電気回路第 1 　第 10 回

電気回路第1　第10回 電気回路第1スライド10-1 ーインピーダンスー目次（クリックすると移動します。）２先週の復習３RLC直列回路４インピーダンス５インピーダンスと位相６インピーダンスの直列接続７逆数のアドミッタンス８並列回路のYとZ ９今日のまとめ

RLC直列回路 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 [ 1 ωC ] ｛｝ Ri E = R + j ωLー I di E と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 E＝ZI とかけます。 Z を単にインピーダンスと呼びます。 L dt 1 C ∫ idt i ＝ Imsin(ωt +θ) e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) 正弦波（時間の関数）を電気回路第1　第10回先週の復習ーインピーダンスー電気回路第1スライド10-2-1 １．電流、電圧の複素表示まず、というのを定義しました。以前の表現で、 ①電流や電圧の時間の関数。 ②を複素表示すると、εの虚数乗の式。 ③実効値×位相差分の指数関数。 ④微分積分はjωを掛けるか、割るか。前回の演習問題の解答です。！

RLC直列回路 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 [ 1 ωC ] ｛｝ Ri E = R + j ωLー I di E と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 E＝ZI とかけます。 Z を単にインピーダンスと呼びます。 L dt 1 C ∫ idt i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ Imεj（ωt +θ） e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ Emεj（ωt +θ+Φ）正弦波（時間の関数）をサインの部分をεの虚数乗とします。電気回路第1　第10回先週の復習ーインピーダンスー電気回路第1スライド10-2-2 １．電流、電圧の複素表示というのを定義しました。これを、これを、 ①電流や電圧の時間の関数。 ②を複素表示すると、εの虚数乗の式。 ③実効値×位相差分の指数関数。 ④微分積分はjωを掛けるか、割るか。前回の演習問題の解答です。！

RLC直列回路 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 [ 1 ωC ] ｛｝ Ri E = R + j ωLー I di E と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 E＝ZI とかけます。 Z を単にインピーダンスと呼びます。 L dt 1 C ∫ idt i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ Imεj（ωt +θ） I ＝ │I│εjθ e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ Emεj（ωt +θ+Φ） E＝ │E│εj（θ＋φ）正弦波（時間の関数）をサインの部分をεの虚数乗とします。実効値×位相差分の指数と表現します。電気回路第1　第10回先週の復習ーインピーダンスー電気回路第1スライド10-2-3 １．電流、電圧の複素表示交流100V （実効値）さらに、さらに、 ①電流や電圧の時間の関数。 ②を複素表示すると、εの虚数乗の式。 ③実効値×位相差分の指数関数。 ④微分積分はjωを掛けるか、割るか。前回の演習問題の解答です。！

RLC直列回路 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 [ 1 ωC ] ｛｝ Ri E = R + j ωLー I di E と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 E＝ZI とかけます。 Z を単にインピーダンスと呼びます。 L dt 1 C ∫ idt i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ Imεj（ωt +θ） I ＝ │I│εjθ e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ Emεj（ωt +θ+Φ） E＝ │E│εj（θ＋φ）正弦波（時間の関数）を実効値×位相差分の指数と表現します。サインの部分をεの虚数乗とします。 ⇒ 電気回路第1　第10回先週の復習ーインピーダンスー電気回路第1スライド10-2-4 １．電流、電圧の複素表示交流100V （実効値）そうすると、そうすると、２．電流、電圧の微積分は単にjωをかける、jωで割るだけでよい。 ①電流や電圧の時間の関数。 ②を複素表示すると、εの虚数乗の式。 ③実効値×位相差分の指数関数。 ④微分積分はjωを掛けるか、割るか。前回の演習問題の解答です。！

先週の復習 １．電流、電圧の複素表示１．電流、電圧の複素表示交流100V （実効値）インピーダンス jωL Z Zの極座標表示は、回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 1 jωC ２．電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る 1 jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ │I│εjθ e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ │E│εj（θ＋φ）正弦波（時間の関数）を実効値×位相差分の指数 RLC直列回路電気回路第1スライド10-3-1 では、微分や積分の出てくる例として、 RLC直列回路の電圧を考えましょう。 ①微分積分の例をRLC回路で考える。 ②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。 ③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。 ④複素数のまま足してしまう。 ⑤jで整理する。 ⑥電圧と電流の比例係数がZ。 ⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。 1/j＝－jとなることについて？

先週の復習 １．電流、電圧の複素表示１．電流、電圧の複素表示交流100V （実効値）インピーダンス jωL Z Zの極座標表示は、回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 1 jωC ２．電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る 1 jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ │I│εjθ di e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ │E│εj（θ＋φ） L dt 正弦波（時間の関数）を実効値×位相差分の指数 1 C ∫ idt RLC直列回路電気回路第1スライド10-3-2 この RLC直列回路の電圧は、抵抗の電圧、 Ri インダクタンスの電圧、キャパシタンスの電圧を足しました。 ①微分積分の例をRLC回路で考える。 ②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。 ③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。 ④複素数のまま足してしまう。 ⑤jで整理する。 ⑥電圧と電流の比例係数がZ。 ⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。 1/j＝－jとなることについて？

先週の復習 １．電流、電圧の複素表示１．電流、電圧の複素表示交流100V （実効値）インピーダンス jωL Z Zの極座標表示は、回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 1 jωC ２．電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る 1 jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 RLC直列回路の電圧は、 Ri i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ │I│εjθ di e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ │E│εj（θ＋φ） L dt 正弦波（時間の関数）を実効値×位相差分の指数 1 C ∫ 1 jωC idt I （積分のためjωで割る。） RLC直列回路電気回路第1スライド10-3-3 複素表示すると、抵抗の電圧、 RI（そのまま）これらを、 jωLI（微分のためjωを掛ける。）インダクタンスの電圧、キャパシタンスの電圧を足しました。と簡単に表現されます。 ①微分積分の例をRLC回路で考える。 ②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。 ③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。 ④複素数のまま足してしまう。 ⑤jで整理する。 ⑥電圧と電流の比例係数がZ。 ⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。 1/j＝－jとなることについて？

