Erros e variáveis aleatórias

1. Erros e variáveis aleatórias Pontos mais importantes: -tipos dos erros, exactidão e precisão -variáveis aleatórias e seus tipos -função de distribuição cumulativa -função de distribuição de probabilidade, e função densidade de probabilidade -distribuições conjuntas de duas variáveis aleatórias -valor de esperança matemática e suas propriedades -variância e suas propriedades, covariância -desigualdades de Markov e Chebyshev 1

2. Revisão sugerida: - Integração de funções simples (linear, exponencial) - Integração de funções simples com duas variáveis - Definição de funções matemáticos - Definição de valor médio de uma função contínua 2

3. Em qualquer área de estudos de que resultem valores numéricos, é essencial uma estimativa dos erros associados à medição, sem isso temos pouca informação. -a concentração de ácido láctico em duas mostras de iogurte produzido pela lactobacilos “A” e “B” são 100mg/l e 107 mg/l respectivamente. Se o erro de determinação for 1 mg/l as amostras são diferentes? E se o erro de determinação for 10 mg/l? - Em quatro réplicas da mesma titulação resultam consumos de 24.69, 24.73, 24.77 e 25.39 ml. Podemos desprezar o último valor? 3

4. Tipos dos erros: -erro grosso: um erro muito sério, a experiência tem que ser repetida -erro aleatório: resultados individuais andam à volta do valor verdadeiro sem uma sequência previsível. A grandeza deste tipo do erro determina a precisão da experiência. É impossível eliminar, mas pode ser facilmente quantificado. -erro sistemático: desvio de medição do valor verdadeiro no mesmo sentido. O termo correspondente a este erro chama-se exactidão. Geralmente é difícil identificar. erro aleatório incerteza erro sistemático 4

5. 9.70 10.00 10.30 Exemplo: 4 alunos (A-D) titularam exactamente 10ml de 0.1M NaOH com exactamente 0.1 HCl. A experiência foi repetida 5 vezes. Resultado correcto Preciso, não exacto A B Não preciso, exacto Não preciso, não exacto C Preciso, exacto D ml 5

6. Objectivos da análise estatística: -cuidadoso planeamento das experiências -análise dos resultados e quantificação dos erros 6

7. Variáveis aleatórias (v.a.): o resultado (quantidade) de uma experiência (estatística) não se conhece antecipadamente, pois pode ter vários valores, mas se conhece as probabilidades de ocorrência, chama-se a isto uma variável aleatória. Seja X o total do lançamento de dois dados honestos: P { X = 2} = P{( 1, 1)} = 1/ 36 P { X = 3} = P{( 1, 2),( 2, 1)} = 2/ 36 P { X = 4} = P{( 1, 3),( 2, 2),( 3, 1)} = 3/ 36 P { X = 5} = P{( 1, 4),( 2, 3),( 3, 2),( 4, 1)} = 4/ 36 P { X = 6} = P{( 1, 5),( 2, 4),( 3, 3),( 4, 2),( 5, 1)} = 5/ 36 P { X = 7} = P{( 1, 6),( 2, 5),( 3, 4),( 4, 3),( 5, 2),( 6, 1)} = 6/ 36 P { X = 8} = P{( 2, 6),( 3, 5),( 4, 4),( 5, 3),( 6, 2)} = 5/ 36 P { X = 9} = P{( 3, 6),( 4, 5),( 5, 4),( 6, 3)} = 4/ 36 P { X = 10} = P{( 4, 6),( 5, 5),( 6, 4)} = 3/ 36 P { X = 11} = P{( 5, 6),( 6, 5)} = 2/ 36 P { X = 12} = P{( 6, 6)} = 1/ 36 7

8. Tipos de variáveis aleatórias: -discreta: variável aleatória que só pode ter um número de valores numeráveis e.g. seja Y o número de vezes que se lança uma moeda honesta até sair coroa. P{ Y = 1} = 1/ 2 P{ Y = 2} = 1/ 4 ... P{ Y = n } = ½ (½) n -1 Y só pode assumir valores inteiros positivos; Os p Y n formam uma sequência infinita numerável. X e Y são variáveis aleatórias discretas. -contínua: pode assumir qualquer valor real positivo, o seu domínio tem a potência do contínuo e.g. duração da vida de uma automóvel 8

9. Função de distribuição cumulativa: Para descrever variáveis aleatórias e as suas probabilidades é muito útil definir a função F de uma variável aleatória X, F=P(Xx) x F é a probabilidade de X ter um valor menor ou igual a x. Usando a Função de distribuição cumulativa podemos determinar todas as probabilidades. Suponha que queremos calcular a probabilidade de P(a<X b). Aplicando Axioma III temos, P (Xb)= P (X a)+P(a<X b) P(a<X b)= F(b)-F(a) F(b) F(a) 9

