bande di energia in un conduttore

1. g(E) va a zero sia al bordo inferiore che a quello superiore della banda bande di energia in un conduttore La banda di energia più alta è parzialmente vuota  livello di Fermi

2. Overlap di bande di energia in un conduttore bande di energia nel magnesio bande di energia nel sodio EF la banda 3s è parzialmente vuota; l’overlap con la banda 3p estende la banda permessa in cui già cade EF la banda 3s è totalmente occupata, ma l’overlap con la banda 3p fa sì che EF cada in una zona di energie permesse

3. bande di energia in un isolante EF

4. energy gap EF bande di energia in un semiconduttore

5. l I S V Modello classico: Drude e Lorentz, 1905 il problema: la legge di Ohm V=RI suggerisce una proporzionalità tra forza (campo elettrico) e velocità (intensità di corrente) conduzione elettrica nei metalli moto “viscoso” • il modello: • gli elettroni in un conduttore si comportano come un “gas” di particelle quasi libere che si muovono con velocità disordinata di agitazione termica in tutte le direzioni, secondo la distribuzione di Boltzmann (velocità termica vt ) • in presenza di un campo elettrico gli elettroni vengono accelerati in direzione opposta al campo, acquistando una velocità media ordinata in questa direzione (velocità di deriva vd ) • negli urti anelastici contro gli ioni del reticolo perdono l’energia in più acquistata nell’accelerazione e ripartono con l’energia termica media (il che spiega l’effetto Joule) • la velocità media di deriva è quindi la velocità media acquistata sotto l’azione del campo elettrico nel tempo medio  fra un urto e il successivo (tempo di rilassamento)

6. resistività l I S V legge di Ohm V=RI conduzione elettrica nei metalli cammino libero medio fra urti successivi quanto vale ? Nell’urto si ristabilisce l’equilibrio energetico, quindi in media l’elettrone cede all’atomo l’energia acquistata a spese del campo elettrico (effetto Joule) inoltre: mobilità

7. secondo il modello di Drude Il modello di Drude • spiega perché si genera il moto viscoso e quindi la velocità limite di deriva • spiega perché la resistività aumenta con la temperatura • fornisce valori ragionevoli della resistività a temperatura ambiente Però …… dati di misura su campioni di rame “puro”

8. un calcolo di resistività secondo il modello di Drude ipotizzando un libero cammino medio ragionevole: lurti 1 nm ; n  1029 m-3

9. dati di misura su campioni di rame “puro” Drude estrapolazione lineare Ciò che non funziona nel modello di Drude • non riproduce la corretta dipendenza dalla temperatura (ad alta temperatura è lineare in T e non in  T) modello di Drude • non spiega l’effetto forte della presenza di impurezze (regola di Mathiessen) resistività del rame con aggiunta di manganese Ma soprattutto il modello di Drude non è compatibile con il comportamento quantistico dell’elettrone nel solido

10. che, risolta rispetto a vd, fornisce la soluzione: ottenuta con il modello di Drude. È lecito il calcolo classico purché: - si usi per m la “massa efficace”, - si verifichi che la larghezza del “pacchetto” in posizione e quantità di moto sia sufficientemente piccola, in modo che il moto possa essere trattato classicamente nel tratto fra due collisioni successive, sufficientemente grande, in modo che le interazioni fra elettrone e reticolo siano ben descritte dalla massa efficace il modello quantistico di Sommerfeld L’elettrone è descritto da un “pacchetto di onde di Bloch” che si muove sotto l’azione del campo elettrico esterno secondo l’equazione classica del moto:

11. il modello quantistico di Sommerfeld in assenza di campo elettrico esterno in presenza di campo elettrico esterno  k  k nello spazio k, la velocità di drift vd legata alla corrente elettrica genera uno spostamento  k dell’interadistribuzione degli elettroni nel senso contrario alla direzione del campo elettrico:

12. il modello quantistico di Sommerfeld meccanismi di urto: - riguardano solo gli elettroni vicino al livello di Fermi, perché sono gli unici ad avere disponibili livelli energetici non occupati - preferenzialmente lo scattering è all’indietro dove ci sono più stati liberi a energia minore - l’urto non è contro gli ioni del reticolo, perché la funzione d’onda di Bloch tiene già conto del potenziale periodico - gli urti possibili sono con ciò che non è periodico: - urti con le impurità - urti con i fononi (vibrazioni reticolari)

13. velocità dell’elettrone di energia prossima a quella del livello di Fermi cammino libero medio per urti con i fononi cammino libero medio per urti con le impurità collisioni nel modello quantistico probabilità di collisione nell’unità di tempo: (rispetto al calcolo di Drude, vF> vt però anche limp e lfon sono maggiori di lurti!)

