1 / 23

Funkcja  Riemanna

Funkcja  Riemanna. Wydział Fizyk i Informatyki Stosowanej. Dariusz Pasternak. Plan Prezentacji. Opis funkcji  (s) Zbieżność szeregu Przedłużenie analityczne funkcji  (s) Równość Eulera – dowód Zależność pomiędzy  (s) a (s) Powiązanie funkcji  (s) z Funkcją  (x) Funkcja Li(x)

phong
Download Presentation

Funkcja  Riemanna

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FunkcjaRiemanna Wydział Fizyk i Informatyki Stosowanej Dariusz Pasternak

  2. Plan Prezentacji • Opis funkcji(s) • Zbieżność szeregu • Przedłużenie analityczne funkcji (s) • Równość Eulera – dowód • Zależność pomiędzy (s) a (s) • Powiązanie funkcji (s) z Funkcją  (x) • Funkcja Li(x) • Liczby Pierwsze a analiza zespolona

  3. Opis funkcji (s) Funkcja dzeta Riemana określona jest wzorem: Dla re s > 1

  4. Zbieżność szeregu re s > 1 Dla mamy . A stąd wynika, że szereg ten jest zbieżny jednostajnie w każdym podzbiorze zwartym tej płaszczyzny i funkcjajest holomorficzna.

  5. Przedłużenie analityczne • O funkcji (s) Riemanna dowodzi się że: • Jest ona przedłużalna analitycznie na całej płaszczyźnie otwartej bez punktu s=1 i w punkcie s=1 ma biegun o części głównej 1/(z-1). • W półpłaszczyźnie re s > 1funkcja (s) jest różna od zera, w półpłaszczyźnie re s < 0 ma zera jednokrotnea w pasie [0;1] ma nieskończenie wiele zer.

  6. Przedłużenie analityczne Rozszerzenie funkcji dzeta definiujemy jako:

  7. Iloczyn Eulera Prawdziwa jest następująca tożsamość, gdzie w iloczynie występują wszystkie liczby piewsze:

  8. Dowód Załóżmy że przemnożymy funkcję(s) w następujący sposób: następnie

  9. Dowód Podobnie raz jeszcze Bardziej ogólnie

  10. Dowód W związku z tym że rozkład przybiera taką formę możemy kontynuować proceduręostatecznie otrzymując wzór na Iloczyn Eulera:

  11. Zależność pomiędzy (s) a (s) re s > 0 podstawiamy x=nt korzystając z identyczności

  12. Zależność pomiędzy (s) a (s) Otrzymujemy dla re s > 1, k dodatnich

  13. Zależność pomiędzy (s) a (s) Ponieważ obie części są zbieżne wykaże że drugi człon dąży do 0 gdy k dąży do nieskończoności przyjmijmy  > 0, oraz takie  że:

  14. Zależność pomiędzy (s) a (s) następnie dobieramy takie duże k aby: w rezultacie otrzymujemy:

  15. Powiązanie funkcji (s) z Funkcją  (x)

  16. Powiązanie funkcji (s) z Funkcją  (x)

  17. Funkcja Li(x) (logarytm całkowy) Funkcja Li(x) okazała się niezwykle przydatna przy szacowaniu liczby liczb pierwszych.Jest dokładniejsza niż zaproponowanie przez Gausa zależność:

  18. Wykresy funkcji

  19. Wykresy funkcji

  20. Wykresy funkcji

  21. Liczby Pierwsze a analiza zespolona Twierdzenie o liczbach pierwszych Tw.

  22. Literatura • F.Leja „Funkcje Zespolone” • S.Ponnusamy, Herb Silverman „Complex Variables with Aplications” • Funkcja Dzeta Riemana, Praca Riemana z 1859r. • http://students.mimuw.edu.pl/~pta/riemann/riemann.pdf • http://www-users.mat.uni.torun.pl/~philip/prime.html

  23. Dziękuję Dariusz Pasternak

More Related