7. 차원과 구조 7.1 기저와 차원 부분공간의 기저 V =span{v 1 ,v 2 ,···v s } 이 R n 의 부분공간

1. 7. 차원과 구조 7.1 기저와 차원 부분공간의 기저 V =span{v1,v2,···vs}이 Rn의 부분공간 집합 S ={v1,v2,···vs}의 벡터들이 1차 종속이면, 적어도 S의 벡터들 중 하나는 소거해도 여전히 V를 생성

2. V =span{v1,v2,···vs}에서 S ={v1,v2,···vs}가 일차 종속 집합 v3=k1v1+k2v2                        (1) w=c1v1+c2v2+c3v3 w=c1v1+c2v2+c3 (k1v1+k2v2)=(c1+c3k1)v1+(c2+c3k2)v2 <정의 7.1.1>Rn의 부분공간 V의 벡터들의 집합이 일차독립이고 V를 생성한다면 V에 대한 기저(basis). [예제1]단순한 기저들 ‧ V가 Rn의 원점을 지나는 직선 ‧ V가 Rn원점을 지나는 평면 ‧ V={0} 이 Rn의 부분공간 V

3. [예제2] Rn의 표준기저 표준단위벡터 e1,e2,···en는 일차독립 Rn의 임의의 벡터 X =x1,x2,···xs X=x1(1,0,···,0)+x2(0,1,···,0)+xn(0,0,···,1)=x1e1+x2e2++xnen e1,e2,···en를 Rn의 표준기저(standard basis). <정리7.1.2> 0 벡터를 포함하지 않는 S ={v1,v2,···vk}에서 어떤 벡터가 그 앞의 벡터들의 일차결합이면 S는 일차종속 [예제3] 정리7.1.2를 이용한 일차독립 집합 {v1,v2,···vk}가 다른 원소들의 일차결합이 아닌 것을 보여서 다음 벡터들이 일차독립인 것을 보여라. V1={0,2,0}, V2={3,0,3}, V3={-4,0,4},

4. [예제4]  행 사다리꼴 형태의 영이 아닌 행벡터의 독립 행 사다리꼴 형태에서의 영이 아닌 행벡터들의 행렬은 일차독립 <정리7.1.3> (기저의 존재) V가 Rn의 부부공간이면, 최대 n개의 벡터들을 가지는 V의 기저가 존재한다 <정리7.1.4> Rn의 영이 아닌 부분공간의 모든 기저들은 같은 수의 벡터를 가진다.

5. [예제5]하나의기저에 있는 벡터의 수 ‧Rn의 원점을 통과하는 직선의 모든 기저는 하나의 벡터 ‧Rn의 원점을 통과하는 평면의 모든 기저는 두 개의 벡터 ‧Rn의 모든 기저는 n개의 벡터 <정의7.1.5> V가 Rn의 영이 아닌 부분공간일 때, V의 차원(dimension)은 V의 기저에 포함된 벡터의 수로 정의 하며, dim(V). 영 부분공간은 차원이 0. [예제6]Rn의 부분공간의 차원 다음은 정의7.1.5와 예제5로부터 유도된다.    ‧Rn의 원점을 통과하는 직선의 차원은 1.    ‧Rn의 원점을 지나는 평면의 차원은 2.    ‧Rn의 차원은 n.

6. 해공간의 차원 Gauss−Jordan 소거에 의한 동차선형계 Ax=0의 일반해 x=t1v1+t2v2+···+tsvs(8) 벡터 v1,v2,···vs는 일차독립 Ax=0의 표준해(canonical solutions) 표준해 벡터는 해공간을 생성하고 일차독립 해공간의 기저를 형성 이 기저를 해공간의 표준기저(canonical basis) [예제7]기저와 Ax=0의 해공간의 차원 동차계의 해공간에 대한 표준기저를 찾아라. X1+3x2-2x3+2x5=0 2x1+6x2-5x3-2x4+4x5-3x6=0 5x3+10x4+15x6=0 2x1+6x2+8x4+4x3+18x6=0 해공간의 차원을 구하라.

