Relaciones Entre Conjuntos

1. Relaciones Entre Conjuntos • Profesor: • Francisco carrera. • Fecha: • 9/11/12. • Alumno: • Kristie Herrera Brenes • Mauricio Solano Castro

2. Parejas ordenadas • El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo: • {3, 5} = {5, 3} • Tambien se les conoce como tuplas cuando son pares ordenados • Por otra parte, escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

3. Producto cartesiano • Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈A y b ∈B • EJEMPLO • 
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
 • A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

4. Correspondencias y aplicaciones entre conjuntos • A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más importantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados.

5. Se definen también los siguientes conjuntos: • El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen las 
flechas. • El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las 
flechas. • A B • Inicial final • Original imagen • Preimagen codominio • Dominio rango

6. Correspondencias • Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un subconjunto delproducto cartesiano de A por B. • Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa por G.

7. Correspondencias • EJEMPLO • Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo • G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que G es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).


8. Tipos de correspondencia • 1. Correspondencia en o inyectiva • es decir, a cada elemento del conjunto final puede llegarle una o ninguna flecha. • ƒinyectiva ⇔∇y1,y2∈B,dondey1 =ƒ(x1), y2=ƒ(x2),siy1 =y2 ⇒x1=x2,∇x1,x2∈A • Ejemplo:

9. Tipos de correspondencia 2. Correspondencia sobre o suprayectiva o exhaustiva • es sobre cuando el conjunto imagen coincide con el conjunto final; es decir, cuando todo elemento del conjunto final es imagen de al menos uno del inicial.

10. Tipos de correspondencia • 3. Correspondencia unívoca:Una correspondencia ƒ es unívoca cuando cada elemento del conjunto original tiene como máximo una imagen; es decir, de cada elemento del conjunto inicial puede partir una o ninguna flecha al conjunto final.

11. Tipos de correspondencia • 4. Correspondencia multívoca:Una correspondencia ƒ es multívoca cuando existe algún elemento del conjunto inicial con dos o más imágenes.

12. Tipos de correspondencia • 5. Correspondencia biunívoca:Una correspondencia unívoca ƒ entre dos conjunto A y B es biunívoca cuando su correspondencia inversa ƒ-1 también es unívoca.

13. Clases de aplicaciones: • 1.Aplicación inyectiva: Es aquella en la que a cada elemento del conjunto imagen le corresponde a uno y sólo a un elemento del conjunto original; es decir, cada elemento del conjunto final es imagen de al menos un elemento del conjunto original.

14. Clases de aplicaciones: • 2. Aplicación suprayectiva o exhaustiva: Es la aplicación que verifica que el conjunto final es igual a su conjunto imagen.

15. Clases de aplicaciones: • 3. Aplicación biyectiva:Es la aplicación que a la vez es inyectiva y suprayectiva. Obsérvese que en este caso, si los dos conjuntos son finitos, deben tener el mismo cardinal.

16. Relaciones: • Una relación puede pensarse como una tabla que enumera la relación de algunos elementos con otros.

17. Relación binaria • La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A. • EJEMPLO • Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.

18. Propiedades de una relación binaria • Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.

19. Propiedades de una relación binaria • 1. Reflexiva. Cada elemento tiene un bucle • Ejemplo:
 • Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser igual que”, se tiene: • R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

20. Propiedades de una relación binaria • 2. Anterreflexiva. Ningún elemento tiene un bucle. 
 • Ejemplo: • Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor que”, se tiene: 
 • R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 


21. Propiedades de una relación binaria • 3. Simétrica. Cada flecha de ida tiene otra de vuelta. • Ejemplo: 
 • SiA={-1,2,-3,4}yRestalque∇a,b ∈A, a R b ⇔ a⋅ b>0, setiene: • R = {(-1, -1), (-1, -3), (2, 2), (2, 4), (-3, -1), (-3, -3), (4, 2), (4, 4)}

22. Propiedades de una relación binaria • 4. Antisimétrica en sentido amplio.Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, salvo en el caso de los bucles, que están permitidos. • Ejemplo: • 
Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor o igual que”, se tiene: • R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

23. Propiedades de una relación binaria • 5. Antisimétrica en sentido estricto.Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, y no están permitidos los bucles. • Ejemplo: • Si A = {5, 7, 10} y R es la relación “ser menor que”, se tiene: • R = {(5, 7), (5, 10), (7, 10)}