BANDAS DE ENERGIA

1. BANDAS DE ENERGIA

2. Velocidad de deriva. La fuerza sobre un electron producida por un campo electrico E es F = -eE = dp / dt =  dk/ dt . Cada estadoelectronico k cambia una cantidad dk = -eEt/ . La esfera de Fermi se desplaza uniformemente. Hay una velocidad que se adquiere por la presencia del campo dada por dv = dp/m = -(et/m)E (a) F=0 (b) F (a) Fermi sphere centered on k = 0 i.e. no net electron momentum (b) Effect of an applied force

3. Resistividad Electrica • dv = dp/m = -(e /m)E • J = nqdv =(ne2/m)E • J =E • = ne2/m Se mide experimentalmente la conductividad Electrica y se obtiene . Se define libre camino medio, l =VF .

4. Resistividad Electrica  = (T)+ 0

5. Conductividad termica Electronica De la teoria cinetica tenemos K = ΛvCv/3 K es la conductividad termica, v es la velocidad del electron, Λ es el libre camino medio y Cv es la capacidad calorifica por m3 Electrones se mueven, v = vF , Λ = vFt , Cv = (p2/2) nkB (T/TF) asi K = p2nk2BtT/3m ahora s = ne2t/m Porlotanto K /s T = (p2/3)(kB/e)2 = 2.45 x 10-8 WWK-2 (nro deLorentz) El resultado anterior es llamado Ley de Wiedermann-Franz Valores medidos del numero de Lorentz a 300K son Cu 2.23, In 2.49, Pb 2.47, Au 2.35 x 10-8 WWK-2

6. Exitos del modelo del electron Libre • Introduce una idea util del tiempo de relajacion • Da una dependencia correcta del calor especifico respecto de la temperatura • Presenta un acuerdo razonable con la ley de Wiedermann-Franz • Magnitudes observadas del calor especifico electronico y coeficiente hall son similares a los predichos en muchos metales • Indica que los electrones son mucho mas libre de lo que uno se pueda imaginar

7. Teoria de bandas Para obtener la estructura de Bandas de energia en forma correcta necesitamos resolver la ecuacion de Schrödinger’s para los electrones en la presencia de un potencial periodico. Esta ecuacion no puede resolverse en forma exacta y algunas aproximaciones son necesarias. Existen dos modelos EL modelo del electron cuasi-libre y el modelo detight binding, enlace fuerte. En estos modelos continuamos tratando los electrones como independendientes, o sea despreciando la interaccion electron-electron

8. E + + + + + position Niveles de Energia y Bandas • Atomos aislados tienen niveles de energia permitidos. • En la presencia de un potencial periodico, bandas de estados permitidos estan separados por brechas de energias para los cuales no hay estados de energia permitidos • Los estados permitidos en conductores pueden ser construidos de combinaciones de estados del electron libre (modelo del electron cuasi-libre) o de la combinacion lineal de orbitales atomicos de atomos aislados (modelo tight binding).

9. Onda mueve derecha Onda dispers mueve a la izquierda a Ondas en una red Periodica Consideremos una onda, con longitud de onda l moviendose a traves de una red 1D de periodo a Hay una reflexion de 180 para l = 2a Estas ondas reflejadas interfieren constructivamente Onda tiene un vector de onda, k = 2p/l. potencial dispersi periodo a Vectores Red Reciproca 1D son G = n.2p/a ; n – entero condicion Bragg es k = G/2 Red 3D : Dispersion occurre si k' = k + G Donde G = ha1 + ka2 + la3 h,k,l enteros y a1 ,a2 ,a3 Son los vectores de red reciprocos primitivos k' G k

10. E + + + + + a position Dispersion de Bragg y gap de Energia Potencial periodico 1D. Vectores red reciproca, G = 2n p/a Un electron libre en un estado exp( ipx/a), ( onda mueve derecha) hay una reflexion Bragg en k = G/2 y la onda se mueve a izquierda exp( -ipx/a). En el modelo del electron libre estados permitidos no normalizados para k = p/a son ψ(+) = exp(ipx/a) + exp( - ipx/a) = 2 cos(px/a) ψ(-) = exp(ipx/a) - exp( - ipx/a) = 2i sin(px/a) Hay dos estados permitidos para el mismo k con diferentes energias

11. Dos Soluciones, funcion seno y coseno solucion Coseno ψ(+) tiene maxima densidad probabilidad electronica en el minimo del potencial. solution Seno ψ(-) tiene maxima densidad probabilidad electronica en maximo del potencial. Cos(px/a) Sin(px/a) En una red periodica las funciones de onda permitidas tienen la propiedad Donde R es un vector de Red Cos2(px/a) Sin2(px/a)

12. chequear chequear MAGNITUD DEL GAP DE ENERGIA Tomemos un potencial periodico de la forma Sea L la longitud del cristal. Note que L/a es el numero de celdas unitarias y es un entero. Normalizando la funcion de onda ψ(+) = Acos(px/a) tenemos asi El valor esperado de la energia para el estado ψ(+) es

13. Gaps en las fonteras de la Zona de Brillouin En puntos A ψ(+)= 2 cos(px/a) andE=(hk)2/2me - V0/2 . En puntos B ψ(-) = 2isin(px/a)and E=(hk)2/2me + V0/2 .