先週の復習 １．電流、電圧の複素表示１．電流、電圧の複素表示交流100V （実効値）インピーダンス jωL Z Zの極座標表示は、回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 1 jωC ２．電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る 1 jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 1 jωC RI + I i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ │I│εjθ di e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ │E│εj（θ＋φ） L E jωLI dt 正弦波（時間の関数）を実効値×位相差分の指数 1 jωC 1 C ∫ I idt RLC直列回路電気回路第1スライド10-3-4 複素表示すると、 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、抵抗の電圧、 Ri E = RI + jωLI もちろん、直列回路は電圧を足すということですから、と複素数のものをそのまま足してしまいましょう。インダクタンスの電圧、キャパシタンスの電圧を足しました。 ①微分積分の例をRLC回路で考える。 ②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。 ③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。 ④複素数のまま足してしまう。 ⑤jで整理する。 ⑥電圧と電流の比例係数がZ。 ⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。 1/j＝－jとなることについて？

先週の復習 １．電流、電圧の複素表示１．電流、電圧の複素表示交流100V （実効値）インピーダンス jωL Z Zの極座標表示は、回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 1 jωC [ 1 ωC ] ２．電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る 1 jωL+ E = ZI ωLー I と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 1 jωC RI + I i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ │I│εjθ 1 ωC e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ │E│εj（θ＋φ） = = RI RI + j + jωLI －j I E jωLI 正弦波（時間の関数）を実効値×位相差分の指数ここで、　＝－j ですから、 1 jωC I 1 j RLC直列回路電気回路第1スライド10-3-5 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 E = RI + jωLI もちろん、直列回路は電圧を足すということですから、と複素数のものをそのまま足してしまいましょう。となる。位相の違うものをちゃんとjを使うなど表現しているのでOKです。さらに、j で整理すると、 ①微分積分の例をRLC回路で考える。 ②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。 ③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。 ④複素数のまま足してしまう。 ⑤jで整理する。 ⑥電圧と電流の比例係数がZ。 ⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。 1/j＝－jとなることについて？

先週の復習 １．電流、電圧の複素表示１．電流、電圧の複素表示交流100V （実効値）インピーダンス jωL Z Zの極座標表示は、回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 1 jωC [ 1 ωC ] ２．電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る 1 jωL+ E = ZI ωLー I と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 1 jωC RI + I i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ │I│εjθ [ 1 ωC ] ｛｝ R + j ωLー I 1 ωC e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ │E│εj（θ＋φ） = = RI RI + j + jωLI －j I E jωLI 正弦波（時間の関数）を実効値×位相差分の指数 1 jωC I RLC直列回路電気回路第1スライド10-3-6 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 E = RI + jωLI と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。となる。このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 E＝ZI とかけます。ですが、今度はIで整理すると、 ①微分積分の例をRLC回路で考える。 ②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。 ③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。 ④複素数のまま足してしまう。 ⑤jで整理する。 ⑥電圧と電流の比例係数がZ。 ⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。 1/j＝－jとなることについて？

先週の復習 １．電流、電圧の複素表示１．電流、電圧の複素表示交流100V （実効値）インピーダンス jωL Z Zの極座標表示は、回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 1 jωC ２．電流、電圧の微積分 ⇒単にjωをかける、jωで割る 1 jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 RI E = i ＝ Imsin(ωt +θ) I ＝ │I│εjθ [ 1 ωC ] ｛｝ R + j ωLー I e＝ Emsin(ωt +θ+Φ) E＝ │E│εj（θ＋φ）と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。 E jωLI 正弦波（時間の関数）を実効値×位相差分の指数このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 1 jωC E＝ZI とかけます。 I 単に呼びます。 RLC直列回路電気回路第1スライド10-3-7 Z を複素インピーダンスとは普通呼ばず ①微分積分の例をRLC回路で考える。 ②抵抗とインダクタンスの微分、キャパシタの積分を足す。 ③jω倍、jωで割ってφもない簡単な式。 ④複素数のまま足してしまう。 ⑤jで整理する。 ⑥電圧と電流の比例係数がZ。 ⑦Zは、単にインピーダンスと呼びます。 1/j＝－jとなることについて？

インピーダンスと位相 RLC直列回路インピーダンスの虚数部分（リアクタンス）位相の変化を示す。（電流に対する電圧の位相）インダクタンスが効いていると虚部がプラス（上に向く。）このとき電圧の位相は進む。キャパシタンスが効いていると虚部がマイナス（下に向く。）このとき電圧の位相は遅れる。 Z 虚軸 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 [ 1 ωC ] ｛｝ Ri E = R + j ωLー I 0 実軸 di と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 E＝ZI とかけます。 Z を単にインピーダンスと呼びます。 E L 虚軸実軸 dt 0 0 1 C ∫ Z idt インピーダンス電気回路第1スライド10-4-1 少しまとめて、インピーダンスについて述べましょう。 ①インピーダンスZの概念を導入。 ②インピーダンスは、電圧と電流の比例係数。 ③絶対値では│E│=│Z││I│。 ④Zを図で示すと実数部分の抵抗Rと虚数部分。 │Z│の計算について？インピーダンスZとその絶対値（やっぱり）、インピーダンス│Z│の違いと使い分けについて？

インピーダンスと位相 RLC直列回路インピーダンスの虚数部分（リアクタンス）位相の変化を示す。（電流に対する電圧の位相）インダクタンスが効いていると虚部がプラス（上に向く。）このとき電圧の位相は進む。キャパシタンスが効いていると虚部がマイナス（下に向く。）このとき電圧の位相は遅れる。 Z 虚軸 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 [ 1 ωC ] ｛｝ Ri E = R + j ωLー I 0 実軸 di と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 E＝ZI とかけます。 Z を単にインピーダンスと呼びます。 E L 虚軸実軸 dt 0 0 1 C ∫ Z idt Z インピーダンス電気回路第1スライド10-4-2 　　　　　　　　　　　　一個のZ素子のように扱って、このような回路を、 E = ZI と表すのがインピーダンスです。 ①インピーダンスZの概念を導入。 ②インピーダンスは、電圧と電流の比例係数。 ③絶対値では│E│=│Z││I│。 ④Zを図で示すと実数部分の抵抗Rと虚数部分。 │Z│の計算について？インピーダンスZとその絶対値（やっぱり）、インピーダンス│Z│の違いと使い分けについて？

