Relativit áselmélet logikus alapon IIi

1. Relativitáselmélet logikus alapon IIi Andréka Hajnal, Madarász Judit, Németi István & Péter, Székely Gergely, Tordai Renáta. Relativity Theory and Logic

2. Általános Relativitáselmélet iII rész Relativity Theory and Logic

3. Lokálisan specrel Relativity Theory and Logic

4. Általános relativitáselmélet Einstein erős Relativitás Elve: “Minden megfigyelő egyenjogú” (ugyanazok a természettörvények vonatkoznak rájuk) Töröljük el az inerciális és gyorsuló megfigyelők különböző kezelését az axiómákban G. R. Relativity Theory and Logic

5. genrel AxSelf AxPh AxSymt AxEv AxSelf- AxPh- AxSymt- AxEv- AxCmv AxDif Relativity Theory and Logic GenRelnyelve: ugyanaz mint SpecRel -é. Recept arra, hogy hogyan kapjuk meg GenRel -t AccRel -ből: hagyjuk el AccRel összes olyan axiómáját, ami IOb –ot emliti. De tartsuk meg a gyorsulókra való következményeiket.

6. mϵOb Genrel axiómái p k 1t 1t’ q Relativity Theory and Logic AxPh- Azoknak a fotonoknak a sebessége, amikkel a megfigyelő találkozik a találkozás pillanatában 1, és a megfigyelő életútjának minden pontjában minden irányban ki lehet küldeni fotont. Formálisan: AxSymt- Találkozó megfigyelők egymás óráit egyformán látják lelassulni (a találkozás pillanatában). Formálisan:

7. genrel GenRel = AxField +AxPh-+AxEv-+AxSelf -+AxSymt -+AxDif+AxCont Tételek GenRel Thm1001 Thm1002 Thm1003 AxField AxPh- AxEv- AxSelf-AxSymt- AxDif AxCont … Bizonyitások Relativity Theory and Logic

8. genrel • AccRel ugródeszka SpecRel-tőlGenRel felé: rugalmasabb Relativity Theory and Logic Thm1001

9. Genrel modelljei Relativity Theory and Logic • Thm1002 • GenRel modelljei Lorentz sokaságok.

10. Egy világkép AxEv- Lemma 1003. Tfh GenRel. Legyen m,kOb, k,m  evm(p). Akkor Dif(wmk)p SpecRel világkép transzformáció. AxDif AxPh- AxSymt- k m k p wmk p’ QED Relativity Theory and Logic

11. Genrel modelljei LORENTZ Lemma 1004. Legyen q,k,Lq mint az ábrán. Legyen h tetszőleges megfigyelő, aki részt vesz a q-beli eseményben úgy, hogy h karórája T-t mutat ebben az eseményben. Akkor a v:= wlmh(h)’(T) négyes-sebesség Lq-képének Minkowski-hossza 1 (azaz (0, Lqv)=1). m’ m p q k Tehát hogy a q-beli megfigyelők sajátideje hogyan telik tudjuk, ha tudjuk az Lq lineáris függvényt. Továbbá tudjuk, hogy mely irányok megfigyelők lehetséges útvonalai és mely irányok fotonok életútjai. Lq=Dif(wmk)q Q4 nyilt részhalmaza fénykúpokkal feldekorálva lokális SpecRel Relativity Theory and Logic

12. Genrel modelljei lorentzsokaságok Megfigyelők együttesen térképezik a világot M=Események evk wk k’ k Lp p wkm Metrika: evm wm sokaság Relativity Theory and Logic

13. Sokaság definiciója • n-dimenziós differenciálható Q-sokaságnak egy M,e párt nevezünk, ahol • M tetszőleges halmaz, • e= ekkKQn-ből M-be menő parciális bijekciók rendszere úgy hogy • Az ek-k értékkészleteilefedik M-et • A wmk áttérési függvények differenciálhatók. M ek T2, parakompakt wkm em sokaság Relativity Theory and Logic

