Tópicos en Geometría Perímetro y Área

1. Tópicos en GeometríaPerímetro y Área Prof. Ángel A. Fonseca Mulero Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Humacao

2. Bienvenido • A través de este tutorial tendrás la oportunidad de relacionarte con los conceptos básicos de perímetro y área aplicados a problemas comunes de los cursos básicos de matemáticas.

3. Objetivos EspecíficosAl finalizar este módulo serás capaz de: • Calcular el perímetro para polígonos y círculos • Aplicar el Teorema de Pitágoras • Conocer el significado de área y aplicarlo a polígonos regulares e irregulares. • Conocer y aplicar la Fórmula de Herón

4. Navegación • La navegación es tanto secuencial como ramificada. Sigue las instrucciones cuidadosamente y oprime los vínculos indicados a la hora de seleccionar una alternativa. Se recomienda el uso de calculadora para resolver algunos de los ejercicios aunque no es indispensable.

5. Sigue las siguientes instrucciones:

6. ¡Listos para comenzar!

7. Parte I Perímetro Definición: El perímetro de una figura plana compuesta por segmentos de línea es la suma de las medidas de cada segmento. Se mide en unidades lineales. Veamos un ejemplo.

8. Ej.1 El perímetro de esta figura se calcula al sumar todos los lados, esto es: 8 + 5 + 8 + 5 = 26 unidades. 8 5

9. Ej. 2 El perímetro de esta figura es 34, verifícalo. Asume por simetría las medidas que no se muestran. 6 2 3

10. La circunferencia alrededor del círculo se mide mediante la fórmula C = 2πr,donde el radio r es la medida desde el centro al borde y el número π se sustituye por 3.14 r Parte II CircunferenciaLos círculos en lugar de perímetro tienen Circunferencia

11. r=7 Calcula la circunferencia Nota que C = 2πr implica C = 2(3.14)(7) = 43.96 ≈ 44 unidades

12. 5 4 3 Parte III Teorema de Pitágoras Para todo triángulo rectángulo (aquél que contiene un ángulo de 900) la suma de los cuadrados de los catetos (lados que encierran el ángulo de 90o ) es igual al cuadrado de la hipotenusa (lado más largo).

13. c 12 5 El Teorema de Pitágorases muy útil a la hora de hallar medidas en triángulos rectángulos ya que conociendo cualesquiera dos lados se halla el tercero. Veamos un ejemplo. Halla el perímetro de este triángulo. Primero notamos que desconocemos el lado c por lo cual aplicamos Pitágoras. Finalmente el perímetro mide 30.

14. 12 6 Para repasar los conceptos presentados hasta ahora procederemos con un ejercicio de selección múltiple. Halla el perímetro de esta figura compuesta por un semicírculo y un rectángulo. Luego que hagas cómputos selecciona la contestación correcta. A. 36 B. 39.42 C. 48.85

15. Parte IV Área En esta parte consideramos medir el área superficial interior de los polígonos y demás figuras. Notarás que en los polígonos como triángulos, cuadriláteros y todos los que se componen de segmentos de recta es relativamente fácil obtener área, pero……. Cuando la figura contiene curvas, por ejemplo el círculo, no es tan obvio como medirla.

16. Área se mide en unidades cuadradas y el área de una región es la suma de las unidades cuadradas (no solapadas) que cubren esa región. Por definición de área nota que la cantidad de unidades cuadradas necesarias para cubrir este rectángulo es de 15.

17. Usando la unidad cuadrada descrita a la izquierda estima cuántas de ellas son necesarias para cubrir el polígono a su derecha de tal manera que obtengas su área. Después de contar y sumar los cuadros notamos que hay 10 unidades cuadradas. ¿Lo ves?

18. A continuación se muestran algunas fórmulas que te serán utiles para hallar área:

19. 12 15 Ej.1 Halla el área del siguiente triángulo en pulgadas cuadradas. Por lo tanto A = 90 pulg 2

20. Ej. 2 Halla el área del círculo r=5

21. Parte V Herón de Alejandría Este matemático griego de Alejandría (norte de Egipto 75 A.D.) descubrió una fórmula para hallar el área de cualquier triángulo si se conoce la longitud de sus tres lados.