インピーダンスと位相 RLC直列回路インピーダンスの虚数部分（リアクタンス）位相の変化を示す。（電流に対する電圧の位相）インダクタンスが効いていると虚部がプラス（上に向く。）このとき電圧の位相は進む。キャパシタンスが効いていると虚部がマイナス（下に向く。）このとき電圧の位相は遅れる。 Z 虚軸 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 [ 1 ωC ] ｛｝ Ri E = R + j ωLー I 0 実軸 di と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 E＝ZI とかけます。 Z を単にインピーダンスと呼びます。 E L 虚軸実軸 dt 0 0 1 C ∫ Z idt Z [ωL ー ] 1 ωC 2 │Z│＝ R2＋インピーダンス電気回路第1スライド10-4-3 　　　　　　　　　　　　一個のZ素子のように扱って、回路全部（RLC)を E = ZI と表す。 │E│=│Z││I│ 絶対値を取って、の│Z│はもちろん、です。（RLC直列回路の場合） ①インピーダンスZの概念を導入。 ②インピーダンスは、電圧と電流の比例係数。 ③絶対値では│E│=│Z││I│。 ④Zを図で示すと実数部分の抵抗Rと虚数部分。 │Z│の計算について？インピーダンスZとその絶対値（やっぱり）、インピーダンス│Z│の違いと使い分けについて？

インピーダンスと位相 RLC直列回路インピーダンスの虚数部分（リアクタンス）位相の変化を示す。（電流に対する電圧の位相）インダクタンスが効いていると虚部がプラス（上に向く。）このとき電圧の位相は進む。キャパシタンスが効いていると虚部がマイナス（下に向く。）このとき電圧の位相は遅れる。 Z 虚軸 RLC直列回路の電圧は、３つの素子の電圧の和で、 [ 1 ωC ] ｛｝ Ri E = R + j ωLー I 0 実軸 di と電圧と電流の間の比例（?）関係がでました。このカッコの中（比例係数）をZ（複素数）として、 E＝ZI とかけます。 Z を単にインピーダンスと呼びます。 E L 虚軸実軸 dt 0 0 1 C ∫ Z idt Z 虚軸 1 jωL+ [ωL ー ] 1 ωC 2 jωC 0 実軸 │Z│＝ R2＋インピーダンス電気回路第1スライド10-4-4 回路全部（RLC)を　　　　　　　　　　　　一個のZ素子のように扱って、 Zの極座標表示は、実部と虚部は、　　　　このようになりますが、 E = ZI と表す。 Z │E│=│Z││I│ の│Z│はもちろん、 R です。 ①インピーダンスZの概念を導入。 ②インピーダンスは、電圧と電流の比例係数。 ③絶対値では│E│=│Z││I│。 ④Zを図で示すと実数部分の抵抗Rと虚数部分。 │Z│の計算について？インピーダンスZとその絶対値（やっぱり）、インピーダンス│Z│の違いと使い分けについて？

インピーダンスの直列接続 インピーダンス Z E Zの極座標表示は、直列接続回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 Z Z Z 1 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 Z1I Z2I ZnI インピーダンスと位相電気回路第1スライド10-5-1 今度は位相の変化について考えましょう。 ①虚部の符号をまとめる。 ②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。 ③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。 ④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。 ⑤リアクタンスが位相の変化を示す。位相差Φ＝tan-1(X/R)の計算について？複素数の扱いからΦをみよう。？

インピーダンスの直列接続 インピーダンス Z E Zの極座標表示は、直列接続回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 Z Z Z 1 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 Z1I Z2I ZnI 虚軸 0 実軸インピーダンスと位相電気回路第1スライド10-5-2 インピーダンスが j だと、このような場合ですが、 j は微分する、sin⇒cosなので、 E=ZIは90°位相進む。 ①虚部の符号をまとめる。 ②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。 ③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。 ④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。 ⑤リアクタンスが位相の変化を示す。位相差Φ＝tan-1(X/R)の計算について？複素数の扱いからΦをみよう。？

インピーダンスの直列接続 インピーダンス Z E Zの極座標表示は、直列接続回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 Z Z Z 1 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸 Z1I Z2I ZnI 虚軸 1 jωL+ R jωC 0 実軸インピーダンスと位相電気回路第1スライド10-5-3 インダクタンスが効いているとインピーダンスが j だと、虚部がプラス（上に向く。） Z このとき電圧の位相は進む。のように、インピーダンスが複素数のときですが、 ①虚部の符号をまとめる。 ②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。 ③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。 ④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。 ⑤リアクタンスが位相の変化を示す。位相差Φ＝tan-1(X/R)の計算について？複素数の扱いからΦをみよう。？

インピーダンスの直列接続 インピーダンス Z E Zの極座標表示は、直列接続回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 Z Z Z 1 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸インダクタンスが効いていると虚軸虚軸 Z R 虚部がプラス（上に向く。）実軸 Z1I Z2I ZnI このとき電圧の位相は進む。 0 0 実軸 1 jωL+ Z jωC インピーダンスと位相電気回路第1スライド10-5-4 今度は逆に、のように、キャパシタンスが効いていると虚部がマイナス（下に向く。）このとき電圧の位相は遅れる。 ①虚部の符号をまとめる。 ②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。 ③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。 ④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。 ⑤リアクタンスが位相の変化を示す。位相差Φ＝tan-1(X/R)の計算について？複素数の扱いからΦをみよう。？

インピーダンスの直列接続 インピーダンス Z E Zの極座標表示は、直列接続回路全部（RLC)を一個のZ素子のように扱って、 Z Z Z 1 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n jωL+ E = ZI と表すのがインピーダンスです。 jωC 虚軸 E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI │E│=│Z││I│の│Z│はもちろん、 [ωL － ] 1 ωC 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。 2 │Z│＝ R2＋です。 0 実軸インダクタンスが効いていると虚軸 Z 虚部がプラス（上に向く。）（　　　　　　　　） Z1I Z2I ZnI このとき電圧の位相は進む。 0 実軸虚軸（　　　　　　　　　　　　　　　　）実軸キャパシタンスが効いていると 0 虚部がマイナス（下に向く。） Z このとき電圧の位相は遅れる。インピーダンスと位相電気回路第1スライド10-5-5 インピーダンスの虚数部分は、リアクタンスと呼び、位相の変化を示す。まとめて、電流に対する電圧の位相であることに注意する。 ①虚部の符号をまとめる。 ②インピーダンスがjだと90°電圧の位相が進む。 ③虚数部分が正だと上向きで、電圧の位相を進める。 ④一方、虚部が負だと、Zが下向きで、電圧が遅れる。 ⑤リアクタンスが位相の変化を示す。位相差Φ＝tan-1(X/R)の計算について？複素数の扱いからΦをみよう。？

