Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwy szkół: LO w Kamieniu Pom. i LO w Środzie Wielkopolskiej • ID grupy: 97_29_mf_g2 i 97_50_mf_g1 • Opiekunowie: Jarosław Boboryko i Ewa Sadys • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: „Paradoksy nieskończoności” • Semestr/rok szkolny: IV-V 2011-2012

3. Nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie nieskończonej. • Gottfried Wilhelm Leibniz XVII w.

4. WPROWADZenie … • Z pojęciem nieskończoności spotykamy w wielu dziedzinach. W szkole najczęściej mamy z nią do czynienia na matematyce, fizyce, filozofii lub religii, zdarza się, że na biologii i sporadycznie na innych lekcjach. • Zastanawiamy się, czy Wszechświat jest nieskończony? Czy materię można dzielić nieskończenie na coraz mniejsze części? • Boskość wraz z wiecznością silnie wiąże się z nieskończonością dla świata duchowego. • Te fundamentalne pytania, zagadnienia od dawna intrygowały człowieka.

5. … WPROWADZenie • Pojęcie nieskończoności zainteresowało także nasze grupy - do tego stopnia, że postanowiliśmy się temu tematowi poważnie przyjrzeć i go „rozpracować”. • Efekty naszych dociekań przedstawiamy w niniejszej prezentacji.

6. Historia nieskończoności (kluczowe daty)… Anaksymander z Miletu [610 p.n.e.] Apeiron – określenie mitycznego chaosu, nieskończony byt. Pitagoras[570 p.n.e. ] Odkrycie liczb niewymiernych... Arystoteles[384 p.n.e. ] Rozróżnia nieskończoność potencjalną i aktualna. Przychyla się definicji nieskończoności potencjalnej. Jego poglądy dominują przez kolejne 2000 lat...

7. … Historia nieskończoności (kluczowe daty) Galileo Galilei [1564] Jako pierwszy odrzuca arystotelowskie poglądy. Newton[1643] & Leibniz [1646] Tworzą wspólnie rachunek różniczkowy i całkowy. John Wallis [1657] Wprowadza oznaczenie nieskończoności – odwróconą ósemkę. Georg Cantor[1870] Tworzy teorię zbiorów. Definiuje współczesne pojęcie nieskończoności matematycznej.

8. Nieskończoność potencjalna i aktualna … • Kiedy pojawiło się w czasach starożytnych w matematyce pojęcie nieskończoności zauważono, że prowadzi ono do wielu paradoksów. • W efekcie tego pojawiły się dwa podejścia do rozumienia nieskończoności określone mianem nieskończoności potencjalnej i nieskończoności aktualnej.

9. … NIESKOŃCZONOŚĆ POTENCJALNA I AKTUALNA …- NIESKOŃCZONOŚĆ POTENCJALNA - • O nieskończoności potencjalnej mówimy wtedy, gdy stwierdzamy, że zawsze możemy wykonać kolejny krok, kolejną iterację, niezależnie od punktu, w którym rozważamy problem. • Nie zakładamy tu wcale istnienia żadnego nieskończonego bytu, a jedynie nieustającą możliwość powiększania (i analogicznie: nieustającą możliwość pomniejszania). • Np. zbiór liczb naturalnych jest nieskończony potencjalnie. Jest nieskończony, gdyż możemy bez końca powiększać go o 1... • 1... 2... 3... 100... 101... 1000... 1001...

10. … NIESKOŃCZONOŚĆ POTENCJALNA I AKTUALNA …- NIESKOŃCZONOŚĆ AKTUALNA - • Nieskończoność aktualna jest konkretnym, istniejącym i samodzielnym bytem. Bez granicy i niepoliczalnym. • W tym rozumieniu nieskończoność jest pewnym obiektem, na którym możemy dokonywać operacji i który możemy porównywać z innymi obiektami. • Stosuje się ją np. w teorii mnogości, gdy mówi się o zbiorach nieskończenie wieloelementowych, przez nieskończoność rozumie się moc zbioru.

11. … Nieskończoność potencjalna i aktualna … • Z grubsza biorąc, potencjalna nieskończoność to zbiór, który powiększa się do nieskończoności jako granicy, ale nigdy jej nie osiąga. Taki zbiór właściwie jest bardziej nieograniczony, a nie nieskończony. • Aktualna nieskończoność to zbiór, w którym liczba elementów jest rzeczywiście nieskończona. Taki zbiór już nie powiększa się do nieskończoności, on sam jest nieskończony, jest już ustalony.