7. 풀이  (x1,x2,x3,x4,x5,x6)=r(-3,1,0,0,0,0)+s(-4,0,-2,1,0,0)+t(-2,0,0,01,0) 표준기저벡터는 V1=(-3,1,0,0,0,0) , V2= (-4,0,-2,1,0,0) , V3= (-2,0,0,01,0) 해공간은 R6의 3차원 부분공간. 초평면의 차원 a=a1,a2,···an이 Rn 의 영이 아닌 벡터라면 Rn의 원점을 통과하는 초평면 a⊥ a1x1+a2x2+···+anxn=0 이 선형계는 하나의 선행변수와 n-1개의 자유변수 해공간은 n-1차원을 가지고 이것은 dim(a⊥)=n-1 R2의 원점을 통과하는 (초)평면(직선)은 차원 1을 가지고 R3의 원점을 통과하는 (초)평면을 차원 2 <정리7.1.6>a가 Rn의 영이 아닌 벡터라면, dim( a⊥)=n-1.

8. 7.2 기저의 성질 기저의 성질 span{v1,v2,···vk}의 한 벡터를 다른 벡터들의 일차결합으로 나타내는 방법은 여러 가지 V=(3,4,5)을 다음의 벡터들로 어떻게 나타낼 것인지 V1=(1,0,0) , v2=(0,1,0) , v3=(0,0,1) , v4=(1,1,1) V=c1v1+c2v2+c3v3+c4v4(1)

9. <정리7.2.1> S ={v1,v2,···vk}가 Rn의 부분공간 V의 기저라면, V의 모든 벡터 v는 정확히 한가지 방법으로 S의 벡터들에 의해 일차결합으로 표현된다. <정리7.2.2> S는 Rn의 영이 아닌 부분공간 V의 유한한 벡터집합이라 하자. (a) S가 V를 생성하고, V의 기저가 아니라면, V의 기저는 S에서 적당한 벡터들을 제거함으로써 얻음. (b) S가 일차독립집합이고 V의 기저가 아니라면, V의 기저는 V로부터 S에 적당한 벡터를 추가함으로써 얻음. <정리7.2.3> V가 Rn의 영이 아닌 부분공간이라면, dim(V)는 V의 일차독립벡터의 최대수. 공학자들은 차원의 동의어로 자유도(degrees of freedom)

10. 부분공간의 부분공간 V와 W가 Rn의 부분공간이고, V가 W의 부분집합이면, V는 또한 W의 부분공간(subspace). 그림 7.2.1

11. <정리7.2.4> V와 W가 Rn의 부분공간이고, V가 W의 부분공간이면 (a) 0 ≤ dim(V) ≤ dim(W) ≤ n (b) dim(V) = dim(W) 이면 V = W. <정리7.2.5> S를 Rn의 공집합이 아닌 벡터들의 집합이고, S'은 집합 S에 Rn의 벡터들을 추가하여 얻은 집합 (a) 추가하는 벡터들이 span(S)에 있다면, span(S')=span(S) (b) span(S')=span(S)이면, 추가하는 벡터들은 span(S)에 있다. (c) span(S')와 span(S)가 같은 차원이라면, 추가하는 벡터들은 span(S)에 있고 span(S')=span(S).

12. 때때로 생성은 일차독립을 의미한다 <정리7.2.6> (a) Rn의 영이 아닌 k차원 부분공간에서 k개의 일차독립벡터들의 집합은 그 부분공간의 기저. (b) Rn의 영이 아닌 k차원 부분공간을 생성하는k개의 일차독립벡터들의 집합은 그 부분공간의 기저. (c) Rn의 영이 아닌 k차원 부분공간에서 k개보다 적은 일차독립벡터들의 집합은 그 부분공간을 생성할 수 없다. (d) Rn의 영이 아닌 k차원 부분공간에서 k개보다 많은 일차독립벡터들의 집합은 일차종속.