インピーダンスと位相 逆数のアドミッタンス Yは電流の位相を進めます。インピーダンスの虚数部分（リアクタンス）位相の変化を示す。（電流に対する電圧の位相）インダクタンスが効いていると虚部がプラス（上に向く。）このとき電圧の位相は進む。キャパシタンスが効いていると虚部がマイナス（下に向く。）このとき電圧の位相は遅れる。虚軸 Z 虚軸 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 0 実軸 I = YE ただしY＝１/Z 実軸虚軸このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。ただし、Yの計算は割り算で複素共役を分子分母にかけます。実軸０ Zが電圧の位相を遅らせる場合には、 0 0 Z Z Z Z 1 2 n インピーダンスの直列接続電気回路第1スライド10-6-1 インピーダンスの面目躍如といったところなのが直列接続の場合です。このようにすなわち ①直列接続では、Zのメリットが大きい。 ②電圧はZ１I+Z2I+Z3Iと足すとよい。 ③Z＝Z１+Z2+Z3となり、合成インピーダンスがでる。 ④虚部は差し引きされるので注意。演習を少しやりましょう。！

インピーダンスと位相 逆数のアドミッタンス Yは電流の位相を進めます。インピーダンスの虚数部分（リアクタンス）位相の変化を示す。（電流に対する電圧の位相）インダクタンスが効いていると虚部がプラス（上に向く。）このとき電圧の位相は進む。キャパシタンスが効いていると虚部がマイナス（下に向く。）このとき電圧の位相は遅れる。虚軸 Z 虚軸 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 0 実軸 I = YE ただしY＝１/Z 実軸虚軸このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。ただし、Yの計算は割り算で複素共役を分子分母にかけます。実軸０ Zが電圧の位相を遅らせる場合には、 0 0 Z E Z Z Z 1 2 n Z1I Z2I ZnI インピーダンスの直列接続電気回路第1スライド10-6-2 直列接続直列回路ですからまず電圧を足す。すると、このようになります。 E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ①直列接続では、Zのメリットが大きい。 ②電圧はZ１I+Z2I+Z3Iと足すとよい。 ③Z＝Z１+Z2+Z3となり、合成インピーダンスがでる。 ④虚部は差し引きされるので注意。演習を少しやりましょう。！

インピーダンスと位相 逆数のアドミッタンス Yは電流の位相を進めます。インピーダンスの虚数部分（リアクタンス）位相の変化を示す。（電流に対する電圧の位相）インダクタンスが効いていると虚部がプラス（上に向く。）このとき電圧の位相は進む。キャパシタンスが効いていると虚部がマイナス（下に向く。）このとき電圧の位相は遅れる。虚軸 Z 虚軸 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 0 実軸 I = YE ただしY＝１/Z 実軸虚軸このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。ただし、Yの計算は割り算で複素共役を分子分母にかけます。実軸０ Zが電圧の位相を遅らせる場合には、 0 0 Z E Z Z Z 1 2 n Z1I Z2I ZnI E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... インピーダンスの直列接続電気回路第1スライド10-6-3 直列接続直列回路ですからまず電圧を足す。 Iで整理されますが、すると、このように… 合成インピーダンスです。 Zを足してしまうと、 Z Z ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... として、 E ＝ZI と書くことができる。 ①直列接続では、Zのメリットが大きい。 ②電圧はZ１I+Z2I+Z3Iと足すとよい。 ③Z＝Z１+Z2+Z3となり、合成インピーダンスがでる。 ④虚部は差し引きされるので注意。演習を少しやりましょう。！

インピーダンスと位相 逆数のアドミッタンス Yは電流の位相を進めます。インピーダンスの虚数部分（リアクタンス）位相の変化を示す。（電流に対する電圧の位相）インダクタンスが効いていると虚部がプラス（上に向く。）このとき電圧の位相は進む。キャパシタンスが効いていると虚部がマイナス（下に向く。）このとき電圧の位相は遅れる。虚軸 Z 虚軸 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 0 実軸 I = YE ただしY＝１/Z 実軸虚軸このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。ただし、Yの計算は割り算で複素共役を分子分母にかけます。実軸０ Zが電圧の位相を遅らせる場合には、 0 0 Z E Z Z Z 1 2 n Z1I Z2I ZnI Iで整理されますが、すると、このように… E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... 合成インピーダンスです。 Zを足してしまうと、＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI インピーダンスの直列接続電気回路第1スライド10-6-4 直列接続直列回路ですからまず電圧を足す。複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。ただし、 ①直列接続では、Zのメリットが大きい。 ②電圧はZ１I+Z2I+Z3Iと足すとよい。 ③Z＝Z１+Z2+Z3となり、合成インピーダンスがでる。 ④虚部は差し引きされるので注意。演習を少しやりましょう。！

インピーダンスの直列接続 並列回路のYとZ E 直列接続インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Z Z Z 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI Y Y Y 1 2 n 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。とアドミッタンスを足すとよい。 Z1I Z2I ZnI 逆数のアドミッタンス電気回路第1スライド10-7-1 まず、先ほどまでのお話で、 E = ZI と、電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z 電流も電圧で表わそうと考えました。通常、変数aの次はbを用いますが、わけわかんない量なのでZにしちゃった。しょうがないので前に戻ってYというわけで、 ①Zの逆数Yを考える。 ②Yは、アドミッタンス。 ③図では反対側にYがある。 ④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。 ⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。 ⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。逆数の計算について？上のグラフの変化だけまとめました。？