12. … Nieskończoność potencjalna i aktualna • Uczeni starożytni uważali, że umysł ludzki nie jest w stanie ogarnąć nieskończoności aktualnej, że nie można tego co nieograniczone, studiować metodami ograniczonymi, i że badać można tylko nieskończoność potencjalną. • Kolejnym źródłem niechęci do przyjęcia istnienia nieskończoności aktualnej były obawy przed paradoksami z nią związanymi. • Jednak nie tylko starożytni czuli się niepewnie obcując z pojęciem nieskończoności. Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII wieku pisał: • Nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie nieskończonej.

13. paradoksy nieskończoności

14. Paradoksy Zenona z Elei • zbiór kilku paradoksów pochodzących od greckiego filozofa, Zenona z Elei. • Są to paradoksy, które łączy ukazanie trudności w rozumieniu czasu i przestrzeni jako wielkości ciągłych, które można w związku z tym dzielić w nieskończoność. Oprócz znaczenia czysto filozoficznego, paradoksy te mają też znaczenie matematyczne i fizyczne.

15. Paradoksy Zenona z Elei„Achilles i żółw”…

16. Paradoksy Zenona z Elei… „Achilles i żółw” … Achilles i żółw stają na linii startu na dowolnie skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego pozwala mu się oddali o ½ całego dystansu.

17. Paradoksy Zenona z Elei… „Achilles i żółw” … Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do ½ dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do ¾ dystansu.

18. Paradoksy Zenona z Elei… „Achilles i żółw” … W momencie, gdy Achilles przebiegnie ¾ dystansu, żółw znów mu „ucieknie” pokonując ¾ + 1/8dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16dalej i tak w nieskończoność.

19. Paradoksy Zenona z Elei… „Achilles i żółw” W ten sposób Achilles nigdy nie dogoni żółwia - konkludował Zenon. Tak postawiony problem jednak został dawno rozwiązany przez rachunek różniczkowy.

20. Paradoksy Zenona z Elei„dychotomia”… gr.Díchotomia- podział na dwa/ dwudzielność. Dwudzielność - podział na dwie części, wzajemnie się wykluczające i uzupełniające do całości. Podział dychotomiczny zbioru X polega na wyróżnieniu w nim dwu podzbiorów – A i B – które są rozłączne (nie mają wspólnych elementów) i wyczerpują zbiór X (w skład X nie wchodzi nic spoza A i B, każdy element zbioru X należy albo do podzbioru A albo do B). Najprostszym przykładem podziału dychotomicznego jest podział liczb całkowitych na parzyste i nieparzyste. Oznacza to, że każda liczba całkowita może być tylko parzysta albo nieparzysta oraz że zbiory liczb parzystych i nieparzystych nie zawierają tych samych elementów i w sumie tworzą zbiór liczb całkowitych.

21. Paradoksy Zenona z Elei… „dychotomia” Biegacz ma do przebiegnięcia pewien skończony dystans. Zanim jednak pokona całą odległość musi przebiec do ½ długości, ale zanim dobiegnie do ½ długości musi najpierw dobiec do ¼ długości itd. Wniosek: Wynika z tego, że biegacz ma do przebycia nieskończoną liczbę odcinków do przebycia w skończonym czasie, biegacz nigdy nie ukończy biegu.

22. Paradoksy Zenona z Elei„Strzała”…

23. Paradoksy Zenona z Elei… „Strzała”… Załóżmy, że wystrzelona z łuku strzała pokonała określony dowolny odcinek drogi.

24. Paradoksy Zenona z Elei… „Strzała”… Można więc powiedzieć, że w momencie wystrzelenia znajdowała się ona na początku tej trasy, a po dotarciu do celu – na końcu. Koniec Początek

25. Paradoksy Zenona z Elei… „Strzała”… Pytanie jednak: Gdzie przebywała w trakcie pokonywania tej drogi? ? Można odpowiedzieć, że w ¼ czasu pokonywania tego odcinka musiała być niewątpliwie w ¼ odcinka. Gdy zadamy pytanie, gdzie była po ½ czasu lotu, znowu można odpowiedzieć, ze w ½ odcinka. Po ¾ czasu – w ¾ odcinka, i tak dalej w nieskończoność …

26. Paradoksy Zenona z Elei… „Strzała” Wniosek: "Paradoks Strzały"- zakłada, że strzała, którą wypuści łucznik nigdy nie osiągnie celu, co wynika z tego, iż w każdym momencie teraźniejszości strzała nie jest w ruchu, lecz spoczywa i jest usytuowana w przestrzeni - a skoro na czas składają się takie momenty, tzn. chwile, kiedy strzała jest w spoczynku, to istotnie strzała spoczywa cały czas i nie jest w stanie przesuwać się naprzód.