10. Características: -crescente monótona -F(-)=0 - F()=1 -todas as funções reais com estas características definem funções de distribuição Exemplo: qual é a probabilidade de X>1 se, P(X>1)= 1-P(X1)= 1-F(1)= exp(-1)=0.386 10

11. Função de distribuição de probabilidade: Seja X uma variável aleatória discreta. A função de distribuição de probabilidades p(a) de X é definida pela, p(a)=P(X=a) Características: -X só pode ter valores x1,x2,...,xn, onde n é finito, p(xi)>0, i=1,2,...,n p(x)=0, todos outros - -a relação entre F(x) e p(x): -F(x) é uma função de degrau 11

12. p(x) 1/2 1/3 1/6 x 1 2 3 Exemplo: Seja X uma variável aleatória que pode assumir valores de 1,2,3 com as respectivas probabilidades, 1/2, 1/3, 1/6 p(1)=1/2 p(2)=1/3 p(3)=1/6 F(x) 1 5/6 1/2 x 1 2 3 12

13. Função densidade de probabilidade: No caso de uma variável contínua a probabilidade P(X=a)=0. Seja X uma v.a. contínua, existe uma função não negativa f(x) definida para xR, que tem a propriedade, onde f(x) chama-se Função densidade de probabilidade de X. A probabilidade de X estar em (b-a) é igual o integral de f(x) sob b-a. Também pode se dizer que a probabilidade de X estar na vizinhançade “a” no intervalo e é igual a ef(a), 13

14. Características: - - - Exemplo: Seja X uma v.a. tal que: Calcule a probabilidade x>1! 14

15. Distribuições conjuntas de duas v.a.: Muitas vezes o que tem interesse é saber as probabilidades de duas variáveis aleatórias. A definição de função de distribuição conjunta de X e Y, F(x,y)=P(Xx, Y y) x,y Teoricamente, qualquer questão de probabilidade sobre X e Y pode ser calculada sabendo F(X,Y). A função de distribuição de individuais, F(x)= P(Xx)= P(Xx, Y )=F(x, ); F(y)= P(Yy)= P(X, Y y)=F(,y); As características das funções de distribuição são também verdadeiras para v.a. conjuntas 15

16. No caso de variáveis discretas, a função de distribuição de probabilidade de X (x1,x2,...) e Y (y1,y2,...) é definida pela: p(xi,yj)=P(X=xi,Y=yj) A função de distribuição de probabilidade individual (marginal) pode obter-se: Exemplo: Sequência das probabilidades de ter X filhos e Y filhas numa família portuguesa se: 15% tem 0, 20% tem 1, 35% tem 2 e 30% tem 3 crianças. i \ j 0 1 2 3 p (X i) 0 0. 15 0. 1000 0. 0875 0. 0375 0. 3750 1 0. 1000 0. 1750 0. 1125 0 0. 3875 2 0. 0875 0. 1125 0 0 0. 2000 3 0. 0375 0 0 0 0. 0375 p (Y j) 0. 3750 0. 3875 0. 2000 0. 0375 1 16

17. Se X e Y foram duas v.a.-s contínuas, existe uma função f(x,y) para a qual se verifica: X,YR Onde f(x,y) se chama função densidade de probabilidade conjunta de X e Y. As funções densidade de probabilidade marginais são dadas por: A relação entre F(x,y) e f(x,y): 17

18. Exemplo: Seja f(x,y) a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias continuas X e Y: Calcule a) P(X>1,Y<1) e b) P(X<a). a) b) Nota: Os conceitos de distribuição conjuntas podem ser facilmente generalizados para “n” v.a.-s. 18

19. Distribuições condicionais de duas v.a.: -Discretas: Assim, é relativamente fácil definir a função de distr. de prob. condicional: -Contínuas: -Independência: f(x,y)=fX(x)fY(y) p(x,y)=pX(x)pY(y) 19

20. Valor de esperança matemática: O valor esperança de uma variável aleatória discreta X é a média pesada dos valores possíveis: O factor de peso é a probabilidade do correspondente valor da v.a. Por outras palavras, o valor de esperança é o valor médio que se obtém após um grande número de repetições. Exemplo: Seja X uma v.a. que representa o dinheiro que uma pessoa ganha num jogo de azar (x1, x2, ... xn) com as probabilidades respectivas (p(x1), p(x2), ... P(xn)). Calcule quanto é que pode esperar ganhar por jogo numa noite. Aproximadamente toda noite Np(xi) vezes vamos ganhar xi (nota que ni= Np(xi)), por isso o dinheiro total que vamos ganhar: 20

21. Um caso especial é quando todos os valores de v.a. tem a mesma probabilidade: Exemplo: Calcule o valor de esperança dos lançamentos do um dado 21