インピーダンスの直列接続 並列回路のYとZ E 直列接続インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Z Z Z 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI Y Y Y 1 2 n 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。とアドミッタンスを足すとよい。 Z1I Z2I ZnI 逆数のアドミッタンス電気回路第1スライド10-7-2 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。ただし、Yの計算は割り算で、複素共役を分子分母にかける。 ①Zの逆数Yを考える。 ②Yは、アドミッタンス。 ③図では反対側にYがある。 ④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。 ⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。 ⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。逆数の計算について？上のグラフの変化だけまとめました。？

インピーダンスの直列接続 並列回路のYとZ E 直列接続インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Z Z Z 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI Y Y Y 1 2 n 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。とアドミッタンスを足すとよい。 Z 虚軸 Z1I Z2I ZnI 実軸０このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。 Y ただし、Yの計算は割り算で、複素共役を分子分母にかける。逆数のアドミッタンス電気回路第1スライド10-7-3 このZに対して ZとYの関係を図で示すと、 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z Yは、こちらに ①Zの逆数Yを考える。 ②Yは、アドミッタンス。 ③図では反対側にYがある。 ④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。 ⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。 ⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。逆数の計算について？上のグラフの変化だけまとめました。？

インピーダンスの直列接続 並列回路のYとZ E 直列接続インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Z Z Z 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI Y Y Y 1 2 n 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。とアドミッタンスを足すとよい。 Z 虚軸 Z1I Z2I ZnI φ 実軸０このYをアドミッタンスと呼びます。ーφ 電流を計算するときに便利です。 Y ただし、Yの計算は割り算で、複素共役を分子分母にかける。逆数のアドミッタンス電気回路第1スライド10-7-4 電圧の位相が φ進むときこのZに対して E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z Yは、　　　電流の位相はφ遅れるので、こちらに ①Zの逆数Yを考える。 ②Yは、アドミッタンス。 ③図では反対側にYがある。 ④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。 ⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。 ⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。逆数の計算について？上のグラフの変化だけまとめました。？

インピーダンスの直列接続 並列回路のYとZ E 直列接続インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Z Z Z 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI Y Y Y 1 2 n 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。とアドミッタンスを足すとよい。 Z 当然│Z│が大きくな　　　れば反対に│Z│が小さくなれば虚軸 Z Z1I Z2I ZnI φ 実軸０このYをアドミッタンスと呼びます。ーφ │Y│はそれに反比例して小さく、 │Y│は大きくなる。電流を計算するときに便利です。 Y Y ただし、Yの計算は割り算で、複素共役を分子分母にかける。逆数のアドミッタンス電気回路第1スライド10-7-5 電圧の位相が φ進むとき E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z 　　　電流の位相はφ遅れるので、 ①Zの逆数Yを考える。 ②Yは、アドミッタンス。 ③図では反対側にYがある。 ④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。 ⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。 ⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。逆数の計算について？上のグラフの変化だけまとめました。？

インピーダンスの直列接続 並列回路のYとZ E 直列接続インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Z Z Z 直列回路ですからまず電圧を足す。すると、Iで整理されますが、 Zを足して合成インピーダンスです。 1 2 n E ＝ Z1I + Z2I + Z3I+ ... ＝(Z1 + Z2 + Z3 + ...) I Z ＝Z1+ Z2+ Z3+ ... E ＝ZI Y Y Y 1 2 n 複素数は、実部と虚部を分けてたす。虚部は差し引き０の場合あり。とアドミッタンスを足すとよい。 Z Yは電流の位相を進めます。反対に│Z│が小さくなれば虚軸もちろん位相が変化すると Z1I Z2I ZnI φ 実軸０このYをアドミッタンスと呼びます。ーφ │Y│は大きくなる。 Yも同様に変化する。（これはただの抵抗） Zが電圧の位相を遅らせる場合には、電流を計算するときに便利です。 Y ただし、Yの計算は割り算で、複素共役を分子分母にかける。逆数のアドミッタンス電気回路第1スライド10-7-6 電圧の位相が φ進むとき E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z 　　　電流の位相はφ遅れるので、 ①Zの逆数Yを考える。 ②Yは、アドミッタンス。 ③図では反対側にYがある。 ④Zが位相をすすめるとき、Yは遅らせる。 ⑤│Z│が大きいと│Y│は小さい。 ⑥抵抗やZが電圧を遅らせるとき、Yも反転。逆数の計算について？上のグラフの変化だけまとめました。？

今日のまとめ 電流I、電圧Eが複素表示のとき、 E＝ZIなる、Zがインピーダンス。 Zの虚部が正だと電圧の位相を進める。この時アドミッタンスは、虚部が負で、電流の位相を遅らせる。 Zは抵抗のように扱える。逆数のアドミッタンスインピーダンスは複素数で、実部が抵抗分、虚部がLやC等のリアクタンス分。 Yは電流の位相を進めます。虚軸 Zの虚部が負のとき、電圧の位相は遅れる。 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z 実軸このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。ただし、Yの計算は割り算で複素共役を分子分母にかけます。０ Zが電圧の位相を遅らせる場合には、 Y Y Y 1 2 n 並列回路のYとZ 電気回路第1スライド10-8-1 一方、なぜわざわざ逆数のYなどを定義するのかというのがこの並列回路のケースで、後で定義されたYを用いると、並列回路では電流を足せば良い。 ①Yを使うのは並列回路。 ②並列回路で電流を足す。YEを足す。 ③インピーダンスだと1/Zを足します。 ④インピーダンスは逆数の和だが、アドミッタンスは簡単。演習を少しやりましょう。（前のと同じです。）！