27. Paradoksy Zenona z Elei „stadion” Rozważmy wyścig rydwanów. Szybkość z jaką rydwany poruszają się jest jednocześnie taka i inna, mniejsza i większa, w zależności od tego, względem jakich innych przedmiotów (rydwanów) jest rozważana. Jeśli zaś ruch dokonuje się z szybkością, która jest jednocześnie "taka i nie taka" to jest sprzeczny i nie może istnieć. Inny przykład: Jeśli na kolejowej stacji stoi pociąg A , a dwa inne B i C tej samej długości zbliżają się do niego z dwóch różnych kierunków z takimi samymi prędkościami tak, że w jakiejś chwili zrównają się wszystkie ze sobą, to czas, w jakim B będzie mijał A, będzie dwa razy dłuższy od czasu, w jakim B mijał będzie pociąg C , no a przecież wszystkie pociągi jadą tak samo i tak samo się mijają. Każdy czas równy jest połowie siebie samego.

28. Paradoksy Zenona z Elei Paradoksy te ukazują trudności w rozumieniu czasu i przestrzeni. Zenon z Elei posługując się wyszukanymi argumentami rozumowymi bronił tezy o niezmienności i niepodzielności bytu. Paradoksy, które sformułował, miały dowodzić, ze ruch nie istnieje. Przeciwko wielości rzeczy wysuwał twierdzenie, że nie można w nieskończoność dzielić czegoś, bo uzyska się w końcu części nie posiadające wymiarów, a suma części bez wymiarów musi być równa zeru. Paradoksy Zenona z Elei były rozważane przez najwybitniejszych filozofów, a doczekały się naukowego rozwiązania dopiero dzięki badaniom nad pojęciem ciągłości.

29. Paradoks Hilberta … • Paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudności w intuicyjnym rozumieniu pojęcia "ilości" elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów. Paradoks ten znany jest też pod nazwą paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta.

30. … Paradoks Hilberta … • Hotel Hilberta ma nieskończenie wiele pokoi. Pewnego wieczora do hotelu przybywa spóźniony gość. Okazuje się, że wszystkie pokoje są już zajęte. Co robi recepcjonista? Gościa z pokoju 1 przenosi do pokoju 2, z kolei gościa z pokoju 2 przemieszcza do pokoju 3 itd., przenosi każdego gościa do pokoju o numerze o jeden większym. • Teraz, gdy pokój 1 jest pusty, recepcjonista może umieścić w nim nowego gościa.

31. … Paradoks Hilberta … • I teraz zachodzi pytanie: czy recepcjonista będzie miał problem z rozlokowaniem turystów w przypadku gdyby następnego dnia przybyła nieskończona ich liczba? Otóż nie: gościa z pokoju 1 umieszcza się w pokoju 2, tego z pokoju 2 przemieszcza się do pokoju 4, ogólnie każdego przesuwa się do pokoju o numerze dwa razy większym. • W ten sposób tylko pokoje o numerach parzystych będą zajęte, a w pozostałych pokojach - o numerach 1, 3, 5... - będzie można umieścić wszystkich uczestników wycieczki.

32. … Paradoks Hilberta …

33. … Paradoks Hilberta • Gościa q i jego znajomych umieszczamy na miejscach o numerach pn, gdzie n jest liczbą naturalną. • Każdą liczbę naturalną można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. • Ponieważ każda liczba ma jednoznaczny rozkład, więc jeśli pn = qn , to m=n i p=q, gdyż p i q są liczbami pierwszymi.

34. PARADOKS PROKLOSA • „Średnica dzieli koło na dwie równe części. Jeżeli jednak za pomocą jednej średnicy powstają dwa półkola i jeżeli przeprowadzić przez środek nieskończenie wiele średnic, to okazie się, ze półkoli będzie dwa razy więcej niż nieskończenie wiele.” • Tak Proklos w komentarzu do I księgi „Elementów” Euklidesa3, zauważył ze zbiór nieskończony może mieć tyle samo elementów co jego część.