22. a c b Fórmula de Herón

23. Aplicando la Fórmula de Herón 5 12 13 Halla el área del triángulo. Este caso especial se conoce como triple de Herón ya que a partir de lados enteros (5,12,13) el área es número entero (30).

24. Parte VI Autoevaluación: • A continuación se presentan ejercicios para aplicar los conocimientos adquiridos. Se requiere un análisis cuidadoso de cada problema, aplicación de fórmulas y cómputo de algunas cantidades. Pulsa sobre la contestación correcta. En caso de fallar se proveerá explicación y retroalimentación. ¡Exito!

25. 4 9 AE1) Halla el área de este castillo A. 36 u2 B. 54 u2 C. 45 u2

26. AE2) Halla el perímetro del cuadrilátero 20 16 5 x A. 54 B. 43 C. 66

27. AE3) Halla el área de la región amarilla, o sea, remanente al remover elcírculo. A. 39.25 B. 60.75 u C. 21.5

28. AE4) Halla el área fuera del círculo dentro del trapezoide. Asume simetría en las figuras. 3 4 7 A. 36.44 u2 B. 49 u2 C. 12.5 u2

29. AE5) Halla el área del triángulo mediante la Formula de Herón. 13 14 15 A. 52.24 u2 B. 91 u2 C. 84 u2

30. Incorrecto, pues no se usa un círculo completo sino un semicírculo sumado a tres lados del rectángulo.

31. B. 54 Correcto , ya que el área del rectángulo es 4 x 9 = 36 u2 y cada triángulo mide 4 de alto por 3 de base lo cual nos da: → Al contar con tres triángulos tenemos 18 unidades cuadradas sumadas a las 36 anteriores obtenemos 54 unidades cuadradas en total.

32. A. 36 Incorrecto. Esto es el área del rectángulo solamente , hay que tomar en cuenta los triángulos con altura h = 4 y base b = 3 .

33. c. 45 Incorrecto. Necesita sumar el área del rectángulo con el área de los tres triángulos.

34. A. Incorrecto, debe considerar sólo tres de los lados del rectángulo y la mitad de la circunferencia.

35. B. 39.42 Correcto pues has sumado los lados comprendidos por 12 + 12 + 6 = 30 y luego añades la mitad de la circunferencia que está dada por: Como es semicírculo tomamos la mitad de esa cantidad ,o sea, 9.42 y la sumamos con 30 obteniendo perímetro P = 39.42 Cabe notar que el radio del círculo es la mitad del ancho(diámetro) por lo cual se usa 6 ÷ 2 =3

36. A. 54 ¡Correcto! Muy bien.

37. ¡Incorrecto! Debes calcular el valor del lado desconocido x usando Pitágoras (en triángulo superior) y luego repetir Pitágoras en triángulo inferior.

38. B) 60.75 ¡Correcto!

39. ¡Incorrecto! A partir de la figura se infiere que el radio del círculo es 5. El área del rectángulo es 100 u2 . Sólo se descuenta el área de medio círculo.

40. ¡Correcto! Pasa al próximo ejercicio…

41. ¡Incorrecto! Por la fórmula de área para trapezoide con bases 4 y 10 ; altura = 7 calcule área: obtendrá 49.

42. ¡Correcto!

43. ¡Incorrecto!

44. ¿Seguro que quieres detenerte ? No Sí

45. Si deseas repasar selecciona la parte correspondiente Parte I Perímetro Parte II Circunferencia Parte III Teorema de Pitágoras Parte IV Área Parte V Fórmula de Herón Parte VI Autoevaluación

46. π < Ω ¡Felicidades! Has completado el módulo, espero haya sido de provecho y te invito a seguir explorando el maravilloso mundo de las matemáticas.

47. ¡Adiós!...