今日のまとめ 電流I、電圧Eが複素表示のとき、 E＝ZIなる、Zがインピーダンス。 Zの虚部が正だと電圧の位相を進める。この時アドミッタンスは、虚部が負で、電流の位相を遅らせる。 Zは抵抗のように扱える。逆数のアドミッタンスインピーダンスは複素数で、実部が抵抗分、虚部がLやC等のリアクタンス分。 Yは電流の位相を進めます。虚軸 Zの虚部が負のとき、電圧の位相は遅れる。 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z 実軸このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。ただし、Yの計算は割り算で複素共役を分子分母にかけます。０ Zが電圧の位相を遅らせる場合には、一方、なぜわざわざ逆数のYなどを定義するのかというのがこの並列回路のケースで、後で定義されたYを用いると、並列回路では電流を足せば良いので、 Y Y Y 1 2 n 並列回路のYとZ 電気回路第1スライド10-8-2 I ＝Y1E+ Y2E+ Y3E+ ... ですから I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... とアドミッタンスを足すとよい。 ①Yを使うのは並列回路。 ②並列回路で電流を足す。YEを足す。 ③インピーダンスだと1/Zを足します。 ④インピーダンスは逆数の和だが、アドミッタンスは簡単。演習を少しやりましょう。（前のと同じです。）！

今日のまとめ 電流I、電圧Eが複素表示のとき、 E＝ZIなる、Zがインピーダンス。 Zの虚部が正だと電圧の位相を進める。この時アドミッタンスは、虚部が負で、電流の位相を遅らせる。 Zは抵抗のように扱える。逆数のアドミッタンスインピーダンスは複素数で、実部が抵抗分、虚部がLやC等のリアクタンス分。 Yは電流の位相を進めます。虚軸 Zの虚部が負のとき、電圧の位相は遅れる。 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z 実軸このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。ただし、Yの計算は割り算で複素共役を分子分母にかけます。０ Zが電圧の位相を遅らせる場合には、 Y Y Y 1 2 n 並列回路のYとZ 電気回路第1スライド10-8-3 抵抗の並列接続の場合に１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... １/R ＝１/R1+ １/R2+ １/R3+ ... となったのをZで置き換えると、並列接続のインピーダンスは、　　　　　　　　　　　　　　　　少し計算が大変。 I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... とアドミッタンスを足すとよい。 ①Yを使うのは並列回路。 ②並列回路で電流を足す。YEを足す。 ③インピーダンスだと1/Zを足します。 ④インピーダンスは逆数の和だが、アドミッタンスは簡単。演習を少しやりましょう。（前のと同じです。）！

今日のまとめ 電流I、電圧Eが複素表示のとき、 E＝ZIなる、Zがインピーダンス。 Zの虚部が正だと電圧の位相を進める。この時アドミッタンスは、虚部が負で、電流の位相を遅らせる。 Zは抵抗のように扱える。逆数のアドミッタンスインピーダンスは複素数で、実部が抵抗分、虚部がLやC等のリアクタンス分。 Yは電流の位相を進めます。虚軸 Zの虚部が負のとき、電圧の位相は遅れる。 E = ZI 電圧は電流にインピーダンス Zを掛けて表現しましたが、 I = YE ただしY＝１/Z 実軸このYをアドミッタンスと呼びます。電流を計算するときに便利です。ただし、Yの計算は割り算で複素共役を分子分母にかけます。０ Zが電圧の位相を遅らせる場合には、 Y Y Y 1 2 n 並列回路のYとZ 電気回路第1スライド10-8-4 インピーダンスの並列接続の場合は、抵抗の並列接続の場合に１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... １/R ＝１/R1+ １/R2+ １/R3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。となったのをZで置き換えると、並列接続のインピーダンスは、当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... とアドミッタンスを足すとよい。 ①Yを使うのは並列回路。 ②並列回路で電流を足す。YEを足す。 ③インピーダンスだと1/Zを足します。 ④インピーダンスは逆数の和だが、アドミッタンスは簡単。演習を少しやりましょう。（前のと同じです。）！

スライドの終了 並列回路のYとZ インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Y Y Y 1 2 n とアドミッタンスを足すとよい。今日のまとめ電気回路第1スライド10-9-1 電流I、電圧Eが複素表示のとき、E＝ZIなる、Zがインピーダンス。 Zは抵抗のように扱える。 ①インピーダンスは複素電流と複素電圧の比例係数。 ②複素数のZは実部と虚部で抵抗部分とLやCを表す。 ③Zの虚部が正ならば電圧の位相を進める。 ④虚部が負ならば遅らせる。演習を少しやりましょう。 RやL、C、RL回路です。！次回までの演習課題です。！

スライドの終了 並列回路のYとZ インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Y Y Y 1 2 n とアドミッタンスを足すとよい。電流I、電圧Eが複素表示のとき、E＝ZIなる、Zがインピーダンス。 Zは抵抗のように扱える。今日のまとめ電気回路第1スライド10-9-2 インピーダンスは複素数で、実部が抵抗分、虚部がLやC等のリアクタンス分。 ①インピーダンスは複素電流と複素電圧の比例係数。 ②複素数のZは実部と虚部で抵抗部分とLやCを表す。 ③Zの虚部が正ならば電圧の位相を進める。 ④虚部が負ならば遅らせる。演習を少しやりましょう。 RやL、C、RL回路です。！次回までの演習課題です。！

スライドの終了 並列回路のYとZ インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Y Y Y 1 2 n とアドミッタンスを足すとよい。電流I、電圧Eが複素表示のとき、E＝ZIなる、Zがインピーダンス。 Zは抵抗のように扱える。インピーダンスは複素数で、実部が抵抗分、虚部がLやC等のリアクタンス分。今日のまとめ電気回路第1スライド10-9-3 Zの虚部が正だと電圧の位相を進める。この時アドミッタンスは、虚部が負で、電流の位相を遅らせる。 ①インピーダンスは複素電流と複素電圧の比例係数。 ②複素数のZは実部と虚部で抵抗部分とLやCを表す。 ③Zの虚部が正ならば電圧の位相を進める。 ④虚部が負ならば遅らせる。演習を少しやりましょう。 RやL、C、RL回路です。！次回までの演習課題です。！

