1 / 85

VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN

VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN. BAB II DISTRIBUSI TEORITIS. Variabel Random ( Acak ). Didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan . Variabel acak adalah variabel yang nilai - nilainya ditentukan oleh kesempatan

preston-raymond
Download Presentation

VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN BAB II DISTRIBUSI TEORITIS

  2. Variabel Random (Acak) Didefinisikansebagaideskripsinumerikdarihasilpercobaan. Variabelacakadalahvariabel yang nilai- nilainyaditentukanolehkesempatan atauvariabel yang dapatbernilainumerik yang didefinisikandalamruangsampel. Variabelacakbiasanyamenghubungkannilai- nilainumerikdengansetiapkemungkinanhasilpercobaan.

  3. Variabel Random (Acak) Misalnya, pelemparansebuahdadusebanyak 6 kali makamunculnyaangka 1 sebanyak 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 kali merupakansuatukesempatan.

  4. Variabel Random (acak) dapatdibedakanatas : • Variabelacakdiskrit (hasilperhitungan) • VariabelAcakKontinu (hasilpengukuran)

  5. Variabel Random (Acak) Diskrit • Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yg umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek. • Variabel acak diskrit tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. • Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak pecahan.

  6. Variabel Random (Acak) Diskrit Variabelacakdiskritjikadigambarkanpadasebuahgaris interval, akanberupasederetantitik-titik yang terpisah. 1 2 3 4 5 6 0

  7. Variabel Random (Acak) Diskrit Contoh: • Banyaknyapemunculansisimukaatauangkadalampelemparansebuahkoin (uanglogam). • Jumlahanakdalamsebuahkeluarga.

  8. Contohsoal: Duabuahkotakmasing-masingberisi 4 bola yang berisikanangka 1,2,3,4. Dari kotak I dan II masing-masingdiambilsebuah bola secara random. Tentukannilaidarivariabel random yang menyatakanjumlahkeduaangkapada bola yang terambil! Penyelesaian: Dari pengambilan bola padakotak I dan II, diperolehtitiksampelsebanyak 16. Jika Y menyatakanjumlahkeduaangkapada bola yang terambilmaka: Y(1 , 1) = 2 Y(1 , 2) = 3 Y(1 , 3) = 4 danseterusnya. Sehingga, daerahhasildarivariabel random Y adalah Ry = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

  9. Contoh-contoh variabel Diskrit

  10. Variabel Random (Acak) Kontinu VariabelAcakKontinuadalahvariabel random yang mengambilseluruhnilai yang adadalamsebuah interval, atauvariabel yang dapatmemilikinilai-nilaipadasuatu interval tertentu. Nilainyadapatberupabilanganbulatmaupunpecahan.

  11. Variabel Random (Acak) Kontinu Variabelacakkontinujikadigambarkanpadasebuahgaris interval, akanberupasederetantitik yang bersambungmembentuksuatugarislurussbb : 0 6 Nilaivariabel random kontinudapatterjadidimanapun dalam interval itu

  12. Variabel Random (Acak) Kontinu Contoh: • Usiapenduduksuatudaerah. • Panjangbeberapahelaikain.

  13. Contohsoal: Pada label kawatbaja, tertulis diameter 2 ± 0,0005 mm. Tentukannilaidarivariabel random yang menunjukkan diameter kawattersebut! Penyelesaian: Diameter kawatbajatidakbolehkurangdari 2 – 0,0005 mm = 1,9995 mm dantidakbolehlebihdari 2 + 0,0005 mm = 2,0005 mm, sehinggadaerahhasildarivariabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 ≤ x ≤ 2,0005, x bilangan real}.

  14. Contoh variabel kontinu

  15. PENGERTIAN DAN JENIS-JENIS DISTRIBUSI TEORETIS. 1.Pengertian Distribusi Teoretis. Distribusi teoretis atau distribusi probabilitas teoretis adalah suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan, atau distribusi yang frekuensinya diperoleh secara matematis (perhitungan).

  16. Contoh Distribusi Teoretis : Sebuah mata uang logam dengan permukaan I = A dan permukaan II = B dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoretisnya dan gambarkan grafiknya.

  17. Contoh Distribusi Teoretis : Penyelesaian: Dari pelemparantsb. akandiperolehruangsampeldengananggotasebanyak 8 (n = 8), yaitu: S = {AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BBA, BAB, BBB} Jika X merupakanjumlahmunculnyapermukaan I (A) maka; • Untuk AAA, didapat X = 3 • Untuk AAB, didapat X = 2 • Untuk ABA, didapat X = 2 • Untuk BAA, didapat X = 2 • Untuk ABB, didapat X = 1 • Untuk BBA, didapat X = 1 • Untuk BAB, didapat X = 1 • Untuk BBB, didapat X = 0 Dengandemikian: X = {0, 1, 2, 3}

  18. Contoh Distribusi Teoretis : Jika setiap nilai X dicari nilai probabilitasnya, maka distribusi teoritisnya adalah seperti tabel berikut: Tabel 2.2 Hasil Pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 3 kali Gambar 2.2 Grafik batang distribusi teoritis Pelemparan uang logam 3 kali

  19. 2. Jenis-Jenis Distribusi Teoretis • Berdasarkan bentuk variabelnya, distribusi teoretis dibedakan atas 2 jenis, yaitu : a. Distribusi Teoretis Diskrit. b. Distribusi Teoretis Kontinu.