35. Paradoksy sumy nieskończonej • paradoksów dotyczących sum nieskończonych powstało bardzo wiele. Sytuacja została uporządkowana przez teorie szeregów liczbowych zainicjowana przez Newtona i uzupełniona przez Cauchyego definicja sumy szeregu liczbowego. • Czy zero równe jest jedności? • 0 = 0 + 0 + 0 + . . . + 0 + . . . • 0 = (1 − 1) + (1− 1) + (1− 1) + . . . + (1 − 1) + . . . • 0 = 1 − 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . + 1 − 1 + . . . • 0 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . + (−1 + 1) + . . . = 1 • 0 = 1 • Kolejny przykład to: • s = 1 − 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . + 1 − 1 + . . . • s = 1 − (1 − 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . + 1 − 1 + . . .) = 1 − s • s =1/2 •  Zatem 0 = ½. ;-)

36. Zbiór cantora … • Lęk przed paradoksami związanymi z nieskończonością trwał aż do drugiej połowy XIX wieku. W latach siedemdziesiątych XIX wieku Georg Cantor rozpoczął prace badawcze nad zbiorami złożonymi z absolutnie dowolnych elementów. • Nie zajmowano się wcześniej tak ogólnymi tworami, a pomysł na analizowanie tak ogólnych zbiorów powstał pod wpływem jego prac nad zbieżnością pewnych szeregów. Efektem badań było opublikowanie w latach 1874-1897 podstaw teorii mnogości, zwanej teorią zbiorów. • Można powiedzieć, że Cantor przełamał strach przed badaniem nieskończoności aktualnej i że jego rezultaty wstrząsnęły ówczesną matematyką.

37. … Zbiór cantora … • Nieskończoność iteracji (nieskończoność kroku) jest to typowy przykład styczności matematyki z nieskończonością potencjalną. • Zbiór Cantora jest przykładem zbioru fraktalnego, w którym obserwujemy nieskończoność iteracji. • Fraktale powstają jako iteracje pewnych funkcji, najczęściej ciągu zbiorów, niejako kopiując „samego siebie” poprzez odwzorowanie zwężające. Zbiory fraktalne posiadają zadziwiające własności, szczególnie w kontekście wymiaru oraz tzw. samopodobieństwa.

38. … Zbiór cantora • Odcinek dzielimy na 3 równe części i usuwamy cześć środkową (otwartą). W ten sposób powstaje pierwsza iteracja, której wynikiem są 2 nowe odcinki. Każdy z nich dzielimy na 3 równe części i ponownie usuwamy części środkowe. W drugiej iteracji powstają 4 odcinki. W n-tej iteracji otrzymujemy 2n odcinków. Powtarzając procedurę w nieskończoność otrzymujemy zbiór Cantora.

39. Paradoks Russella … • Paradoks podany przez Bertranda Russella jest inną wersją paradoksu „Achilles i żółw”. • Sytuacja jest w nim taka sama - znowu żółw dostaje fory. Ale tym razem powód, dla którego zwierzę jest niedoścignione, okazuje się inny. • Załóżmy, że w każdym momencie Achilles, podobnie jak żółw, jest w dokładnie jednym miejscu. Żeby prześcignąć żółwia, musi być w większej liczbie miejsc niż żółw (bo zwierzak był o ileś miejsc w przedzie). Z drugiej strony na każde przebyte miejsce trzeba poświęcić jeden moment (w danym momencie jest dokładnie w jednym miejscu). • Wniosek: Achilles momentów na ich pokonanie ma tyle samo, czyli nie uda mu się dogonić żółwia!

40. … Paradoks Russella • Rozumowanie przedstawione przez Russella istotnie prowadzi do paradoksu, o ile jesteśmy przekonani, że część drogi ma mniej "miejsc" niż cała droga. • To, że część ma mniej elementów niż całość, wydaje się jednak słuszne: wróbli jest mniej niż wszystkich ptaków, ptakównatomiast mniej niż wszystkich zwierząt. • Z podobnymi dylematami zmagał się Galileusz.

41. Paradoks „TristamaShandy'ego” • To kolejny paradoks Russella, który jest przykładem paradoksu odwrotnego do paradoksu „Achilles i żółw”. Rusellopisywał go tak: • Shandypoświęcił dwa lata na pisanie kroniki dwu pierwszych dni swego życia i narzekał, że przy takim tempie materiał będzie gromadził się szybciej, niż on będzie w stanie opracowywać go, tak że z upływem czasu znajdować się będzie coraz dalej od końca swej historii. • Gdyby Shandy żył wiecznie, spisałby całą swą historię: każdy dzień byłby opisany - powiedzmy, dzień numer n, byłby opisany w roku numer n.

42. Paradoks Galileusza … • W dziele „Discori” Galileusz zauważa, ze liczb kwadratowych postaci 1, 4, 9, 16, . . . jest tyle samo co liczb naturalnych 1, 2, 3, 4, . . ., co przeczyło intuicji, która mówiła, ze część musi być mniejsza od całości. • Uzasadnienie opiera się na pokazaniu odwzorowania jeden-do-jednego. Odwzorowanie to pokazuje, czy dwa zbiory są równoliczne, czyli są tej samejmocy. To tak jakbyśmy sprawdzali, czy mamy tyle samo palców na obu dłoniach przykładając je do siebie.