14. Áltrel téridő definiciója (Egyszerű) áltrel téridőnek egy D,L párt nevezünk, ahol D Q4 nyilt részhalmaz, L minden pD –hez megad egy Lp :Q4 Q4 bijektiv affin leképezést, ami az origót a p-be viszi, és L „sima”. Lp D: „fogas”, „nagy globális koordinata-rács”, „közös nevező”. Q4 D Lokális SpecRel megfigyelők világképe Relativity Theory and Logic

15. Ekvivalens definició Az Lp lineáris transzformációt megadhatjuk azzal, hogy megadjuk a 4 egységvektor képét, azaz megadjuk az 1t,1x,1y,1z egységvektorok képét. Akkor az L megadása ekvivalens azzal, hogy megadunk 4 vektormezőt (az első vektormező minden p ponthoz hozzárendeli az 1t Lp szerinti képét, stb) úgy hogy minden pontban az ott megadott 4 vektor lineárisan független. Az L lokális SpecRel téridőket általában a Gt,Gx,Gy,Gz vektormezőkkel adjuk meg, mert ezeket jobban lehet rajzolni. D Gt(p), Gx(p),Gy(p),Gz(p)pD Relativity Theory and Logic

16. Időszerű görbe Mire, hogyan használjuk? Minden pontban az ott levő lokális SpecRel téridő mondja meg, hogy merre indulnak ki fény életutak, milyen irányokban lehet mozogni megfigyelőnek és milyen ütemben telik az arra mozgó megfigyelő saját-ideje (karóra-ideje). Adott egy (D,L) áltrel téridő. Definició. Görbének f:ID differenciálható függvényt hivunk, ahol I a Q intervalluma. Időszerű görbe az f ha mindig a lokális fénykúpon belül halad, azaz ha minden tI -re Lp1(f’(t)) időszerű vektor, azaz (0, Lp1(f’(t)) ) pozitiv, ahol p=f(t). Q D D I Q4 Relativity Theory and Logic

17. Jól-paraméterezett, geodetikus f jól méri az időt, másszóval jól-paraméterezett, ha időszerű és minden pontban a lokális SpecRel megfigyelő világképében az érintő megfigyelő órája lokálisan úgy jár mint az f paraméterezése. Formálisan (0, Lp1(f’(t)))=1, ahol p=f(t). f időszerű geodetikus ha jól-paraméterezett és lokálisan maximalizálja az eltelt időt, azaz minden tI –re f(t)-nek van olyan S környezete, hogy ha h olyan jól-paraméterezett görbe aki S-en belül halad és f(t1)=h(T1), f(t2)=h(T2), akkor |t1t2|  |T1T2| . Relativity Theory and Logic

18. Áltrel téridő izomorfizmus Definició: Legyen D,L  és D’,L’  két áltrel téridő. Az Iso:D  D’ függvényt izomorfizmusnak hivjuk, ha Iso diffhó, bijektiv, inverze is diffhó és lokális SpecRel-t lokális SpecRel-be visz abban az értelemben, hogy minden pD -re Lp Dif(Iso)(p)  „Lorentz trafo”. = L’Iso(p) D D’ p Iso Nem számit, hogy melyik irányokat választottuk koordináta-tengelynek Lp L’Iso(p Relativity Theory and Logic

19. Áltrel izomorfizmus Relativity Theory and Logic Hivják átkoordinátázásnak is. Izomorfizmusok megőrzik a minket érdeklő tulajdonságokat, pl. lokális fénykúp, lokális relativisztikus távolságok, időszerű görbe, jól-paraméterezett, geodetikus,.

