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Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム. 　 清見　礼 ○ 斎藤　寿樹 　 上原　隆平. （ JAIST 仲良し 3 人組）. v 2. v 4. v 1. v 3. v 5. v 2. v 4. v 1. v 4. v 2. v 4. v 1. v 2. v 1. v 2. グラフ G. v 3. v 3. v 5. v 3. v 5. v 1. v 5. v 3. v 5. v 4. グラフ再構築問題.

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Permutation グラフと Distance-Hereditary グラフの 再構築アルゴリズム

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  1. PermutationグラフとDistance-Hereditaryグラフの再構築アルゴリズムPermutationグラフとDistance-Hereditaryグラフの再構築アルゴリズム 　 清見　礼 ○斎藤　寿樹 　 上原　隆平 （JAIST 仲良し3人組）

  2. v2 v4 v1 v3 v5 v2 v4 v1 v4 v2 v4 v1 v2 v1 v2 グラフG v3 v3 v5 v3 v5 v1 v5 v3 v5 v4 グラフ再構築問題 • グラフG=(V, E)のDeck: グラフの多重集合{G-v | v∈V} • グラフの多重集合DのPreimage: DをDeckとするグラフ GのDeck Preimage G-v2 G-v4 G-v1 G-v5 G-v3

  3. グラフ再構築問題 • 入力：n-1頂点のn個のグラフD • 質問：DをDeckとするPreimageは存在するか? 入力：D ラベルなしグラフ

  4. グラフ再構築予想 • n-1頂点のグラフがn個与えられたとき(n≧3)，それをDeckとするPreimageは高々一つ 入力：D 上のグラフとは異なるグラフ

  5. グラフ再構築予想 • UlamとKellyによって提唱 [1957年] • 未解決問題 • 予想が成立するグラフクラス • 正則グラフ、木、非連結グラフなど 関連研究 • 再構築可能なもの(一意に決定) • 次数列、彩色数など • グラフの同型性判定問題と深い関係 • 再構築問題は同型性判定問題以上に難しい

  6. 単純なグラフ再構築アルゴリズム • Gi∈Dを選択 • Giに頂点vとvに接続する辺を追加（Giv） • GivのDeck Divを作る • DivとDが等しいかをチェック(Deck Checking) • 等しければ，DのPreimageはGiv • 等しくなければ，2に戻る v グラフGiv 入力：D GivのDeck

  7. 単純なグラフ再構築アルゴリズム • Gi∈Dを選択 • Giに頂点vとvに接続する辺を追加（Giv） • GivのDeck Divを作る • DivとDが等しいかをチェック(Deck Checking) • 等しければ，DのPreimageはGiv • 等しくなければ，2に戻る v グラフGiv 入力：D GivのDeck ≠ DはGivのDeckではない

  8. 単純なグラフ再構築アルゴリズム • Gi∈Dを選択 • Giに頂点vとvに接続する辺を追加（Giv） • GivのDeck Divを作る • DivとDが等しいかをチェック(Deck Checking) • 等しければ，DのPreimageはGiv • 等しくなければ，2に戻る v グラフGiv 入力：D GivのDeck = DはGivのDeck

  9. 単純なグラフ再構築アルゴリズム • Gi∈Dを選択 • Giに頂点vとvに接続する辺を追加（Giv） • GivのDeck Divを作る • DivとDが等しいかをチェック(Deck Checking) • 等しければ，DのPreimageはGiv • 等しくなければ，2に戻る 候補が指数個 同型性判定 多項式時間 このアルゴリズムは遅い！ • 多項式時間アルゴリズムの開発 • 入力に制限：同型性判定を多項式時間で行えるグラフクラス • 入力Dのすべてのグラフが、あるグラフクラスに属する

  10. GI-完全：同型性判定問題が一般のグラフと同程度に難しいGI-完全：同型性判定問題が一般のグラフと同程度に難しい 今回の結果 GI完全なグラフクラス Perfectグラフ HHD-freeグラフ Comparabilityグラフ Chordalグラフ 同型性判定が多項式時間 今回の発表 Distance-Hereditaryグラフ Intervalグラフ Permutationグラフ M. Kiyomi et al. (2009) つまらない！ アルゴリズムが存在 再構築予想が成立 Proper Intervalグラフ Tree Thresholdグラフ

