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Insertion-Sort. a1:a2. . . a2:a3. a1:a3. . . . . a1:a3. <a2,a1,a3>. a 2 :a 3. <a1,a2,a3>. . . . . <a1,a3,a2>. <a2,a3,a1>. <a3,a1,a2>. <a3,a2,a1>. Selection-Sort. a1:a2. . . a1:a3. a2:a3. . . . . a 1 :a 3. a2:a3. a2:a1. a 1 :a 2. . . . . .

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Presentation Transcript

  1. Insertion-Sort a1:a2   a2:a3 a1:a3     a1:a3 <a2,a1,a3> a2:a3 <a1,a2,a3>     <a1,a3,a2> <a2,a3,a1> <a3,a1,a2> <a3,a2,a1> Selection-Sort a1:a2   a1:a3 a2:a3     a1:a3 a2:a3 a2:a1 a1:a2       <a2,a3,a1> <a3,a2,a1> <a1,a3,a2> <a1,a2,a3> <a2,a1,a3> <a3,a1,a2>

  2. Esercizio 2 • Consideriamo una funzione f(n) tale che: • f(n) = (n log2(n)) • La relazione precedente implica anche: • f(n) = (n logB(n)) B = base generica • ----------------------------------------- • Infatti: • f(n) = (n log2(n))  c, n0 > 0 tali che  n  n0 • 0  c n log2(n) f(n) • Notiamo che: • log2(n) = logB(n) / logB(2) • Posso definire c’ = c / logB(2). Vale allora la relazione: • n  n0 0 c’ n logB(n)  f(n) Da cui segue: f(n) = (n logB(n))

  3. Esercizio – Fusione di due sequenze ordinate Considerare il problema della fusione di 2 sequenze ordinate di lunghezza n/2 in una sequenza ordinata di lunghezza n. Scrivere un algoritmo, analizzarne la complessità, valutare se l’algoritmo scritto è un algoritmo ottimale. • Alcune domande preliminari: • Lower bound ? Boh…quello banale è pari ad Ω(n) • Upper bound ? Vediamo…parto con un algoritmo banale Merge1(A,B) For i 1 to n/2 do C[i]  A[i] C[n/2+i]  B[i] Insertion-Sort(C) • L’algoritmo è corretto? • SI • Complessità temporale e spaziale dell’algoritmo? • O(n2), come l’Insertion Sort • L’algoritmo è ottimale? •  Direi di NO…

  4. Un altro algoritmo di fusione… Merge2(A,B) i  1 j  1 While (i  n/2) and (j  n/2) do if (A[i] < B[j]) then C[i+j-1]  A[i] i  i + 1 else C[i+j-1]  B[j] j  j + 1 If (i > n/2) then for k  j to n/2 do C[k+n/2]  B[k] else for k  i to n/2 do C[k+n/2]  A[k] • L’algoritmo è corretto? • SI • Complessità temporale e spaziale dell’algoritmo? • O(n) • L’algoritmo è ottimale? • SI!!

  5. Algoritmi di ordinamento ottimali Problema dell’ ordinamento per confronto: Lower bound - (n log(n)) considerazioni teoriche Upper bound – O(n2) IS,SS Proviamo a costruire un algoritmo ottimale. • Notiamo che: • IS e SS utilizzano un approccio incrementale • alla k-esima iterazione essi producono una sequenza • ordinata di k elementi

  6. L’ approccio incrementale non è l’unico approccio possibile: • Approccio divide-et-impera (divide-and-conquer) • - Il problema è diviso in un certo numero di sotto-problemi (divide) • I sottoproblemi vengono risolti separatamente (impera); • Le soluzioni dei sottoproblemi vengono combinate per ottenere la soluzione del problema iniziale (combina).

  7. Algoritmo Merge-Sort Merge-Sort(A, p, r) If (p < r) then q = (p+r)/2  Merge-Sort(A, p,q) Merge-Sort(A, q+1, r) Merge(A, p, q, r) Merge(A, p, q, r) Assume che: A[p …… q] ordinata A[q+1 …… r] ordinata Genera: A[p …… r] ordinata Per ordinare A si lancia Merge-Sort(A,1,n) Funzionamento del Merge-Sort per n=8: valore dei parametri p,r Merge-Sort 1,8 p,r 1,4 5,8 3,4 1,2 5,6 7,8 3,3 7,7 5,5 4,4 6,6 8,8 2,2 1,1

  8. Funzionamento del Merge-Sort: progressione delle chiamate ricorsive p1 =1 r1 =8 q1 =4 Merge-Sort p2 =1 r2 =4 q2 =2 p2 =5 r2 =8 q2 =6 p3 =1 r3 =2 q3 =1 p3 =5 r3 =6 q3 =5 p3 =7 r3 =8 q3 =7 p3 =3 r3 =4 q3 =3 p4 =3 r4 =3 q4 = p4 =7 r4 =7 q4 = p4 =5 r4 =5 q4 = p4 =6 r4 =6 q4 = p4 =8 r4 =8 q4 = p4 =2 r4 =2 q4 = p4 =1 r4 =1 q4 = p4 =4 r4 =4 q4 =

  9. Funzionamento del Merge-Sort: un esempio n = 8 A = < 5,2,4,6,1,3,8,7 > Merge-Sort 5,2,4,6,1,3,8,7 1,2,3,4,5,6,7,8 5,2,4,6 1,3,8,7 2,4,5,6 1,3,7,8 5,2 4,6 1,3 8,7 4,6 1,3 7,8 2,5 5 1 3 8 7 2 4 6

  10. Complessità temporale del Merge Sort Merge-Sort(A, p, r) If (p < r) then q = (p+r)/2  Merge-Sort(A, p,q) Merge-Sort(A, q+1, r) Merge(A, p, q, r) Ci aspettiamo che il comportamento asintotico del Merge-Sort sia migliore del comportamento asintotico di IS e SS. Infatti, l’approccio ricorsivo dovrebbe aggirare i problemi indotti dall’approccio incrementale.

  11. Complessità temporale del Merge-Sort Merge-Sort(A, p, r) If (p < r) then q = (p+r)/2  Merge-Sort(A, p,q) Merge-Sort(A, q+1, r) Merge(A, p, q, r) Il Merge-Sort è un algoritmo ricorsivo Il tempo di esecuzione del MS verifica un equazione di ricorrenza Tms(n) = d(n) + 2*Tms(n/2) + c(n) d(n)  tempo necessario a dividere in  (1) 2 sequenze lunghe n/2 c(n)  tempo necessario per combinare  (n) 2 sequenze ordinate di n/2 elementi (Merge()) Tms(n) = 2 *Tms(n/2) + f(n) f(n) = d(n) + c(n) = (n) Questa equazione vale per tutti i valori di n eccetto che per n=1: Notare: Se conoscessi Tms(n/2), potrei determinare Tms(n).

  12. Teorema principale Siano a,b,c costanti non negative. La soluzione dell’ equazione di ricorrenza: T(n) = b per n = 1 aT(n/c) + b n per n > 1 è: Θ(n) se a < c T(n)= Θ(n log n) se a = c Θ(n logca) se a > c

  13. Nel caso del Merge-Sort, a=b=2 La complessità temporale dell’algoritmo Merge-Sort è: T(n) = (nlogn) Ciò implica che l’algoritmo Merge-Sort è un algoritmo di ordinamento ottimale!!

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