Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

1. Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Hnilica, J., Fotr, J. Aplikovaná analýza rizika Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Vlachý, J. Řízení finančních rizik

2. Význam ekonomického modelování • Ekonomické modelování se využívá pro analýzu ekonomických jevů. • Modely v ekonomii nahrazují experiment v exaktních vědeckých disciplínách. • Modely umožňují pochopit chování ekonomických systémů a jejich složek při existenci rizika. • Ekonomické modelování řeší především tyto úlohy: • Citlivostní analýzu (význam při kvalitativní analýze rizik a při jejich zajišťování) • Hodnotovou analýzu • Tržní oceňování (rovnovážné tržní modely) • Komparaci; optimalizaci (dynamická analýza systémů) Ekonomické modelování

3. Praxe ekonomického modelování • Základní metody řešení modelů • Analytické řešení ... někdy složité, případně neexistuje (ale mnohé známé vzorce jsou ve skutečnosti analytická řešení modelů - úroková parita, CAPM, Blackův-Scholesův model, oceňovací model diskontovaných peněžních toků atd.) • Numerické řešení ... roste na významu díky dostupnosti a výkonu výpočetní techniky (např. bootstrap, rekurze, iterace, simulace) • Riziko modelu a jeho řízení • Chybné vstupy; nesprávné odhady předpokladů; chybná implementace; nesprávné použití (špatně zvolený model). • Nezávislá kontrola; úplná dokumentace; kvalitní správa dat; zpětné testování; validace. • Vždy je třeba používat modely, kterým uživatel dobře rozumí a kontrolovat je zdravým úsudkem. Ekonomické modelování

4. Co je riziko Riziko je míra odchylky možného budoucího stavu světa od stavu očekávaného. • Obecně nelze říci, jestli je riziko „dobré“ nebo „špatné“ • záleží na kvalitativní analýze („co se stane když“), a • subjektivním vnímání užitku. • Jednotlivci mohou • být rizikově neutrální • vyhledávat riziko • mít averzi (odpor) k riziku • Pokud se s rizikem obchoduje (úplné efektivní trhy), vznikne rovnovážná cena rizika; trh se pak chová, jako by měl odpor k riziku a vyšší riziko musí být kompenzováno vyšším očekávaným výnosem. Ekonomické modelování

5. Popis rizika • Používají se nástroje statistiky, vycházející z empiricky nebo teoreticky zjištěných statistických rozdělení náhodných jevů(= které nemůžeme s jistotou předvídat). • Míra polohy (medián) a variability (sm. odchylka) úplně popisují normální (Gaussovo) rozdělení (jiná rozdělení mohou mít méně nebo více parametrů). • Ke kvantifikaci rizika se používají statistické míry odchylky (variability) náhodného jevu: • Oboustranné (variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka) • Jednostrané (semivariance, kvantilové rozpětí) Ekonomické modelování

6. Riziková analýza hazardní hry • Pravidla: Výsledek hodu mincí určí, který z hráčů zaplatí druhému stanovenou částku. • Z kolektivního pohledu hra s nulovým součtem • Očekávaný výnos je nulový (není-li daň či krupiér) • Riziko je nulové (co jeden prodělá, to druhý vydělá) • Kvalitativní (citlivostní) analýza (libov. hráče) • Kolik prohraju, když prohraju? Záleží na vsazené částce (10 Kč, 1 mil. Kč...) a pravidlu pro výplaty • Kvantitativní analýza • Jak je pravděpodobné, že se výsledek bude lišit od očekávaného? Ekonomické modelování

7. Kvantitativní analýza (1) P(R) 50% A B R +100 -100 • Analýzou teoretického statistického rozdělení (výčtem všech možných scénářů a přiřazením pravděpodobností) RA= 100 Kč, RB= -100 Kč, P(A)= 50%, P(B)= 50% E(R)= P(A) RA + P(B) RB = 0 Kč Existuje-li bezplatná možnost volby („efektivní trh“), lze totéž odvodit i z rovnovážného argumentu: „Proč by měl být můj očekávaný výnos horší než očekávaný výnos protihráče nebo výsledek rozhodnutí ‚nehraju‘?“ s(R)= = =100 Kč Ekonomické modelování