14. Es.: supponiamo una frazione di impurità dell’ordine di qualche parte su un milione e una sezione d’urto “geometrica” ( 10-20 m2) limp nimp Simp il contributo alla resistività delle impurità è dell’ordine del permilleRRR = T=300K /T • La probabilità di collisione con le impurezze, 1/limp • è direttamente proporzionale alla densità di impurità, nimp , (la costante di proporzionalità Simp è chiamata “sezione d’urto”): collisioni con le impurezze 1/limp = Simp nimp - è praticamente indipendente dalla temperatura - quindi anche il contributo delle collisioni con le impurezze è indipendente dalla temperatura (nei metalli, vF, m*, e la densità elettronica n sono praticamente costanti)

15. urto elettrone-fonone conservazione dell’energia conservazione della quantità di moto probabilità di collisione con i fononi: -1/lfonè direttamente proporzionale alla densità di fononi, nfon,con costante di proporzionalità Sfon pari alla “sezione d’urto elettrone-fonone”: 1/lfon = Sfon nfon collisioni coi fononi - nfon dipende dalla temperatura: la distribuzione in energia dei fononi a una data T si ottiene da quella dei fotoni (spettro di corpo nero) sostituendo “vfon” a “c” e tenendo conto che l’ max è limitato aDebye: ad alta temperatura: quindi la densità numerica di fononi è proporzionale a T

16. Si può determinare la costante di proporzionalità tenendo conto che, a differenza di ciò che avviene per i fotoni, il numero di oscillazioni possibili è fisso, pari a 3nat, cioè a 3 oscillazioni per atomo (due trasversali e 1 longitudinale) collisioni con i fononi da cui si ottiene, ad alta temperatura: • quindi nfon, ad alta temperatura, è • direttamente proporzionale a T • direttamente proporzionale alla densità atomica nat • inversamente proporzionale alla temperatura di Debye D, che è caratteristica del cristallo (legata alla massima frequenza delle oscillazioni fononiche) a bassa temperatura (T < D), nfon T 3

17. Introducendo 1/lfon nell’espressione della resistività, si ottiene (nei metalli, vF, m*, e la densità elettronica n sono praticamente costanti) dipendenza della resistività dalla temperatura Ad alta temperatura, Sfonè costante, perché i fononi hanno praticamente la frequenza max, Debye, nfonè proporzionale a T, quindi d /dT = dfon /dT Sfon la variazione di  con la temperatura misura l’accoppiamento elettrone-fonone  accoppiamento debole buon conduttore  un accoppiamento sufficientemente forte può indurre comportamenti superconduttivi Abassa temperatura(T < D),nfon T 3, inoltre Sfon diminuisce come T2,quindi fon diminuisce come T5

18. le due componenti della resistività “temperatura di Debye”

19. dati di misura su un campione con 3,5% di Mn L’aggiunta di impurezze riduce la dipendenza dalla temperatura dati di misura su un campione di rame “puro” dati di misura su un campione di rame “puro” • a temperatura ambiente il coefficiente termico è vicino al valore aspettato dal modello di Sommerfeld: 0,0038 K-1 • l’estrapolazione lineare non funziona a temperature molto basse: la probabilità di urto diminuisce, come atteso in base alla diminuzione dei fononi Ciò che si vede dai dati estrapolazione lineare

20. superconduttori temperatura critica Esperimento storico di Kamerlingh Omnes (1911): transizione superconduttiva di Hg a 4,2 K transizione superconduttiva di Mg B2 (HTCS: High Critical Temperature Superconductor )