13. [예제1]검사에 의한 기저 (a) 검사에 의해 벡터 v1=(-3,7)과 v2=(5,5)이 R2의 기저를 형성하는 것을 보여라. (b) 검사에 의해 벡터 v1=(2,0,-1), v2=(4,0,7)과 v3=(6,1,-5)이 R3의 기저를 형성하는 것을 보여라. 예제2일차독립에 대한 행렬식 (a) 벡터 v1=(1,2,1), v2=(1,-1,3)과v3=(1,1,4)가 R3의 기저를 생성함을 보여라. (b) 벡터 v1,v2과 v3을 이용하여 w=(4,9,8), 을 나타내어라. 풀이(a) 세 벡터들이 일차독립인 것을 보이면 된다.

14. 풀이(b)(a)의 결과는 벡터 w는 v1,v2과 v3의 유일한 일차결합으로 표현되는 것 (4,9,8)=c1(1,2,1)+c2(1,-1,3)+c3(1,1,4)(3) 유일한 해 c1=3, c2=-1, c3=2 (4,9,8) = 3(1,2,1) - 1(1,-1,3) + 2(1,1,4) W = 3v1 - v2 + 2v3

15. 통합정리 <정리7.2.7> A가 nxn행렬이고 TA가 표준행렬 A를 가지는 Rn의 일차연산자라 하면, 다음 명제들은 동치이다. (a) A의 기약 행사다리꼴은 In이다. (b) A는 기본행렬들의 곱으로 표현할 수 있다. (c) A는 가역이다. (d) Ax=0는 단지 자명해를 가진다. (e) Ax=b는 Rn의 모든 벡터b에 대해 해를 가진다. (f) Ax=b는 Rn이 모든 벡터b에 대해 정확히 하나의 해를 가진다. (g) dat(A) ≠ 0 이다. (h) λ=0은 A의 고유값이 아니다.

16. (i) TA 은 단사이다. (j) TA 은 전사이다. (k) A의 열벡터들은 일차독립이다. (l) A의 행벡터들은 일차독립이다. (m) A의 열벡터들은 Rn을 생성한다. (n) A의 행벡터들은 Rn을 생성한다. (o) A의 열벡터들은 Rn의 기저를 이룬다. (p) A의 행벡터들은 Rn의 기저를 이룬다.

17. 7.3 행렬의 기본공간들 행렬의 기본공간 A가 nxn행렬이라면, A와 관련된 세 개의 중요한 공간 1. row(A)로 표현되는Rn의 행공간(rowspace)은 A의 행벡터들에 의해 생성되는 Rn의 부분공간. 2. col(A)로 표현되는 A의 열공간(column space)은 A의 열벡터들에 의해 생성되는 Rn의 부분공간. 3. null(A)로 표현되는 A의 영공간(null space)은 Ax=0의 해공간. 이것은 Rn의 부분공간.

18. A와 AT를 함께 고려 row(A), row(AT), col(A), col(AT), null(A), null(AT) row(AT)=col(A) col(AT)=row(A) 6개의 부분공간들은 단지 4개로 구별 A의 기본공간(fundamental space) <정의7.3.1>행렬A의 행공간의 차원은 A의 계수(rank)라 하고 rank(A)로 표시하고 행렬A의 영공간(null space)의 차원은 영공간의 차원(nullity)라 하고 nullity(A)로 표시.