8. Kvantitativní analýza (2) • Doplnění pravidel: Vítěze určí větší počet hodů (nezávislých náhodných jevů). • U malého počtu hodů lze spočítat; pro 2 hody: RA= 100 Kč, RB= 0 Kč, RB= -100 Kč, P(A)= 25%, P(B)= 50%, P(C)= 25% => 2E(R)= 0 Kč, 2s(R)= 70,7 Kč (očekávaná hodnota se nemění+riziko klesá) • Statistickou analýzou lze odvodit NE(R)= E(R), Ns(R)= s(R)/√N (tzn. např. 25E(R)= 0 Kč, 25s(R)= 20 Kč). Měli by skuteční hráči zájem o takové doplnění pravidel? • Alternativou statistické analýzy je numerický experiment (simulace) Ekonomické modelování

9. Kvantitativní analýza (3) • Numerické experimentální metody využívají zákona velkých čísel (při velkém počtu nezávislých pokusů se relativní četnosti a jejich charakteristiky blíží teoretickému rozdělení). • Při neparametrické simulaci se vychází přímo z empirického pozorování daného jevu (předpoklad, že se výběrové rozdělení rovná skutečnému). • Při parametrické simulaci (statistická simulace, „Monte Carlo“) se mnohokrát opakuje experiment s využitím generátoru náhodných čísel se zvoleným rozdělením (předpoklad, že se teoretické rozdělení rovná skutečnému). Ekonomické modelování

10. Realizace statistických simulací • Generátory náhodných čísel • Tabulky náhodných čísel • Mechanické, fyzikální, chemické generátory • Aritmetické generátory (pseudonáhodná čísla splňující testy náhodnosti) • Využití výpočetní techniky • Speciální matematický či statistický software (např. MatLab) • Simulační software (např. Crystal Ball, @Risk) • Běžný tabulkový procesor (např. Excel) Ekonomické modelování

11. Statistické simulace v Excelu • Funkce =rand() nebo v české verzi =náhčíslo() generuje spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu <0; 1> • Transformace na diskrétní rovnoměrná rozdělení =round(rand(); 0) ... nabývá hodnot {0; 1} =int(rand()×6)+1 ... nabývá hodnot {1; 2; 3; 4; 5; 6} • Transformace na běžná spojitá rozdělení (analyticky nebo pomocí inverzní kumulativní distribuční funkce) =rand()×6 – 3 ... spojité rovnoměrné -3; 3 =norminv(rand(); m; s) ... normální (Gaussovo) rozdělení dále např. =betainv(), =chiinv(), =gammainv(), =loginv() Do v. Excel 2002 se vestavěny generátor nedoporučuje pro velké modely (lze použít generátory třetích stran nebo přímo simulační nástavby); Excel 2003 má chybu (použít opravný balíček). Ekonomické modelování

12. Hazardní hra 2 (kostky) • Určete pravděpodobnost, s níž padne při hodu dvou kostek menší číslo než 8. • Výčtem scénářů (kombinační tabulka) ... P(<8) = N(<8)/N = 21/36 = 58,3% • Statistickou (Monte Carlo) simulací Ekonomické modelování

13. Spotřebitelské úvěry (diverzifikace) • Zadání: Banka poskytuje roční úvěry se sazbou 12% klientům, u nichž je pravděpodobnost nesplacení (navzájem nezávislá) 5%. Porovnejte očekávaný výnos a riziko pro 1, 2, 3... úvěry. • Analytické řešení je analogické jako u mincí, tzn. výčtem scénářů nebo podle analytického vzorce (viz Vlachý:40-41) • Numerické řešení statistickou simulací Ekonomické modelování

14. Komentář k aplikaci σ Specifické riziko Systematické riziko N • Specifické riziko způsobují (statisticky) nezávislé náhodné jevy. Specifickou složku rizika lze (teoreticky donekonečna) snižovat diverzifikací. • Systematické riziko je dáno rizikovostí ekonomiky (trhu, segmentu, pojistné třídy apod.) Není (v rámci investic na daném trhu) diverzifikovatelné. • Z pojistně-matematického principu (Bernoulli 1713, Poisson 1835) se vychází u nezávislých rizik (pojišťovnictví, spotřebitelské úvěry) • Chování závislých rizik (tržní rizika) popisuje Moderní portfoliová teorie(Markowitz 1952) Ekonomické modelování

