Variabel acak & distribusi probabilitasnya

1. Variabelacak & distribusiprobabilitasnya

2. Variabel Random: adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan riil dengan setiap unsur didalam ruang sampel S. Untuk menyatakan variabel random digunakan sebuah huruf besar, misalkan X. Sedangkan huruf kecilnya, misalkan x, menunjukkan salah satu dari nilainya.

3. Contoh : • S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC} dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”. • Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

4. Variabel random diskrit: Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan disebutVariabel Random Diskrit.

5. Variabel random kontinu: Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik didalam sebuah segmen garis, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Kontinu, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Kontinu.

6. DistribusiProbabilitas : Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)

7. DistribusiProbabilitasDiskrit X (1) : • Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : - P(X = x) = f(x) - -

8. DistribusiProbabilitasDiskrit X (2) : Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

9. DistribusiProbabilitasDiskrit X (3) : Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X. Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

10. Contoh: • Sebuahpengiriman 8 mikrokomputer yang serupakesuatujaringaneceranberisi 3 yang cacat. Bilasuatusekolahmelakukansuatupembelianacak 2 darimikrokomputerini, • Carilahdistribusiprobabilitasuntukjumlah yang cacat. • Carilahdistribusikumulatifuntukjumlah yang cacat. • Denganmenggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28 • Hitungnilai rata-rata X.

11. Jawab (1): Rumusdistribusiprobabilitasadalah • Jadi, distribusiprobabilitasdari X adalah • Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan : • X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah = 0, 1, 2 • Sehingga dapat dihitung :

12. Jawab (2): • Distribusikumulatif F(x) adalah : F(0) = f(0) = 10/28 F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28 F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28 = 1 Sehingga : 1 , untuk x < 0 F(x) = 10/28 , untuk 0  x < 1 25/28 , untuk 1  x < 2 1 , untuk x  2

13. Jawab (3): • Denganmenggunakan F(x), maka f(2) = F(2) – F(1) = 1 – 25/28 = 3/28 • NilaiEkspektasi X adalah E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2) = (0). (10/28) + (1). (15/28) + (2). (3/28) = 21/28

14. DistribusiProbabilitasKontinu X (1): • Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :

15. DistribusiProbabilitasKontinu X (2): Distribusi kumulatif F(x)dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

16. DistribusiProbabilitasKontinu X (3): • Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X. • Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

17. Contoh: • Suatu variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1  x  4 • Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah kurva f sama dengan 1. • Hitunglah P(1,5 < x < 3) • Hitunglah P( x < 2,5) • Hitunglah P(x  3,0) • Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung P( x < 2,5) • Hitung nilai E(X)

18. Distribusi Binomial (DistribusiProbabilitasDiskrit) • Percobaan Bernoulli : Sifat-sifat sebagai berikut : • Percobaan itu terdiri dari n pengulangan • Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat diidentifikasi sukses atau gagal • Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p • Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

19. Distribusi Binomial • Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai : b(x,n,p)dimana x = 1, 2, …, n

20. Rata-rata danVariansiDistribusi Binomial : Rata-rata = Variansi =

21. Contoh • Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas : • Paling sedikit 10 orang yang selamat • Dari 3 sampai 8 orang yang selamat • Tepat 5 orang yang selamat • Hitung rata-rata dan variansinya

22. Distribusi Poisson(DistribusiProbabilitasDiskrit) • Percobaan Poisson : • Jikasuatupercobaanmenghasilkanvariabel random X yang menyatakanbanyak-nyasuksesdalamdaerahtertentuatauselama interval waktutertentu, percobaanitudisebutpercobaan Poisson.

23. Distribusi Poisson • Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. • Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi ,  adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

24. Rata-rata danVariansiDistribusi Poisson • Mean (rata-rata)dan variansidari distribusi Poisson adalah . Catatan : • Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. • Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan

25. Contoh • Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas : • Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7 kecelakaan • Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 kecelakaan • Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 kecelakaan

26. HubunganDistribusi Poisson denganDistribusi Binomial Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan  = np

27. Contoh Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

28.    x  Distribusi Normal(DistribusiProbabilitasKontinu) • Kurva Normal danVariabel Random Normal • Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal. • Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.

29. Sifat kurva normal, yaitu : • Kurvamencapaimaksimumpada • Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui • Kurva mempunyai titik belok pada • Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normal • Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x adalah 1

30. Distribusi Normal Variabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas

31. x  X1 X2 luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan :

32. Distribusi Normal Standar (1) • apabila variabel X ditransformasikan dengan • substitusi • maka : ternyata substitusi menyebabkan distribusi normal menjadi , yang disebut distribusi normal standar.

33. Distribusi Normal Standar (2): • Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar.

34. Contoh: • Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM adalah 55 kg dandeviasistandarnya 3.4 kg. Berapakahbanyaknyamahasiswa yang mempunyaiberat • kurangdari 53 kg • diantara 53 kg dan 57 kg • Bilanilaiujianstatistikamempunyai mean 74 dandeviasistandar 7.9, hitunglah • Nilai lulus terendah, bilamahasiswadengannilai 10% terendahmendapat E. • Nilai B tertinggi, bilaprobabilitasmahasiswadengannilai 5% tertinggi men-dapat A .