19. <정의7.3.2> S가 Rn의 영이 아닌 집합일 때, S⊥로 표현되는 S의 직교여공간(orthogonal complement)은 S의 모든 벡터들에 수직한 Rn의 모든 벡터들의 집합. [예제1]R3의 부분공간의 직교여공간 L이 R3의 원점을 지나는 직선이라면, L⊥은 L에 수직한 원점을 지나는 평면이고, W가 R3의 원점을 지나는 평면이라면, W⊥는 W에 수직한 원점을 지나는 직선이다. 그림 7.3.1

20. [예제2]행벡터들의 직교여공간 S가 mxn인 행렬A의 행벡터들의 집합이라면, 이 집합의 S⊥은 정리 3.5.6에 의해 Ax=0 의 해공간. <정리7.3.3> S가 Rn의 공집합이 아닌 집합이라면, S⊥은 Rn의 부분공간. [예제3]두 벡터의 직교여공간 집합 S={v1,v2}의 xyz-좌표계의 직교성분을 찾아라., v1=(1,-2,1), v2=(3,-7,5)

21. (풀이)S⊥은 v1과 v2에 의한 평면에 수직이며 원점을 지나는 직선 행벡터 v1과 v2를 가지는 행렬을 A라 하고 Ax=0 x = 3t, y =2 t, z = t S⊥는 벡터 w={3,2,1}과 평행한 원점을 지나는 직선 (다른 풀이) v1과 v2에 수직한 벡터 벡터 w = -(v1 x v2) = (3,2,1)또한 v1과 v2에 직교

22. 직교여공간의 특성 <정리7.3.4> (a) W가 Rn의 부분공간이면, W⊥∩W={0}이다. (b) S가 Rn의 공집합이 아니면, S⊥=span(S)⊥이다. (c) W가 Rn의 부분공간이면 (W⊥)⊥=W 이다. <정리7.3.5> A가 mxn 행렬이면, A의 행공간과 A의 영공간은 직교여공간이다. <정리7.3.6> A가mxn행렬이라면, A의 열공간과 AT의 영공간은 서로 직교여공간이다. 두 정리들의 결과

23. <정리7.3.7> (a) 기본행연산은 행렬의 행공간을 바꾸지 못한다. (b) 기본행연산은 행렬의 영공간을 바꾸지 못한다. (c) 행렬의 행사다리꼴의 영이 아닌 행벡터는 그 행렬의 행공간의 기저를 이룬다. <정리7.3.8> 같은 수의 열을 가진 행렬 A와 B가 있다면, 다음 명제들은 동치이다. (a) A와 B는 같은 행공간을 가진다. (b) A와 B는 같은 영공간을 가진다. (c) A의 행벡터들은 B의 행벡터들의 일차결합이고, 역도 성립한다.

24. 행 소거에 의한 기저 찾기 S ={v1,v2,···vs}로 생성된 Rn의 부분공간 W에 대한 기저를 찾는 문제 1. W의 어떤 기저라도 상관없다면, v1,v2,···vs를 행벡터로 하는 행렬A를 만드는 것으로부터 시작. A의 행공간 W가 된다. 기저는 A를 행사다리꼴로 변형시킨 뒤, 영이 아닌 행을 추출함. 2. 기저가 꼭 S의 벡터들로 구성되어야 한다면, 기본행연산은 보통 행벡터들을 바꾸므로 이전 방법은 적당하지 않다. 이런 종류의 기저 문제를 푸는 방법은 후에 논의.

25. [예제4]행 소거에 의한 기저 찾기 (a) 다음 벡터들에 의해 생성된 R5의 부분공간 W에 대한 기저를 구하여라. v1=(1,0,0,0,2),v2=(-2,1,-3,-2,-4) V3=(0,5,-14,9,0), v4=(2,10,-28,-18,4) (b) W⊥의 기저를 구하여라. 풀이(a)주어진 벡터들에 의해 생성된 부분공간은 그 행렬의 행공간

26. 영이 아닌 행을 추출하면 기저 벡터들을 생성 w1=(1,0,0,0,2),w2=(0,1,-3,-2,0), w3=(0,0,1,1,0) 3개의 기저벡터들이 있고, dim(W)=3 (다른 방법) A로부터 기약 행다리꼴 (5) 기저 벡터 w1'=(1,0,0,0,2),w2'=(0,1,0,1,0), w3'=(0,0,1,1,0)