43. … Paradoks Galileusza… • W przypadku zbiorów skończonych część właściwa zbioru posiada mniejsza liczbę elementów niż zbiór wyjściowy. Okazuje się, że dla zbiorów nieskończonych zbiór może być równoliczny ze swoim podzbiorem, co pokazuje na przykładzie paradoks Galileusza. • Mówi też o tym następujące twierdzenie: Twierdzenie (Cantora - Bernsteina) Jeśli zbiór X jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru Y oraz zbiór Y jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru X, to zbiory X i Y są równoliczne. (|X|  |Y|)  (|Y|  |X|)  |X| = |Y|

44. … Paradoks Galileusza • Liczby wymierne zawierają jako podzbiór liczby naturalne. Podobnie liczby wymierne ułożone specyficznie na ćwierćpłaszczyźnie demonstrowanej poniżej (patrz I kolumna). Zatem moc zbioru liczb wymiernych wraz z „duplikatami” nie może być mniejsza od mocy zbioru liczb naturalnych. Ustawienie tych liczb w kolejności pokazanej przez strzałkę pokazuje, że tych liczb jest dokładnie tyle samo co liczb naturalnych. Jeżeli z tej ćwiećpłaszczyzny usuniemy wszystkie duplikaty (dla każdej liczby wymiernej tutaj zademonstrowanej jest ich nieskończenie wiele) to otrzymamy zbiór liczb wymiernych równoliczny z częścią liczb naturalnych. Na podstawie tw. Cantora-Bernsteina stwierdzamy, że: Zbiory liczb wymiernych i naturalnych są równej mocy!

45. Czy wszystkie zbiorynieskończone maja równą moc? ... Dowód na to, że liczb rzeczywistych jest więcej od naturalnych. Rozumowanie przebiega następująco: każda liczba rzeczywista ma swoje rozwinięcie dziesiętne, skończone lub nie. Jeśli jest ono skończone, dopiszemy na jego końcu zera tak, by otrzymać rozwinięcie formalnie nieskończone. Załóżmy, że możemy ponumerować wszystkie liczby rzeczywiste liczbami naturalnymi, a następnie ustawić je jedna za drugą, na przykład w podany obok sposób.

46. … Czy wszystkie zbiorynieskończone maja równą moc? ... Skonstruujemy teraz liczbę rzeczywistą, która jednak w powyższym ciągu na pewno nie wystąpi. Mianowicie, kolejne cyfry naszej liczby tworzymy tak, że nasza liczba ma na k-tym miejscu po przecinku cyfrę o 1 większą niż ma na k-tym miejscu liczba stojąca w powyższym ciągu na miejscu k-tym, lub 0 jeżeli tą cyfrą była 9. W naszym przykładzie wyglądałaby ona tak: 0,3896101…

47. … Czy wszystkie zbiorynieskończone maja równą moc? … Ponieważ założyliśmy, że zbiór zawiera wszystkie liczby rzeczywiste to znaczy, że nowo skonstruowana liczba musi być równa którejś z liczb już tam występujących. Załóżmy, że jest równa n-tej liczbie - wtedy, w szczególności, powinna mieć na n-tym miejscu po przecinku taką samą cyfrę - dochodzimy więc do sprzeczności ponieważ skonstruowaliśmy liczbę tak, że na n-tym miejscu ma inną cyfrę. Z dowolności wyboru n mamy, że liczba ta nie występowała wcześniej w naszym zbiorze.

48. … Czy wszystkie zbiorynieskończone maja równą moc? Otrzymana sprzeczność wynikająca z przedstawionego rozumowania pokazuje, że zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych nie są równoliczne. Zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych NIE są równej mocy!

49. Paradoksy nieskończonościpodsumowanie • To, że liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych, to jednak tylko "rzadki objaw normalności". • Okazuje się, że prosta ma tyle samo punktów, co odcinek. Odcinek ma tyleż punktów, co płaszczyzna. Płaszczyzna tyle, co przestrzeń. • Krótko mówiąc, są to rzeczy, o których się nie śniło filozofom (szczególnie Zenonowi z Elei). • Paradoksy od lat są jednym z motorów napędowych postępu nauki. Gdy uczeni trafią na zjawisko paradoksalne, na ogół nie spoczną, dopóki nie pojmą jego istoty. Bardzo często dzięki temu powstaje nowa teoria.

50. Ważne postaci w historii badań paradoksów nieskończoności