Düşey asimptot, biçimindeki rasyonel fonksiyonlarda bulunur. Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir? Paydanın kökü ( veya kökleri) fonksiyonun düşey asimptotlarıdır.

  10. eğrisinin, düşey asimptotlarını araştıralım: ÖRNEK: Paydanın kökleri:  ve x2-4=0 x=-2 x=2 x=-2 x=2 düşey asimptotlar

  11. eğrisinin, varsa, düşey asimptot-larını araştıralım: İfadenin paydasını sıfır yapan değerler ÖRNEK:   x2=-1 x3=1 x1=0 x(1-x2)=0 x-x3 = 0 x3=1 x2=-1 x1=0 düşey asimptotlar doğrularıdır.

  12. İfadenin paydasını sıfır yapan değerler ÖRNEK: eğrisinin, varsa, düşey asimptot-larını araştıralım:  x1=x2=-2 (Çift katlı kök) (x+2)2 = 0 x=-2 doğrusu düşey asimptot

  13. DİKKAT!!!  Düşey asimptotu x=1 doğrusu   Fonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğinin şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz?

  14. y 0 x x=1 1

  15. y 0 x x=-2 doğrusu düşey asimptot Fonksiyon, asimptotun her iki tarafında da, -’ a uzanmaktadır.

  16. SONUÇ: x=a, paydanın tek kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun farklı uçları na yaklaşır. x=a, paydanın çift kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun aynı ucuna yaklaşır.

  17. y 0 x y 0 x y 0 x YATAY ASİMPTOT b y= b y=b b y=f(x) y=f(x) b

  18. TANIM y=f(x) fonksiyonu için, veya oluyorsa, y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyo-nunun YATAY ASİMPTOT’ u denir. Bir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesebilir.

  19. y x 0 DİKKAT!!! y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilir mi? Örneğin y= ax fonksiyonu a 1 1

  20. fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: ÖRNEK: y=-1 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

  21. fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: ÖRNEK: y=5/3 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

  22. fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: ÖRNEK: y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

  23. Payın derecesi, paydanın derecesin-den küçük veya eşit iken, yatay asimptot vardır. SONUÇ: ? x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz? PAYIN DERECESİ, PAYDANIN DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR.

  24. ÖRNEK: y=3X fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=0 doğrusu, eğrinin x için yatay asimptotudur.

  25. y 0 x y ise, 0 x EĞİK VE EĞRİ ASİMPTOT (c): y=ax2+bx+c y=f(x) y=f(x) TANIM (d): y=ax+b Bir y=f(x) eğrisi ve bir y=g(x) doğrusu için, y=g(x) fonksiyonuna, EĞİK ASİMPTOT denir. Eğer, y=g(x) bir eğri ise, EĞRİ ASİMPTOT adını alır.

  26. fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım: ÖRNEK:  Payı paydaya bölersek; DİKKAT!!!

  27. Bu durumda; y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur. SONUÇ: EĞİK ASİMPTOTU BULMAK İÇİN, NASIL BİR GENELLEME YAPILABİLİR? PAY, PAYDA BÖLÜNÜR; BÖLÜM, EĞİK ASİMPTOT OLARAK ALINIR.

  28. fonksiyonunun eğik asimptotunu araştıralım: ŞİMDİ DE;  Payı paydaya bölersek; İkinci Derceden y=x2-x-1, EĞRİ ASİMPTOT’ tur.

  29. biçimindeki bir rasyonel fonksiyonda, payın derecesi, paydanın derecesinden iki veya daha fazla derece küçük ise, fonksiyonun EĞRİ ASİMPTOT’ u vardır. SONUÇ:

  30. DİKKAT!!! oluyorsa, fonksiyonun, EĞİK yada EĞRİ ASİMPTOT’u vardır. y=f(x) eğrisinin, y=mx+n biçiminde bir eğik asimptotu varsa;  

  31. Bir fonksiyonun,aynı anda hem eğik, hem de eğri asimptotu olabilir mi? HAYIR BİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADA EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR.

  32. fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım: ÖRNEK:  Payı paydaya bölersek; y= x2+2x+5 EĞRİ ASİMPTOT’ tur.

