Equações do 1º Grau

1. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Departamento de Educação Mestrado em Educação - Didáctica da Matemática Didáctica da Álgebra Equações do 1º Grau Roberta Manso

2. Estruturalmente (como objectos) • Operacionalmente (como processo) Considerações Psicológicas • A entidade matemática é concebida como um produto de certo processo ou é identificada com o próprio processo. • A entidade matemática é concebida como uma estrutura estática – como se fosse um objecto real. • É apoiada por representações verbais. • É apoiada por imagens mentais. Noções Matemáticas Abstractas • É desenvolvida na primeira fase da formação do conceito. • Desenvolve-se a partir da concepção operacional. • É necessária, mas não suficiente, para o aprendizado efectivo e para a resolução de problemas. • Facilita todo o processo cognitivo (aprendizado, • resolução de problemas).

3. Considerações Psicológicas • Três Fases do Desenvolvimento Conceptual • É adquirida uma capacidade para ver novas entidades como objectos permanentes por direito próprio. • Os processos são realizados a partir de objectos matemáticos familiares. • Os processos anteriores são transformados em unidades compactas autónomas.

4. Estudo das Equações • São representações estruturais que envolvem uma perspectiva não aritmética no uso do sinal igual e a natureza das operações que são representadas. • Definição de Equação Algébrica • Métodos para Resolver Equações • Uso de factos numéricos • Técnica da Contagem • Cover Up • Substituição por Tentativa e Erro • Transposição (muda o lado/muda o sinal) • Representar a mesma operação em ambos os lados (Ex. 2 + x = 5, sabe-se que 2 + 3 = 5) (Ex. 2 + x = 5, conta-se 2,3,4,5 e nota-se que é preciso 3 para chegar a 5) (Ex.2x + 9 = 5x portanto 9 = 3x portanto x = 3) • Ambientes Computacionais • Algebraland • Álgebra Workbench • Álgebra Tutor

5. INVESTIGAÇÕES SOBRE O ENSINO DE EQUAÇÕES COM CRIANÇAS DOS 6 AOS 12 ANOS • Bodanskii (1991), Rússia • Desenvolvimento e solução de Equações escritas para resolver problemas enunciados. • Concluiu que estudantes de 10 anos de idade que trabalharam problemas algébricos e notações para Equações no 1º ano (6 – 7 anos) efectuam significativamente melhor do que os estudantes de 11 /13 anos de idade que só tem acesso com 11 anos de idade. • Brito Lima e Lins Lessa • Relataram estudos sobre notação e conceitos algébricos para Equações. • Concluíram que crianças da escola elementar podem desenvolver representações escritas para problemas algébricos e o sucesso está baseado no desenvolvimento de Equações escritas e no uso do modelo da Álgebra sintáctica para resolver Equações. • Entendimento intuitivo ou informal que os estudantes usam na escola • Filloy e Rojano, 1989; Galardo & Rojano, 1987; Herscovics e Lincheviski, 1994; Kieran, 1984 • Métodos intuitivos dos estudantes resolverem Equações. • Peck & Jencks, 1988 • Capacidade dos estudantes para aplicar intuitivamente a propriedade distributiva.

6. INVESTIGAÇÕES SOBRE O ENSINO DE EQUAÇÕES COM CRIANÇAS DOS 6 AOS 12 ANOS (cont.) • Carpenter & Moser, 1984 • Adição e subtracção de números inteiros identificando estratégias informais usadas pelos alunos para diferentes tipos de problemas. • Wagner, Rachin e Jensen (1984) 1) • Investigar os conhecimentos dos estudantes, mostrando que a solução para uma equação é determinada pela estrutura da equação e não pela letra em particular usada para representar as variáveis. • Concluíram que só 38% respondeu correctamente. 2) • Dadas três tarefas: 1) Resolver a equação 2) Colocaram t + 1 no lugar do t. 3) Colocaram (2r+1) no lugar de x em 4x + 7 = 35. • Conclusão • A maioria respondeu que a solução não mudaria. • A maior parte resolveu para t e representaram o valor de t +1. • Somente um estudante resolveu directamente para (2r + 1).