並列回路のYとZ インピーダンスの並列接続の場合は、　　１/Z ＝１/Z1+ １/Z2+ １/Z3+ ... となるが、割り算は共役複素を掛けてという配慮が必要です。当然アドミッタンスだときれいに書けて I ＝YE Y ＝Y1+ Y2+ Y3+ ... Y Y Y 1 2 n とアドミッタンスを足すとよい。電流I、電圧Eが複素表示のとき、E＝ZIなる、Zがインピーダンス。 Zの虚部が正だと電圧の位相を進める。この時アドミッタンスは、虚部が負で、電流の位相を遅らせる。 Zは抵抗のように扱える。インピーダンスは複素数で、実部が抵抗分、虚部がLやC等のリアクタンス分。スライドを終了します。今日のまとめ電気回路第1スライド10-9-4 Zの虚部が負のとき、電圧の位相は遅れる。 ①インピーダンスは複素電流と複素電圧の比例係数。 ②複素数のZは実部と虚部で抵抗部分とLやCを表す。 ③Zの虚部が正ならば電圧の位相を進める。 ④虚部が負ならば遅らせる。演習を少しやりましょう。 RやL、C、RL回路です。！次回までの演習課題です。！

電気回路第1スライド付録 1 ― j （－1）2＝j4＝j×＝1 当たり前なので、わかっている人は見ないで下さいね。jで割ったら、マイナスjです。 [1] jは、その定義から、 j2＝－1 です。これをjで割ると、 j＝－1/j となります。もちろん－1倍して、 1/j＝－j となります。1/jが　jになるのであれば、jじゃなくて－1の性質になってしまいますね。 [2] 単純に複素共役を掛けていただいて結構です。　　　　１　－j－j ―　＝　―――― ＝　――――　＝－j jj×（－j）　　　　－j2 としていただいても、余計な努力をしてますが正しい計算です。 [3] 一方、j倍することは位相を90°進めるということを思い出していただければ、jωで割って、位相が遅れたことと合わせて、　jで割るのは逆に90°位相を遅らせる効果と考えると簡単です。位相を逆でマイナスjと理解ください。補足1：1/j＝－j 位相を90°進める虚軸 j 0 j2＝－1 実軸 1 ― j ＝ j3＝－j 位相を90°遅らせる !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 虚軸ここで、│Z│をZのベクトルの大きさにしてあげると、実軸と虚軸は垂直に設定してありますから二乗の和のルートで、 │Z│=（R2＋X2）1/2 注意として、Z2をとると Z2=R2－X2＋2jRX と変な数になりますので、あえていうと、 │Z│2＝ZZ です。ただしZはZの複素共役R－jXです。この│Z│を用いると、偏角φを用いて、 R=│Z│cosφ X=│Z│sinφ 0 実軸補足2：│Z│の計算についてめんどうなのでjωL＋1/jωCをjXとしておくと、 Z=R＋jX です。図示すると左のようになります。半径│Z│の円 jX Z Z 虚軸半径1の円 R 0 実軸となりますから、Zは、 Z=│Z│εjφ となりまして、Zは半径1の円を半径│Z│の円に│Z│倍する効果との効果、すなわち位相をφ回転させる効果の2つがあるのですね。 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 Z Z Z 1 2 n 補足3：Zも│Z│もインピーダンス │Z│をZ（複素数）も│Z│（正の実数）もインピーダンスと呼びます。これは複素電流 I も単に電流と言っているのと同じですが、少しわかりにくいですね。「インピーダンス50 [Ω] が合わないから反射する。」とかよく用いる表現なのでどちらもインピーダンスと言うと覚えるしかないのですが、注意ください。なお、用語の違いは大した間違いではありませんが、物理的意味を間違うと致命的です。例えば、のような回路で、直列回路のインピーダンスは、 Z＝ Z1 + Z2 + Z3 + ... + Zn となります。これは複素数を巧みに使って、位相のずれをちゃんと取り込んでいるので成り立つ式です。これを誤って、　　　？＝ │Z1│+│Z2│+│Z3│+ ... +│Zn│ と計算するとなんの意味もない変な数を作ってしまいます。 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 位相が進む位相が遅れる補足4：　tan-1（X/R) と位相差　 tan-1(X/R)はX/Rによって単調増加する関数関数で右図の通りです。LやCの効果がいくらあっても、せいぜい±90°の位相差にしかなりません。細かく見ると、φはXが正なら正で位相が進み、Xが負のとき負となり、位相が遅れます。 Xが0の時φ＝0は当たり前として、R＝Xのときはtanが1ですから、45゜の位相の進みです。(以上は前回の補足とほぼ同じ。）つぎにjωL－1/jωCを、jXとおけば、 Z = R + jX① と表せます。このときのZは、位相差φを含めて、 Z =│Z│εjφ② となります。もちろん、例のオイラーの公式から、 Z =│Z│εjφ =│Z│(cosφ + jsinφ ) ③ もちろん、①と③から、 R + jX =│Z│cosφ + j│Z│sinφ④ 実部と虚部がそれぞれ等しいですから、 R =│Z│cosφ⑤ jX =j│Z│sinφ⑥ の２式が得られます。タンジェントは割り算ですから、⑥割る⑤で、 jXj│Z│sinφ ―― = ―――――― ⑦ R│Z│cosφ = jtanφ ⑧ ですから、 φ =tan-1(X/R) ⑨ が得られますね。 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 補足5：Φを求めよう。補足4よりは少し簡単に述べて、Zは│Z│と偏角φを用いて、 R =│Z│cosφ ① X =│Z│sinφ ② Z=│Z│εjφ③ となりましたから、②÷①より、 X/R = tanφ ④ となりますね。つぎに、このεjφを掛ける意味ですが、電流を│I│εjθとすると、電圧は、 E = ZI ⑤ =│Z│εjφ│I│εjθ ⑥ =│Z││I│εjφεjθ ⑦ =│Z││I│εj（φ＋θ） ⑧ 最後の式では指数関数の性質を使っていますね。このためZの位相は電圧の位相をいくらすすめるかという量となっています。もちろん、逆数のアドミッタンスは電流の位相を電圧に対してどれだけ進めるかを示す量です。最後に虚部が正の時jωLに近いのですがインピーダンスの中の位相差φを正にとります。 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 補足6：逆数の計算について抵抗の接続のときは、単にRとかR分の１で十分でしたね。でもこれが複素数となると話が少し複雑になりまして、逆数もそう簡単なことではなくなりました。 Z ＝R＋jX ① のとき、定義より、 Y ＝1/（R+jX）② ですが、言わずと知れたZの複素共役、R－jXを分子分母に掛けますね。 Y ＝（R－jX）/（R+jX）（R－jX）＝（R－jX）/（R2＋X2）③ となりました。もちろん、実部、虚部を分けて書くと、 Y ＝R/（R2＋X2）＋j（－X）/（R2＋X2）④ となります。ですが、むしろ③の表現にご注意ください。1/（R2＋X2）はもちろんただの実数の比例係数ですから、YはZ複素共役の数倍というものです。（方向が変わらないということ。）本文中で、「インピーダンスが電圧の位相をΦ進めるとき、アドミッタンスは電流の位相をΦ遅らせるから」と述べていましたが、この関係でYはZと偏角（YやZのベクトルが実軸となす角）がマイナス１倍になるのはもともとの複素共役の性質そのままです。虚軸 Z Φ 実軸－Φ ０ Y Zの複素共役 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 Yは電流の位相を進めます。もちろん位相が変化すると Y Y 補足7：極座標グラフの全表示（１）位相（偏角φ）の変化する場合電圧の位相が φ進むとき虚軸虚軸虚軸 Z φ 実軸実軸実軸０００ーφ Zが電圧の位相を遅らせる場合には、 Yも同様に変化する。（これはただの抵抗）電流の位相はφ遅れる。（２）大きさ│Z│の変化する場合 Z 当然│Z│が大きくな　　　れば虚軸虚軸虚軸反対に│Z│が小さくなれば Z 実軸実軸実軸 !! わかったら（でなくっても）ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。０００ Y Y │Y│はそれに反比例して小さく、 │Y│は大きく、

