Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

1. SelamatDatangDalamKuliah Terbuka Ini

2. Kuliahterbuka kali iniberjudul“PilihanTopikMatematika -III”

3. DisajikanolehSudaryatno Sudirhammelaluiwww.darpublic.com

4. Sesi 2 Matriks

5. 1. PengertianTentangMatriks Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. Contoh: Bilanganinibisaberupabilangannyataataukompleks. Kita akanmelihatmatriksberisibilangannyata. baris kolom Notasi: Nama matriks: huruf besar cetak tebal. Contoh:

6. Elemen Matriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh: 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalahelemen-emenenmatriks yang membentukbaris 2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalahelemen-elemenmatriks yang membentukkolom Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari bkelemen-elemen Ukuranmatriksdinyatakansebagaibk Contoh: adalahmatriksberukuran23

7. NamaKhusus Matriksdenganb = k disebut matriks bujur sangkar. Matriksdengank = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriksdenganb = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriksdenganb  k disebutmatrik segi panjang Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal Contoh: b = k = 3 b = 2, k = 3 matriks bujur sangkar 33 matriks segi panjang 23 k = 1 b = 1 vektor kolom vektor baris

8. Diagonal Utama Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama

9. Matriks Segitiga Ada duamacammatriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh: Matriks segitiga bawah : Matriks segitiga atas :

10. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh:

11. Matriks Satuan Jikasemuaelemenpada diagonal utamaadalah 1, sedangelemen yang lain adalah 0, matriksitudisebutmatrikssatuan. Contoh: Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran mn adalah matriks yang berukuran mn dengan semua elemennya bernilai nol.

12. Anak matriksatausub-matriks Contoh: MatriksBmemiliki: - Dua anak matriks1 3 , yaitu: - Tiga anak matriks2 1, yaitu: - Enam anak matriks1 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2]; - Enam anak matriks 12 yaitu: - Tiga anak matriks 22yaitu:

13. Matriks dapatdipandangsebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor Contoh: dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriksberupa vektor baris Contohyang lain: dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriksyang berupa vektor kolom

14. Jika maka haruslah 2. OperasiMatriks Kesamaan Matriks Dua matriks A danB dikatakansamajika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Contoh: A = B .

15. Matriks Negatif Negatif dari matriks berukuran mn adalahmatriks berukuran mn yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (1). Contoh:

16. maka Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran mn adalah sebuah matriks C berukuran mn yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama Contoh: Jika Sifat-sifat penjumlahan matriks:

17. Pengurangan Matriks Penguranganmatriksdapatdipandangsebagaipenjumlahandenganmatriksnegatif Contoh:

18. Perkalian Matriks Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C=AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dalamperkalianmatriks, urutanhatusdiperhatikan. Perkalian matrikstidakkomutatif. Jadi jika matriks A berukuran mn danB berukuran pq maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran mqdengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

19. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang seluruh elemennya bernilai a kali. aA = Aa Contoh: Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

20. Perkalian Internal Vektor (dot product) Perkalian internal antara dua vektora dan byaitu c =abhanya terdefinisikan jika banyak kolom vektora sama dengan banyak baris vektorb. Dalamperkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan. Contoh: vektor baris: 2 baris vektor kolom: 2 kolom . perkalian internal dapat dilakukan Jika urutan dibalik, b: 1 kolom, a : 1 baris,perkalian jugadapat dilakukantetapimemberikanhasil yang berbeda Perkalian matriks tidak komutatif.

21. Perkalian Matriks Dengan Vektor Contoh: 2 baris Misalkan dan 2 kolom dapat dikalikan Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukankarena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

22. Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar Contoh: dan baris = 2 kolom = 2 dapat dikalikan Matriks A kita pandang sebagai Matriks B kita pandang sebagai

23. Perkalian dua matriks persegi panjang Contoh: dan baris = 3 dapat dikalikan kolom = 3

24. Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atasadalah sehingga , Dalam operasi perkalian matriks: matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom .

25. Sifat-sifatperkalian matriks • Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB BA c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku. Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

26. 3. PutaranMatriks Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT Jika maka

27. Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris. Contoh:

28. Putaran Jumlah Dua Vektor Baris Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor Contoh: Jika maka Secara umum :

29. Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik Contoh: Jika maka

30. Contoh: Jika maka Secara umum :

31. Putaran Matriks Persegi Panjang Contoh: Jika maka Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris maka Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom maka

32. Putaran Jumlah Matriks Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. Jika dan maka Dengan demikian

33. Dengan demikian maka Putaran Hasil Kali Matriks Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Jika dan maka

34. Jika dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Matriks Simetris Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila Karena dalam setiapputaran matriks nilaielemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol.

35. Kuliah Terbuka PilihanTopikMatematika III Sesi 2 SudaryatnoSudirham