22. Agora, suponha que X é uma v.a. continua. A probabilidade de X estar na vizinhança (para dx pequeno) de x é: P(x<X<x+dx)f(x)dx Com analogia ao caso de v.a. discreta o valor de esperança pode ser facilmente obtida: Exemplo: Suponha que uma aula teórica deve acabar alguns minutos depois hh:50 min. As que horas vai acabar a aula em média se a função densidade de probabilidade do atraso é dada pela: Em média a aula acaba hh:58 min. 22

23. Propriedades de valor de esperança matemática: Dada uma v.a. X e a correspondente distribuição de probabilidade. Suponha que estamos interessados no valorde esperança de uma função de g(X) (E[g(X)]). Como se calcule? Discreta: Exemplo: Seja X uma v.a. com a função de distr. de probabilidade: p(0)=0.2 p(1)=0.5 p(2)=0.3 Calcule E[X2] 23

24. Contínua: Exemplo: O tempo que demora a localizar um problema no processamento de leite (X) tem uma função densidade de probabilidade: O custo relacionado a reparação é X3 mil contos. Qual é o custo esperado de resolução dos problemas? 24

25. Caso especial: transformação linear de v.a., g(X)=aX+b, onde a e b são constantes Discreta: Contínua: 25

26. As propriedades de valores de esperança pode ser aplicadas para mais que uma v.a. Discreta: Contínua: E.g. E[X1+ X2+...+ Xn]= E[X1]+E[ X2]+...+E[ Xn] 26

27. Variância: As funções de distribuição de probabilidade podem-lhes tornar complicadas, por isso seria muito útil somar as características mais essenciais em umas medidas. O valor de esperança E[X] é um bom candidato, mas insuficiente, porque não fornece informação sobre a dispersão da v.a. em volta da média pesada. E.g.: A altura dos adultos de Portugal em média é 1.70 m. Um extraterrestre de Marte podia pensar que ninguém é mais alto que 1.71m, um outro de Vénus podia pensar que há pessoas mais baixas que 0.1m. O que longe os valores de X podem ser esperados da média (m)?: -E[X-m]=0 ----> não funciona -E[|X-m|] ----> não é conveniente calcular o modulo -E[(X-m)2] 27

28. Variância: Var(X)=E[(X-m)2]=s2 Cálculo alternativo: Exemplo: Calcule a variância dos lançamentos do um dado s2=91/6-(7/2)2=35/12 28

29. Propriedades da variância: 29

30. Suponha que num supermercado o peso de embalagem de pimento assado tem m=0.5 kg com Var=0.05kg2. A dispersão é grande ou não? É difícil avaliar, porque m e Var(X) não têm a mesma dimensão. Desvio padrão (s): No exemplo anterior, m=0.5 kg e s=0.22kg, a dispersão dos peso das embalagens é bastante grande. 30

31. Covariância: A covariância é medida de dependência linear entre variáveis aleatórias. Definição de covariância de duas v.a.: Propriedades: a) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) b) Cov(X,X)=Var(X) c) Cov(aX,Y)=aCov(X,Y) d) Cov(X+Z,Y)=Cov(X,Y)+Cov(Z,Y) e) v.a. independentes Cov(X,Y)=0 31

32. Propriedade d) pode ser generalizada para a covariância de SX e SY: Assim, a variância de soma de n v.a.-s pode ser determinada usando a propriedade b: Independência(!): 32

33. Exemplos para Cov(X,Y)0: -altura e peso das pessoas: Pessoas mais altas tendem ser mais pesadas-----> cov>0 -velocidade de reacção dos condutores e a quantidade de álcool consumido: com aumento de álcool bebido, a velocidade de reacção diminuí-----> cov<0 O valor de covariância depende das unidades usadas no cálculo (kg/g; min/s; l/ml, etc.). A “covariância normalizada” chama-se coeficiente de correlação: Independência: rx,y=0 33

34. Por vezes dado um número de v.a. (e.g. parâmetros de um modelo matemático) e queremos saber a dependência linear entre eles. O resultado é a matriz de covariância (simétrica): Ou em termos de coeficiente de correlação: 34

35. Desigualdades de Markov e Chebyshev: -Desigualdade de Markov: se a v.a. X for não-negativa, então: v.a. contínua: -Desigualdade de Chebyshev: seja a=k2 e a v.a. não-negativa igual a (X-m)2: 35

36. A importância destas desigualdades é que permitem estabelecer limites de probabilidades quando só a média e/ou a variância estão conhecidas (sem saber a função de distribuição de probabilidade) Exemplo: O número de testes feitos num laboratório de controlo de qualidade em média 50/dia. -Calcule o limite da probabilidade do número de testes exceder 75 num dia! P(X>75)E[X]/75=50/75=2/3 -se a variância for 25, qual é o limite de prob. de o número de testes serem cera de 40-60/dia? P(|X-50|10) s2/102=1/4 ------> P(|X-50|<10) >1-1/4=3/4 36