  33. fonksiyonunun, varsa, eğik asimp- totunu bulalım: ÖRNEK: 0 0 -1 2 x- için, eğik asimptot; y= -x+2

  34. Şimdi de, x+ için, eğik asimptotu arayalım: 0 0 1 -2 x+ için, eğik asimptot; y= x-2

  35. DİKKAT!!! a<0 için eğik asimptot yoktur. a>0 için eğik asimptot vardır. ?

  36. Bir fonksiyonun grafiğini çizebilmek için ÖNCELİKLE TANIM ARALIĞINI BİLMELİYİZ AR ve f: AR’ ye tanımlı y=f(x) fonksiyonunda, xA için, f(x)R olacak şekilde oluşan en geniş AR kümesine, f fonksiyonunun EN GENİŞ TANIMKÜMESİ denir ve D ile gösterilir.

  37. ÖRNEKLER 1. f(x)=x3+2x2-3x+1 fonksiyonunun tanım küme-sini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir POLİNOM fonksiyon olduğundan, tüm reel sayılar için tanımlıdır. D=R Yani; xR için, f(x) R’dir.

  38. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: 2. Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir RASYONEL fonksiyon olduğundan, paydayı sıfır yapan x değerleri için tanımsızdır. D=R-{0,3} x2-3x=0 x1=0 veya x2=3

  39. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: 3. Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi tek sayı olduğundan, kökün içinin tanımlı olduğu yerlerde tanımlıdır. D=R-{-2,2} x2-4=0 x1=-2 veya x2=2

  40. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: 4. Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün de- recesi çift sayı olduğundan, kökün içinin pozitif olduğu yerlerde tanımlıdır. x2-x-2 0 (x2-x-2)’in işaretini incelemeliyiz.

  41. x2-x-2 =0 (x-2).(x+1)=0  x1=-1 ve x2=2 - -1 2 +  + - + x2-x-2 O O f(x) O O D= (-,-1][2, )

  42. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: “Taban”, (x+1)1 ve (x+1)>0; “Sayı” , (2-x)>0 olmalıdır. 5. Fonksiyonun, tanımlı olması için gerekli şartlar? x+1  1  x 0 x+1>0  x>-1 2-x>0  x<2 -1 0 2 O O O (-1,0)  (0,2)

  43. şeklindeki rasyonel fonksiyonlar, HATIRLATMA Polinom fonksiyonlar, tüm REEL sayılarda tanımlıdır Paydayı SIFIR yapan değerlerde TANIMSIZDIR. Bu değerlerin, Reel sayılardan çıkarılması gerekir.

  44. fonksiyonu ‘in tanım kümesi KÖKLÜ FONKSİYONLARDA n+ olmak üzere Kökün derecesi tek iken Kökün derecesi çift iken g(x)’ in tanım kümesidir. g(x)0 için tanımlıdır.

  45. Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Periyodik olup olmadığına bakılır!!!! ? Eğer periyodik ise, grafik, belli bir aralıkta çizi lir, çizilen grafik, diğer periyot aralıklarında aynen tekrarlanır.

  46. Hangi özelliği taşıyan fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir? TANIM f:AB’ ye tanımlı bir fonksiyon olsun. A’ nın her elemanı için, f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan, en az bir pozitif T sayısı varsa, bu T reel sayısına, f’ in periyodu denir.

  47. ÖRNEKLER 1. f(x)=2x+1 fonksiyonunun periyodik olup olma-dığını bulalım: f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T reel sayısını arayacağız: f(x)=2x+1 f(x+T)= 2(x+T)+1  2(x+T)+1=2x+1  2x+2T+1=2x+1 T=0 0 R+ olduğundan, f(x) periyodik değildir.

  48. 2. f(x)=2cos(3x+1) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını bulalım: f(x+T)= 2cos[3(x+T)+1] f(x+T)=f(x) 2cos[3(x+T)+1]= 2cos(3x+1) 3(x+T)+1=(3x+1)+k.2 3x+3T+1=(3x+1)+k.2 (kZ)  k=1 için; bulunur.

  49. Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Tek veya çift fonksiyon olup olmadığına bakılır!!!! ? Bir fonksiyonun tek veya çift olduğu nasıl anlaşılır ve bu kavram bu özellikleri taşıyan fonksiyonların grafiklerini çizerken nasıl bir kolaylık sağlar?

  50. TANIM AR ve f:AR bir fonksiyon olsun. xR için: * f(-x)=f(x) ise, f, çift fonksiyondur. * f(-x)=-f(x) ise, f, tek fonksiyondur.

More Related