Náhodná veličina

1. Náhodná veličina

2. Základní pojmy • Náhodná veličina- výsledek náhodného pokusu vyjádřený reálným číslem. • Příklady: • počet padlých líců při hodu pěti mincemi • číslo, které padne v ruletě • čas od spuštění stroje do jeho první poruchy • počet volání na zákaznickou linku během 10 minut

3. Základní pojmy Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny- pravidlo, které každé hodnotě (popř. každému intervalu hodnot) přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty (popř. hodnoty z tohoto intervalu).

4. Příklad 1:Nechť náhodná veličina X vyjadřuje počet šestek, které padnou při hodu čtyřmi kostkami. Určete rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Řešení:Postupně vypočítáme: • Pravděpodobnost, že šestka nepadne ani jednou: • Pravděpodobnost, že šestka padne právě jednou:

5. Pravděpodobnost, že šestka padne právě dvakrát: • Pravděpodobnost, že šestka padne právě třikrát: • Pravděpodobnost, že šestka padne právě čtyřikrát:

6. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny Náhodná veličina X vyjadřuje počet šestek, které padnou při hodu čtyřmi kostkami. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X.

7. Základní typy náhodných veličin • Diskrétní náhodná veličina • Spojitá náhodná veličina

8. Diskrétní náhodná veličina P(X = k)…pravděpodobnostní funkce Řekneme, že náhodná veličina X mádiskrétní rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně „je diskrétní“) právě tehdy, když nabývá nejvýše spočetně mnoha hodnot k tak, že

9. Zadání pravděpodobnostní funkce předpisem tabulkou grafem

10. Příklad 2: V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě). První stroj se porouchá s pravděpodobností 20%. Pravděpodobnost poruchy druhého stroje je 30%. Náhodná veličina bude označovat počet porouchaných strojů v dílně. Určete pravděpodobnostní funkci této náhodné veličiny.Náhodná veličina X … počet porouchaných strojů v dílněX může nabývat pouze konečně mnoha (tří) hodnot {0; 1; 2}, mělo by se tedy jednat o diskrétní náhodnou veličinu Označíme jevy: S1 … první stroj se porouchá,S2 … druhý stroj se porouchá. , .

11. Ze zadání vidíme, že P(S1) = 0,2 a P(S2) = 0,3. , Pravděpodobnostní funkce

12. Distribuční funkce Distribuční funkce F(x) – pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší než x. Vlastnosti distribuční funkce: nabývá hodnot z intervalu je neklesající, je zleva spojitá, má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti,

13. Distribuční funkce Ukázka distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny – X vyjadřuje číslo, které padne při hodu kostkou

14. Příklad 2 (pokračování): V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě). První stroj se porouchá s pravděpodobností 20%. Pravděpodobnost poruchy druhého stroje je 30%. Náhodná veličina bude označovat počet porouchaných strojů v dílně. Určete pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci této náhodné veličiny. , Distribuční funkci diskrétní náhodné veličiny X můžeme vyjádřit pomocí pravděpodobnostní funkce jako Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce

15. Příklad 2 (pokračování): V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě). První stroj se porouchá s pravděpodobností 20%. Pravděpodobnost poruchy druhého stroje je 30%. Náhodná veličina bude označovat počet porouchaných strojů v dílně. Určete pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci této náhodné veličiny. , Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce

16. Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí (diskrétní náhodná veličina) Pravděpodobnostní funkce je nenulová v bodech, v nichž je distribuční funkce nespojitá.

17. Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí (diskrétní náhodná veličina)

18. Spojitá náhodná veličina Pravděpodobnostní funkce SNV je nulová!!! • Určení rozdělení spojité náhodné veličiny • hustota pravděpodobnosti • distribuční funkce Řekneme, že náhodná veličina X máspojité rozdělení pravděpodobnosti (zkráceně „je spojitá“) právě tehdy, má-li spojitou distribuční funkci.

19. Přechod od histogramu k hustotě pravděpodobnosti

20. Hustota pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti f(x) spojité náhodné veličiny je reálná nezáporná funkce taková, že Ve všech bodech, kde existuje derivace distribuční funkce, platí:

21. Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti je nezáporná funkce. Plocha pod křivkou hustoty pravděpodobnosti je rovna 1.

22. Distribuční funkce Ukázka distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny Ukázka distribuční funkce spojité náhodné veličiny

23. Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí (spojitá náhodná veličina) V případě SNV jsou ostré a neostré nerovnosti ve výše uvedených vztazích zaměnitelné.

24. Vztah mezi pravděpodobností a distribuční funkcí (spojitá náhodná veličina)

25. Geometrická interpretace vztahu mezi pravděpodobností, distribuční funkcí a hustotou pravděpodobnosti