15. Simulace procesů (běžný účet) • Příklad: Odhadujeme denní příjem na účtu v rozmezí 50-100 tisíc korun s rovnoměrným rozdělením. Aktuální zůstatek na účtu je 450 tis. Kč a za patnáct dní má být jednorázově uhrazena částka 1,5 mil. Kč. Jaká je pravděpodobnost toho, že budeme nuceni čerpat kontokorentní úvěr? Jakou výši kontokorentního rámce musíme sjednat, abychom si byli s 95% spolehlivostí jistí, že ho nepřekročíme? • Řešení statistickou simulaci. Porovnat výsledek s deterministickým výpočtem. Ekonomické modelování

16. Domácí úkoly (1) • Zadání: Ověřte statistickou simulací analytický výpočet očekávaného výnosu a směrodatné odchylky hry o 100 Kč, založené na výsledku 25 hodů mincí. Analyzujte chybu odhadu. • Nápověda: V jednom řádku Excelové tabulky generujte scénář s využitím 25 nezávislých náhodných čísel, transformovaných na diskrétní rovnoměrné rozdělení {-1; 1}. V sousedním sloupci na tomtéž řádku spočítejte výsledek hry (pokud vyhrajete většinu hodů, získáte 100 Kč, pokud prohrajete většinu hodů, ztratíte 100 Kč, v případě remízy nikdo nic neplatí). Na dalších řádcích scénář mnohokrát opakujte. Ze všech výsledků her spočítejte průměrnou hodnotu a směrodatnou odchylku. • Chybu zjištěné průměrné hodnoty odhadnete tak, že celý experiment opakujete 10× (klávesa F9) a odečtete druhý nejnižší od druhého nejvyššího výsledku. Porovnejte chybu pro experimenty s 50, 500 a 5000 scénáři. Ekonomické modelování

17. Domácí úkoly (2) • Zadání: Proveďte simulaci běžného účtu za předpokladu odlišných statistických rozdělení denních příjmů • Normální rozdělení se střední hodnotou 75 tis. Kč a směrodatnou odchylkou 20 tis. Kč. • Trojúhelníkové rozdělení s nejpravděpodobnější hodnotou 75 tis. Kč, nejnižší hodnotou 40 tis. Kč a nejvyšší hodnotou 110 tis. Kč. • Zadání: Porovnejte výsledky (libovolné varianty zvoleného rozdělení), pokud u simulace běžného účtu předpokládáte úrokové výnosy (ukládání zůstatků přes noc při sazbě 2% p.a.) • Zadání: Můžete uložit libovolnou částku na 15 denní depozitum se sazbou 3% p.a., případné přečerpání účtu (počítané denně) však stojí 15% p.a. Určete optimální výši depozita. Nápověda: Proveďte simulaci pro různé velikosti depozita a z charakteristiky závislosti celkových čistých úrokových nákladů (nejlépe znázorněné graficky) odhadněte minimum této funkce. Ekonomické modelování

18. Příklad (Ludolfovo číslo) • Jak zjistit hodnotu Ludolfova čísla (p)? • Analyticky (geometricky)... Archimédes (200BC) => Ludolf van Ceulen (1600AD) (pomocí mnohoúhelníků opisujících obvod kružnice) • Numericky (Monte Carlo)... de Buffon (1777- Buffonova jehla) • Pro obsah kruhu platí S= pr2 • Obsah čtvrtkruhu o jednotkovém poloměru r = 1 je tedy SQ= p/4. Čtvrtkruh se vejde do čtverce o obsahu Sƀ= 1. • Platí tedy, že poměr Sƀ / SQ= 4/p => p = 4 SQ. • Poměr obsahů lze odhadnout náhodným generováním souřadnic {x; y} a zjištěním četností pokusů, při nichž x2 + y2≤ 1. Ekonomické modelování

19. Příklad (investiční strategie) • Podnik je portfoliem tří projektů, jejichž očekávanou hodnotu za rok lze vyjádřit spojitými rovnoměrnými rozděleními v intervalu 1; 6. • Provozní náklady na každý projekt činí 1; počáteční hodnota (velikost investice) každého projektu činí 2. • Pomocí statistické simulace odhadněte očekávanou výnosnost kapitálu a její rizikovost (s) za předpokladu investice z vlastních zdrojů, resp. 50% (75%, 90%) financováním úvěrem. • Porovnejte výsledky s analogickým investičním rozhodováním, není-li zohledněno riziko (tzn. předpokládáme budoucí hodnoty projektů ve výši 3,5). • Lišily by se výsledky, pokud by podnik celou částku 6 investoval pouze do jednoho z projektů? Ekonomické modelování