INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LEÓN MATEMÁTICAS 4 ALGEBRA LINEAL CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LEÓN • MATEMÁTICAS 4 ALGEBRA LINEAL • CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL ELABORADO POR: RAMIREZ RODRIGUEZ NORMA GABRIELA JARAMILLO VILLALPANDO ANA JUDITH DICIEMBRE DEL 2011

2. NÚMEROS COMPLEJOS Un número complejo es una expresión de la forma: Donde α y β son números realesα se denomina parte real de z (Re z) β se denomina parte imaginaria de z (Im z). Esta forma de representación recibe el nombre de forma cartesiana, rectangular o binómica del numero complejo z.

3. Los números complejos se usan para expresar todas soluciones de ecuaciones que no se pueden expresar solamente con el conjunto los de números reales

4. Para resolver la problemática de la raíz cuadrada de un número negativo se hace uso de: la unidad imaginaria denotada por “i” • donde • i no representa un número real. • Es una identidad matemática

5. , El plano complejo o de Argand Es posible graficar un numero complejo z en el plano xy, graficando Re z sobre el eje x e Im z sobre el eje y, se puede considerar a cada número complejo como un punto en el plano xy

7. , Conjugado de un número complejo Para un número complejo dado por entonces se define el conjugado de z, de la siguiente manera

8. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

9. Suma de números complejos En la suma de números complejos se realiza la adición de números reales con números reales y números imaginarios con números imaginarios. Ejemplo: Dado z=2+3i w=5-4i z + w = (2+3i) + (5- 4i) = (2+5)+ (3-4) i =7- i

10. Resta de números complejos Similar a la suma, reales con reales, imaginarios con imaginarios Ejemplo: Tenemos z=2+3i w=5-4i z- w = (2+3i) - (5- 4i) = (2-5) - (3-4) i = -3-7 i

11. Multiplicación de números complejos (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i Ejemplo: Tenemos z=4 – 3i w=2 + i, calculando (z) (w) (z)(w)= (4 – 3i) (2 + i)=8 – 6i + 4i +3i²= 11 – 2i

12. División de números complejos • Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador para obtener un número real en el denominador. • Formula: • Ejemplo :

13. POTENCIA DE “i” El numero imaginario “i” como sabemos es igual a Para las potencias de Las cuales sirven como base para obtener lassiguientespotencias de “i”.

14. Ejemplo Obtener: • Donde; • Entonces tenemos que;será igual

15. EjemploObtenerDonde; Entonces tenemos que;

16. Modulo y argumento de un número complejo

17. Modulo o magnitud de un número complejo • Se define la magnitud de z, también llamada modulo, denotada por , como • Se puede considerar como la distancia del origen al punto z.

18. Argumento o amplitud de un número complejo • Se define el argumento de z denotada por Θ , como • Se define como el ángulo que describe la recta Oz y el eje positivo del eje real Rex

19. FORMA POLAR Y EXPONENCIAL

20. TEOREMA de DE MOIVRE, POTENCIA Y RAIZ  La fórmula de De Moivre establece que para cualquier numero complejo (en particular números reales) Z y para cualquier entero n se verifica que: Útil para calcular la potencia de z

21. Raíz de números complejos Un número w es llamado una raíz n-ésima de un número complejo z si se verifica que : • Lo que se puede escribir • Donde k=0,1,2,3,4…(n-1)

22. Ejemplo Encontrar las raíces cuadradas de número complejo dado Identificamos la magnitud y el argumento de z

24. ECUACIONES POLINOMICAS • Denominamos ecuación polinómica a toda ecuación de la forma p(x) = 0, donde p(x) es un polinomio. Resolver una ecuación polinómica es hallar los valores de x que anulan el polinomio; es decir, equivale a encontrar sus raíces. • Donde y son números complejos, denominados coeficientes.

25. Ejemplo Aplicamos la formula general considerando a “z” como un número cualquiera De tal manera que se tiene

26. BIBLIOGRAFIA Grossman, S. Algebra Lineal, McGraw Hill