27. 풀이(b) W⊥은 A의 영 공간이라는 사실 동차계 Ax=0의 해 공간에 대한 기저 식(5)의 R은 A의 기약 행사다리꼴이기 때문 u1=(-2,0,0,0,1),u2=(0,-1,-1,1,0) 는 W⊥의 기저

28. 주어진 부분공간의 벡터인지 결정하기 문제 1. Rm의 벡터들의 집합 S ={v1,v2,···vn}이 주어졌다. b =(b1,b2,···bm)이 span(S) 안에 있기 위한 b1,b2,···bm의 조건들을 구하라. 문제 2. mxn 행렬 A가 주어졌다. b =(b1,b2,···bm)가 col(A)안에 있기 위한 b1,b2,···bm의 조건들을 구하라. 문제 3. 선형변환 T : Rn → Rm이 주어졌다. b =(b1,b2,···bm)가 ran(T)안에 있기 위한 b1,b2,···bm의 조건들을 구하라

29. 같은 문제를 달리 표현한 것이다. [예제6] 주어진 부분공간에 있기 위한 벡터의 조건들 예제4에서 벡터 v1,v2,v3과 v4에 의해 생성된 R5 의 부분공간에 벡터 b =(b1,b2, b3,b4,b5)가 반드시 있을 조건은 무엇인가? (풀이1) x1v1+x2v2+x3v3+x4v4 = b

30. 해가 존재하는지에 대한 문제(consistency problem)

31. (풀이2) b가 span{v1,v2,v3,v4}에 포함되기 위한 필요충분조건은 이 공간이 span{v1,v2, v3,v4,b}와 같은 차원을 갖는것 식(11)이 계수 3을 가지기 위해 b3-b2-b1=0 와 b5-2b1=0

32. (풀이3) b =(b1,b2, b3,b4,b5)가 벡터 v1,v2,v3,v4에 의해 생성된 부분공간 W에 있다는 것은 b가 W⊥의 모든 벡터에 수직. u1=(-2,0,0,0,1) 와u2= (0,1,-1,-1,0)가 W⊥의 기저 b가 u1과 u2에 수직하면 b는 W⊥의 모든 벡터에 수직 수직 조건 u1 ·b= 0와 u2 ·b= 0 -2b1+b5=0과 –b2-b3+b4=0 [예제7] 유용한 알고리즘 b1=(7,-2,5,3,14) , b2=(7,-2,5,3,6) , b1=(0,-1,3,-2,0) 3 벡터 중 어떤 벡터가 예제4의 벡터 v1,v2,v3,v4에 의해 생성된 R5의 부분공간에 있는지를 결정하라.

33. Cx=b1은 해를 가지지만, Cx=b2와 Cx=b3는 그렇지 않으리라는 것

34. 7.4 행렬의 차원정리와 결과 행렬의 차원 정리 정리2.2.2로부터 AX=0가 n개의 미지수를 가진 동차 선형계 붙인 행렬의 기약행사다리꼴이 r개의 영이 아닌 행. 선형계는 n-r개의 자유 변수 동차 선형계에 대한 차원 정리 자유변수의 수= n-rank(A) 자유 변수는 계 AX=0의 일반해 안에 매개변수를 구성 rank(A) + nullity(A) = A의 열의 수 <정리7.4.1> (행렬의 차원 정리) A가 m x n 행렬이라면, rank(A) + nullity(A) = n

35. [예제1] 행렬의 차원 정리 7.3절의 식(5) 7.3절의 식(7) rank(A) + nullity(A) = 3 + 2 = 5

36. 기저로 일차 독립인 집합의 확장 정리7.2.2의 (b)에 의해 Rn의 모든 일차 독립 집합 {v1,v2,···vk}은 독립벡터들을 추가함으로써 Rn의 기저로 확장. 한 가지 방법은 v1,v2,···vk를 행벡터로 가지는 행렬 A를 만드는 것. 벡터들에 의해 생성된 부분공간은 A의 행공간. 동차선형계 AX=0 을 풀면, A의 영 공간에 대한 기저. 이 기저는 차원정리에 의해 n-k 벡터. 가령 wk+1···,wn이라하면,이들은 모든 v에 직교. null(A)와 row(A)는 직교. 이러한 직교성은 집합 {v1,v2,···vk , wk+1···,wn}이 일차독립이란 것을 의미하고 Rn의 기저를 이룬다.