  20. a. Distribusi Teoretis Diskrit. • Distribusi teoretis diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. • Contoh : Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak dimabil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil.

  21. a. Distribusi Teoretis Diskrit.

  22. a. Distribusi Teoretis Diskrit.

  23. Distribusi yang tergolong ke dalam distribusi teoretis diskrit antara lain : • Distribusi Binomial. • Distribusi Hipergeometrik • Distribusi Poisson.

  24. b. Distribusi Teoretis Kontinu • Distribusi Teoretis kontinu adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random kontinu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. • Distribusi probabilitas dari variabel random kontinu disebut juga densitas atau fungsi densitas (kepadatan) dari variabel random.

  25. b. Distribusi Teoretis Kontinu

  26. Distribusi yang tergolong distribusi teoretis kontinu, antara lain : • Distribusi Normal. • Distribusi X2 • Distribusi F • Distribusi t.

  27. Nilai Harapan dan Varians dari Variabel Acak Diskrit • Nilai Harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil ( outcome ).

  28. Nilai Harapan Variabel Acak Diskrit • E ( X )= x = xi.f (x) atau • E ( X )= x = (xi.P(x)) Dimana : Xi = nilai ke i dari variabel acak X P(xi) = probabilitas terjadinya xi

  29. Contoh : X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu. P(X) = probabilitas X = x. Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan.

  30. Varians dan Simpangan Baku Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu : Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2 Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x)  = Var (X)

  31. Nilai Harapan dari Fungsi Probabilitas Bersama. E[h(x,y) =  h(x,y) p(x,y) dimana : h(x,y) = sembarang fungsi dari X dan Y p(x,y) = probabilitas terjadinya X dan Y secara bersama-sama.

  32. Contoh :Apabila diketahui p(x,y) sebagai berikut : • Carilah nilai E (X+Y) • Carilah nilai E (X) + E (Y) • Carilah nilai E (XY)

  33. Kovarians • Kovarians adalah suatu pengukuran yang menyatakan variasi bersama dari dua variabel acak. • Kovarians antara 2 variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan xy dan didefinisikan sebagai berikut :

  34. Persamaan Kovarians Dimana : Xi = nilai variabel acak X ke i Yi = nilai variabel acak Y ke i p(xi,yi) = probabilitas terjadinya xi dan yi i = 1, 2, 3, …., n

  35. DISTRIBUSI BINOMIAL • Pengertian dan Ciri-ciri Distribusi Binomial. Distribusi Binomial adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen. Misal : Ya-tidak, Sukses-Gagal, Kepala-Ekor, Baik-Buruk.

  36. Ciri-ciri Distribusi Binomial • Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa. • Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah setiap percobaan. • Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi dalam percobaan lainnya. • Jumlah percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

  37. Contoh : Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban. Jika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut berspekulasi, maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah : - menjawab benar, P(B) = 1/5 - menjawab salah, P(S) = 1 – 1/5 = 4/5

  38. 2. Rumus Distribusi Binomiala. Rumus Binomial suatu peristiwa. Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. P(X = x) = b (x ; n, p ) = nCx . px . qn-x dimana : nCx =koefisien binomial x = banyaknya peristiwa sukses. n = banyaknya percobaan. p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 – p ( probabilitas peristiwa gagal)

  39. Contoh : Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut : a. Mata dadu 5 muncul 1 kali. b. Mata dadu genap muncul 2 kali. c. Mata dadu 2 dan 6 muncul 4 kali.

  40. b. Probabilitas Binomial Kumulatif. Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

  41. Contoh : Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas : a. paling banyak 2 orang lulus. b. yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang. c. paling sedikit 4 di antaranya lulus.

  42. 3. Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Binomial. • Rata-rata (  ) = n . p • Varians ( 2) = n . p . q • Simpangan Baku () =

  43. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK. • Pengertian Distribusi Hipergeometrik. Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan 2 kejadian yang berkomplemen, seperti distribusi binomial.

  44. Perbedaan Distribusi Binomial dan Distribusi Hipergeometrik, adalah : Perbedaan utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah : • Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian. • Pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.

  45. 2. Rumus Distribusi Hipergeometrik p(x)= probabilitas x sukses dalam n percobaan n = jumlah percobaan N = jumlah elemen dalam populasi r = jumlah elemen dalam populasi yang sukses

  46. Contoh: Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada sebuah universitas, diketahui bahwa dari 10 mahasiswa terdapat: 2 mahasiswa bergolongan darah A, 5 mahasiswa bergolongan darah B, 3 mahasiswa bergolongan darah O. Apabila diambil 5 orang mahasiswa, berapa probabilitas 1 orang bergolongan darah A, 2 orang B dan 2 orang O.

  47. DISTRIBUSI POISSON1. Pengertian Distribusi Poisson • Distribusi Poisson termasuk distribusi teoretis yang memakai variabel random diskrit. • Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X, yaitu banyaknya percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

  48. 2. Rumus Distribusi Poisson Dimana : • = rata-rata distribusi = 0, 1, 2, 3, …. e = konstanta 2, 71828

  49. 3. Rata-rata, Varians, dan Simpangan baku distribusi Poisson • Rata-rata: E(X) =  =  = n . p • Varians: E(X - )2 =  2 = n . P • Simpangan Baku :  =  n . p

More Related