7. Exemplo de uma Investigação Grade 6 Students’ Preinstructional Use of Equations to Describe and Represent Problem Situations Jane O. Swarfford and Cynthia W. Langrall ILLINOIS STATE UNIVERSITY

8. Enquadramento Teórico • Definição • “São significados individuais pelos quais constituem e fazem o sentido das situações” (Swafford & Langrall, 2000). • O Papel das Representações • Tipos de Representações • Referem-se a todas as formulações simbólicas (símbolos, esquemas, diagramas, etc) e tem como pressuposto representar uma certa “realidade” matemática (no domínio do significante). • Estão ligadas as imagens mentais que correspondem a formulações internas construídas a partir da realidade ( no domínio do significado). • São observadas usualmente no ambiente imediato, tais como: objectos ou eventos da vida real, palavras escritas ou faladas, fórmulas e Equações, gráficos, materiais manipulativos ou computadores. • São descritas ao nível holístico (verbal, imagens visuais, símbolos matemáticos internos, regras e algoritmos, esquemas). (Valério, 2004)

9. Enquadramento Teórico • Representações Externas Relações visuais e espaciais Notacionais e formais Descrições verbais e escritas (Valério, 2004) Diagramas Tabelas Gráficos Descrições Narrativas do Caso Geral • Representação Simbólica Como Um Objecto Matemático • Piaget –Abstracção Reflexiva–“São entidades mentais abstraídas a partir de experiências, entidades que podem ser manipuladas mentalmente, separadas das experiências que as fizeram emergir”. • Kaput (1989) –“Entidades mentais construídas através da “reificação das acções, procedimentos e conceitos entre objectos fenomenológicos que podem servir como base para novas acções, procedimentos e conceitos no alto nível de organização”. (Swafford & Langrall, 2000)

10. Problema/ Objectivo • Objectivo Principal do Estudo “Determinar em que medida os estudantes usam Equações para descrever e representar previamente situações problemas para o estudo formal de Álgebra”. (Swafford & Langrall, 2000)

11. Metodologia • Estudo Qualitativo Envolvendo Múltiplos Casos • Participantes • 10 Estudantes do 6º Ano de escolaridade • Investigadoras • Estudantes do 7º e 8º Anos de escolaridade • Instrumentos de Recolha de Dados • Entrevistas Individuais (45 minutos) • Registos em Áudio • Notas das Investigadoras • Análise dos Dados • Trabalhos dos Estudantes • Entrevistas Transcritas • Notas das Entrevistas (revelação dos dados) • Resumos produzidos durante as análises (Swafford & Langrall, 2000)

12. Análise dos Resultados S7: (I: See if you can fill in that chart. [Student completes the table correctly.] Can you describe any pattern in this table?) Every time you it, it doubles itself. (recursive) S6: Three hours ... Well, if this takes 2 hours [for 18 to wash the cars] and there is half as many ..., then it would take another hour. S4: Two and one half hours. (I: Okay, and how did you get that?) I knew it was 2 hours for 18 and I just added another half hour to that. S8: (I: Can you complete that table? [Student completes the table correctly.] Okay. Now are there any patterns that you see? How might you describe them?) Well, it would be sort of hard. But, multiply 2 to that power.... I mean times itself that many times. (functional) (Swafford & Langrall, 2000)

13. Análise dos Resultados I: Can you use formula to find out how much overtime Mary would have to work to earn $50? S2: Okay, in this case it is [writes on her paper, see Panel A in Figure 4] 50 minus 20 equals ... You would divide that by 2, equals ... 15 hours of overtime. I : Good, explain it. S2: Well, 50 minus 20 is [30], divided by 2 is 15. S9: It would be 15 overtime [hours]. I: Can You tell me how you got that? S9: Well, I set it up at 10 [overtime hours]; that is 40 [dollars total]. So just keep on adding $2 for each overtime [hour] until you get to $50. With my fingers I counted 5 times. S4: Sixty. I: How did you get that? S4: I did 50 cents is 10 cans, so I just did 20 cans is a dollar, and then I times that by 3. (Swafford & Langrall, 2000)

14. Discussões • Os estudantes: 1) Mostraram uma notável aptidão para generalizar os problemas e escrever equações usando variáveis, frequentemente na forma não padronizada; • Mostraram que podem descrever relações usando oralidade e símbolos, ou uma combinação de representações orais e simbólicas; • Raramente visualizaram e usaram suas equações como objectos matemáticos; • Situações diferentes envolvendo números diferentes no mesmo contexto contribuíram para o processo de generalização; • Verificar o mesmo problema por meio de diferentes representações; • Necessidade de construir nos estudantes o conhecimento de estruturas multiplicativas, realizando mais experiências; • Investigar o mesmo problema por meio de diferentes representações e as próprias representações; • Investir no entendimento além das situações rotineiras; (Swafford & Langrall, 2000)