37. [예제2] 기저에 대한 일차독립집합의 확장 벡터 u1=(1,3,-1,1)과u2=(0,1,1,6) R5의 기저로 집합 {v1,v2}을 확장 풀이 선형계 AX=0을 풀어서 행렬의 영 공간에 대한 기저 v1=(1,3,-1,1), v2=(0,1,1,6),V3=(4,-1,1,0), v4=(17,-6,0,1)는 R4의 기저

38. 행렬의 차원 정리에 따른 몇가지 결과 <정리7.4.2> m x n행렬 A가 계수 k를 가지면, (a) A의 영공간의 차원은 n-k. (b) A의 모든 행사다리꼴은 k개의 영이 아닌 행을 가진다. (c) A의 모든 행사다리꼴은 m-k개의 영 행을 가진다. (d) 동차계 AX=0는 k개의 추축 변수(선행 변수)와 n-k개의 자유 변수를 가진다. [예제3] 행렬의 차원정리의 결과 영공간의 차원3을 가지는 5 x 7 행렬에 관한 몇 가지 사실들을 언급하라. 풀이 ‧ rank(A) = 7 - 3 = 4. ‧ A의 모든 행사다리꼴은 5-4=1개의 영 행을 가진다. ‧동차계 AX=0는 4개의 추축 변수와 7 - 4 = 3개의 자유 변수를 가진다.

39. [예제4] 행렬의 차원 정리에 의해 부가된 제한 사항들 5 x 7 행렬 A는 1차원 영공간을 가질 수 있는가? 풀이 rank(A) = 7 - nullity(A) = 7 - 1 = 6 A의 5개의 행벡터들은 6차원 공간을 생성할 수 없으므로 불가능하다. 부분공간에 대한 차원 정리 <정리 7.4.3> (부분공간에 대한 차원정리) W가 Rn의 부분공간이면 dim(W) + dim(W⊥) = n

40. 통합정리 <정리7.4.4> A는 n x n 행렬이고 TA가 기본 행렬A를 가지는 Rn의 선형연산자라면. 다음 명제들은 동치이다. (a) A의 기약 행사다리꼴은 In이다. (b) A는 기본행렬의 곱으로 표현할 수 있다. (c) A는 가역이다. (d) AX=0는 자명한 해만 가진다. (e) AX=b는 Rn의 모든 벡터b에 대해 해를 가진다. (f) AX=b는 Rn의 모든 벡터b에 대해 정확히 한 개의 해를 가진다. (g) det(A)≠0 이다. (h) λ=0은 A의 고유값이 아니다. (i) TA는 단사이다. (j) TA는 전사이다.

41. (k) A의 열벡터들은 일차독립이다. (l) A의 행벡터들은 일차독립이다. (m) A의 열벡터는 Rn을 생성한다. (n) A의 행벡터는 Rn을 생성한다. (o) A의 열벡터는 Rn의 기저를 이룬다. (p) A의 행벡터는 Rn의 기저를 이룬다. (q) rank(A) = n이다. (r) nullity(A) = 0이다.