電気回路第1スライド付録 di dt [4] I ＝10εj（ωt＋θ）のとき、L を Iであらわしなさい。（t を消去すること。） [5] j + を計算しなさい。 1 jω 1 j [6] jω + ＝0 となるωを求めなさい。発展１：前回の演習問題の解答 [1] 交流100 [V]（実効値）を複素表示してください。初期位相はθとしましょう。（答）実効値100 V と言っているのですから、100にεの指数を掛けましょう。こたえは、100εjθです。 [2] εj（ωt＋π/6）を t で微分するといくらですか（答）εtを tで微分するとそのままεtでしたね。でも tのところが関数ωt＋π/6 になってますから、 dd ―[εj（ωt＋π/6）] = ―（ωt＋π/6）×εj（ωt＋π/6）= ωεj（ωt＋π/6）　となります。 dtdt [3] 100εj（ωt－π/12）を tで積分するといくらですか（答）εtを tで積分してもそのままεtでしたね。でもωt－π/12 のところは面倒ですが、微分して元に戻ればよいと考えると、微分してωが掛けられるので、積分では割っておきましょう。 100 100εj（ωt－π/12）dt= ――εj（ωt－π/12）＋Const.　となります。 ω ∫ （答）[2] と同様に微分して、 di d L― = L―[10εj（ωt＋θ）] = L×10ωεj（ωt＋θ）= ωL×10εj（ωt＋θ） = ωLIとなります。 dtdt （答）敢えて通分してみましょう。第1項に分子分母に jを掛けます。 1 j × j 1 (－1) + 10 j + ― ＝ ――― + ― = ――――― = ―― = 0 が答えです。 jj j j j ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。 !! （答）ほとんど同様に jωを掛けます。 1 jω × jω 1 －ω2 + 1 jω + ―― ＝ ――――― + ―― = ――――― = 0 として、 jωjω jω jω ω＝1 がこたえです。

電気回路第1スライド付録 1 発展2：インピーダンスの接続の演習（１）まず、抵抗だけの1[Ω]とインダクタンスと思われるj[Ω]を直列接続するインピーダンスはいくらか。 1 j （答）単に足すので１＋jですね。（2）では、それに（ヒントキャパシタンスと思われる）1/j[Ω]を直列接続するインピーダンスはいくらか。（答）前問題の１＋jに1/jを加えます。1/jは－jのため、１＋j－j＝１です。 j 1/j （3）つぎのような並列のインピーダンスはどうでしょうか 1 （答）もちろんZー1＝１ー1＋jー1のため Z=（1/1＋1/j）ー1 =（1－j）ー1＝（1＋j）/（12+12） =1/2＋j/2 j （4）ではこれはどうですか（答）Z=[1/（1＋j）＋1/（1－j）]ー1 =[（1/2＋j/2）＋（1/2－j/2）]ー1 =1ー1 =1 !! ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。 1＋j 1－j

電気回路第1スライド付録 発展3：各回路のインピーダンス基本的な回路のインピーダンスを出しましょう。まず、抵抗１個の場合は抵抗値Rがそのまま Z = R ① と化けるだけです。インダクタンス１個だと、例の電圧は電流の微分というのから、 e= Ldi/dt ② から、 E ＝ LjωI ③ より、 Z ＝jωL ④ となります。キャパシタンスの場合も電流は電圧の微分を用いて、 i = Cde/dt ⑤ ですから、 I ＝ CjωE ⑥ となって Z ＝ E/I＝１/jωC⑦ となります。　　さらに、少し複雑な回路を考えて、RL直列回路だと、インピーダンスを足すことから、 Z = （Rのインピーダンス）＋（Lのインピーダンス） =R＋jωL⑧ ですし、RL並列回路だと、インピーダンスだと逆数を足さないといけないので、 Zー１ = （Rのインピーダンス）ー１＋（Lのインピーダンス）ー１ = １/R＋１/jωL＝（jωL＋R）/jωLR ⑨ Z = jωLR/（jωL＋R）=jωLR（－jωL＋R）÷[（jωL＋R）（－jωL＋R）] = （ω２L２R＋jωR２）／（R２＋ω２L２） = ω２L２R／（R２＋ω２L２）＋jωLR２／（R２＋ω２L２）⑩ となって少し変形が大変ですね。 !! ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第1スライド付録 発展4：次回までの演習問題 [1] インピーダンスが 100jとなる回路および角周波数の組み合わせを3つ考えなさい。 [2] インピーダンスが 50－100jとなる回路および角周波数の組み合わせを2つ考えなさい。 [3] 次の回路のインピーダンスを求めなさい。 1 [Ω] 1 [mH] 0.001 [F] ω= 1000 [rad/s] !! ここをクリックしてもとのスライドに帰りましょう。

電気回路第 1 　第 10 回