  11. Permutationグラフの再構築問題 • 入力：グラフの多重集合D • 各グラフGi∈DはPermutationグラフ • 質問：DをDeckとするグラフが存在するか？ 入力：D Permutationグラフ ・・・

  12. Permutationグラフ • ライン表現を持つグラフクラス 1 2 3 4 5 6 1 6 4 3 2 5 3 6 4 1 5 2 Permutationグラフ ライン表現

  13. 1 2 3 4 5 6 1 4 3 2 5 3 6 4 1 5 2 Permutationグラフ ライン表現 Permutationグラフの特徴 • 補題0 • Permutationグラフの誘導部分グラフはPermutationグラフ 6 PreimageがPermutationグラフ ⇒Deckの中のグラフはすべてPermutationグラフ 逆は成り立たない！ PreimageがPermutationグラフの禁止グラフ

  14. Permutationグラフの禁止グラフ[T. Gallai 1967] これらのグラフとこの補グラフ k ≧ 0 k 2k+3 2k+3 2k+2 k k+1 k Preimageが禁止グラフかチェック

  15. 考えるべき問題 • 入力：グラフの多重集合D • 各グラフGi∈DはPermutationグラフ • 質問：DをDeckとするPermutationグラフが存在するか？ 入力：D Permutationグラフ ・・・

  16. Permutationグラフを再構築するアルゴリズム？ • DeckのグラフGiのライン表現に線分を追加 指数通りのライン表現が存在 入力：D グラフGi O(n2)通りを試せばOK？ ・・・ ライン表現が一意（高々4通り）に定まるもの

  17. ライン表現が一意のPermutationグラフ • 補題1 [T. Ma and J. Spinrad, 1994] • PermutationグラフGがmodular decompositionにおいてprimeであるとき、Gのライン表現は一意である 入力：D グラフGi O(n2)通りを試せばOK ・・・

  18. Permutationグラフとは独立の話 Modular Decomposition • G=(V, E)のmoduleM: 頂点集合 • V＼Mの頂点はMのすべての頂点と隣接, or Mのすべての頂点と隣接しない • module Mがtrivial: M=φ, M=V, or |M|=1 • グラフGがprime: Gはtrivialなmoduleしか持たない Prime Mの頂点の隣接関係はMの外を見るとどれも同じ

  19. x1 y1 x2 y2 ・・・ ・・・ xi yi ・・・ ・・・ xn yn ライン表現が一意のPermutationグラフ • 補題1 [T. Ma and J. Spinrad, 1994] • PermutationグラフGがmodular decompositionにおいてprimeであるとき、Gのライン表現は一意である • 補題2 [J.H. Schmerl, W.T. Trotter, 1993] • グラフGをprimeなグラフとする G-vがprimeであるようなvが存在 ⇔GがH2nやH2nではない Prime Prime グラフH2n

  20. アルゴリズム（Preimageがprime） • Dの中からPrimeなグラフを探す • If PrimeなグラフGiが存在 • Giのライン表現に線分を追加（O(n2)回） • else PreimageがH2nまたはH2nかチェック

  21. アルゴリズム • 入力：グラフの多重集合D • 各グラフGi∈DはPermutationグラフ • Preimageが禁止グラフかチェック • PreimageがPermutationグラフのみを考えるため • Preimageがprimeのとき • Preimageのライン表現が一意 • Preimageがprimeでないとき • Modular Decompositionを用いて、 問題を“Preimageがprimeのとき”におとす

  22. M1 M2 M3 M4 M5 Permutationグラフとは独立の話 Modular Decomposition • G=(V, E)のmodule M:頂点集合 • V＼Mの頂点はMのすべての頂点と隣接, or Mのすべての頂点と隣接しない • module Mがstrong: Mは他のmoduleとoverlapしない • strong moduleの包含関係を木で表現可能 M4 M5 M2 M1 M3

  23. M1M2M3 M4 M2 M1 M5 M3 M4 M5 M4M5 M5 Modular Decompositionとライン表現 • strong moduleを含まないmoduleのライン表現は一意 M3 M1 M2 M3 M4 M5 M2 M1 M3

  24. アルゴリズム（Preimageがprimeでない） • For グラフGi∈D (i=1 to n) • GiのModular Decompositionを計算 • For strong moduleを含まないmodule M • Mのライン表現に線分を追加(O(n2)回) • PreimageがH2nやH2nを含むかチェック

  25. GI-完全：同型性判定問題が一般のグラフと同程度に難しいGI-完全：同型性判定問題が一般のグラフと同程度に難しい まとめと今後の課題 GI完全なグラフクラス Perfectグラフ HHD-freeグラフ Comparabilityグラフ Chordalグラフ 同型性判定が多項式時間 Circleグラフ Circular-arcグラフ 再構築予想が成立？ Distance-Hereditaryグラフ Permutationグラフ Intervalグラフ M. Kiyomi et al. (2009) 多項式時間アルゴリズムの開発 アルゴリズムが存在 再構築予想が成立 Proper Intervalグラフ Tree Thresholdグラフ

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