42. 초평면 <정리7.4.5> W가 차원n-1을 가지는 Rn의 부분공간이면 W=a⊥인 영이 아닌 벡터 a가 있다. 즉, W는 Rn의 원점을 지나는 초평면이다. <정리7.4.6> Rn의 원점을 지나는 초평면의 직교여공간은 Rn의 원점을 지나는 직선이고, Rn의 원점을 지나는 직선의 직교여공간은 Rn의 원점을 지나는 초평면이다. 특히, a가 Rn의 영이 아닌 벡터라면, 직선 span{a}와 초평면 a⊥은 서로 직교여공간이다. 계수 1 행렬 m x n 행렬 A에 관한 몇 가지 사실 ‧ rank(A)=1이면, nullity(A)=n-1이고, A의 행 공간은 Rn의 원점을 지나는 직선이고 영공간은 Rn의 원점을 지나는 초평면이다. 반대로, A의 행공간이 Rn의 원점을 지나는 직선이고, A의 영공간이 Rn의 원점을 지나는 초평면이라면, A의 계수는 1이다. ‧ rank(A)=1이면, A의 행공간은 영이 아닌 적당한 벡터 a 에 의해 생성되고, A의 모든 행 벡터들은 a의 스칼라배수이고 A의 영공간은 a⊥이다. 반대로, A의 행벡터들이 영이 아닌 벡터 a의 스칼라배수라면, A의 계수는 1이고 A의 영공간은 초평면 a⊥이다.

43. [예제6] 계수가 1인 행렬 다음 행렬들은 계수가 1 계수 1 행렬은 영이 아닌 열벡터들의 외적을 계산할 때 발생 u와 v의 외적(outer product) 행렬의 모든 행벡터들은 영이 아닌 벡터 VT의 스칼라배수

44. 예제7 uvT곱으로부터 계수 1 행렬 만들기 이 행렬은 계수가 1이다. <정리7.4.7> u가 영이 아닌 uvT행렬이고 v가 영이 아닌 n x 1행렬이면, 외적 uvT는 계수 1을 가진다. 반대로 A가 계수 1을 가지는 m x n행렬이면, A는 위의 형태의 곱으로 분해될 수 있다. [예제8] 계수1인 행렬을 uvT의 형태로 분해하기 예제6의 첫 번째 행렬을 분해 첫 번째 행으로 vT를 취한다.

45. 대칭인 계수 1인 행렬 u가 영이 아닌 열 벡터 계수가 1인 것에 추가로 대칭 <정리7.4.8> u가 영이 아닌 n x 1열벡터이면, 외적 uvT는 계수가 1인 대칭 행렬이다. 역으로 A가 계수가 1인 대칭 n x n행렬이라면, 적당한 영이 아닌 n x 1열벡터 u에 대하여, A= uvT또는 A = - uvT로 분해될 수 있다.

46. [예제9] uvT로부터 발생하는 계수 1인 대칭행렬 대칭이고 계수가 1임

47. 7.5 계수정리와 결과 계수정리 <정리7.5.1> (계수정리) 행렬의 행공간과 열공간은 같은 차원을 가진다. [예제1] 행공간과 열공간은 같은 차원을 가짐 A의 열공간에 대한 열벡터의 기저

48. <정리7.5.2> A가 m x n행렬이면, rank(A) = rank(AT) A가 m x n행렬이면 rank(AT) + nullity(AT) = m rank(A) + nullity(AT) = m A가 계수k를 가지는 행렬 dim(row(A)) = k, dim(null(A)) = n-k dim(col(A)) = k, dim(null(AT)) = m-k [예제2] 계수로부터 기본공간의 차원 구하기 의 계수를 찾고, A의 기본공간의 차원을 계산

49. (풀이)  A는 계수 2를 가지고 dim(row(A)) = rank = 2 dim(null(A)) = number of columns - rank = 5-2 = 3 dim(col(A)) = rank = 2 dim(null(AT))= number of rows - rank = 3-2 = 1

50. 해를 가짐과 계수 사이의 관계 <정리7.5.3> (해를 가짐 정리) AX=b가 n개의 미지수의 m개의 방정식을 가지는 선형계이면, 다음 명제들은 동치 (a) AX=b는 해를 가진다. (b) b는 A의 열공간 안에 있다. (c) 행렬 A의 계수와 붙인 행렬 [A|b]은 같은 차원 [예제3] 해를 가짐 정리의 시각화