20. genrel tér-idő példák Relativity Theory and Logic

21. Állandó gyorsulásúak tér-ideje Relativity Theory and Logic

22. Fekete lyukak elmélete Miért fontos a fekete lyukak elmélete? Tipikus áltrel téridő Sok más téridő épül erre Relativisztikus gravitáció legegyszerűbb formája (egy pontban van az összes gravitáló tömeg) Gravitációs tere idealizációja a Napénak. Sokféle fekete lyuk van, most a legegyszerűbbet nézzük. Relativity Theory and Logic

23. Fekete lyukak belseje Kilométerkövek egyre gyorsabban suhannak el mellette Fénysebesség után fénysebességnél gyorsabban Egy helyen elvágjuk mert henger szimmet- rikussá akarjuk majd tenni. Ott lesz a szingularitás. Relativity Theory and Logic

24. Fekete lyuk gyorsulóból Minkowski téridő 1=Gt Gyorsuló átkoordinátázása 1r =Gt Fekete lyuknak van belseje 1(r1) =Gt Hengerszimmetrikussá tesszük: megforgatjuk a tx sikot a t tengely körül. Relativity Theory and Logic

25. Fekete lyuk gyorsulóból Előző oldalról 1(r1) =Gt Megforgatás miatt aszimptotikusan lapos 1+(1r1) = r(r1)=Gt Megforgatás miatt árapályerő, méterrúd rövidülés: Einstein Vákum Egyenlet (r1)r =Gx r (r1)=Gt (rM)r =Gx r (rM)=Gt Feketelyuk belseje ugyanaz a formula Relativity Theory and Logic

26. Méterrúd rövidülés, árapályerő Newtoni gravitáció elméletben: gömbszimmetria, gravitációs gyorsulás 1r2, beeső porgömb megnyúlik. Árapályerők. Einstein vákum egyenlete. Gömbszimmetrikussá tett gyorsuló világképében még nincs. Relativity Theory and Logic

27. Árapályerő kell a létra felső fokai a gyorsuló világképben origóhoz közelebb vannak Relativity Theory and Logic

28. Méterrúd rövidülés árapály t próbatestek r 1r 1r Relativity Theory and Logic

29. Einstein vákum egyenlet SÉRÜLÉSE porfelhő2 porfelhő1 gr rd  dr 0 r  0 r Terület (térfogat) csökken! gr ds2 = (r1)r2dt2  dr2  rd2 Kijavitás: 1r 1r 1r ds2 = (r1)rdt2  r(r1)dr2  rd2 Relativity Theory and Logic

30. Schwarzschild fekete lyuk Relativity Theory and Logic

31. Beágyazó diagram Segédeszköz: n+1 dimenziós Euklidészi térbe való beágyazás A vizsgálandó metrikus tér A hangya (lokális megfigyelő) igy látja Relativity Theory and Logic

32. Schwarzschild körüljárása Relativity Theory and Logic

33. Felfüggesztett megfigyelők állványzata Relativity Theory and Logic

34. ÁLLVÁNYZAT Relativity Theory and Logic

35. Távolság eseményhorizontig véges Relativity Theory and Logic

36. Bele is lehet esni a fekete lyukba! Relativity Theory and Logic

37. Eddington-finkelstein koordináták Relativity Theory and Logic

38. Beeső fény életútja Relativity Theory and Logic

39. Fény életútja schwarzschildfl-ban r  ln r1  r  ln r  ln r1 0 1 Relativity Theory and Logic

40. Eddington-finkelstein feketelyuk Relativity Theory and Logic

41. Legegyszerűbb fekete lyuk Relativity Theory and Logic

42. Mit lát beesett megfigyelő Relativity Theory and Logic

43. Penrose diagram Relativity Theory and Logic

44. Breaking the Turing-barrier via GR Áltrel alkalmazása logikára! Relativistic Hyper Computing Relativity Theory and Logic

45. Gravitáció lelassitja az időt Einstein’s Ekivalencia Elve szerint Relativity Theory and Logic

46. Gravitáció lelassitja az időt Relativity Theory and Logic

47. Gravitáció lelassitja az időt Relativity Theory and Logic

48. Dupla eseményhorizontú fekete lyukak Relativity Theory and Logic

49. Elektromosan töltött fekete lyuk Relativity Theory and Logic

50. Penrose diagram Relativity Theory and Logic