Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben

1. Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben Robert Geretschläger

2. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger • UK Mathematical Challenge • Australian Mathematics Competition (AMC) • Känguruwettbewerb • Australian Mathematics Olympiad • Brazilian Mathematical Olympiad • Slovenian Mathematical Olympiad • UK Math Olympiad • Mathematisches Duell Bílovec – Chorzów – Graz – Přerov • Nordic Mathematical Contest • American High School Mathematics Competition (AHSME)

3. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Drei Figuren X, Y und Z sind wie abgebildet gegeben. Ein A4 Blatt (297 mm mal 210 mm) wird einmal gefaltet und auf den Tisch gelegt. Welche dieser Figuren kann dabei entstehen? X Y Z

4. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Ein A4 Blatt (297 mm mal 210 mm) wird einmal gefaltet und auf den Tisch gelegt. Welche dieser Figuren kann dabei nicht entstehen? A) B) C) D) E)

5. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Im Bild sehen wir ein dreieckiges Stück Papier, das einmal gefaltet wurde. Das resultierende Objekt hat die Form eines Fünfecks. Nehmen wir nun an, ein Rechteck werde auf dieselbe Art gefaltet. Was ist der kleinste Wert von n (>4), für den es nicht möglich ist, auf diese Art ein n-seitiges Vieleck zu erzeugen?

6. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Einmal falten … Quadrat?

7. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Ein konvexes n-eck wird einmal gefaltet. Das Ergebnis ist ein konvexes Viereck. Welche Werte sind für n möglich?

8. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger • weitere Ideen: • Welche Figuren könne durch Falten regelmäßiger n-Ecke mit n = 3,5,6,8 erzeugt werden? • Nicht-konvexes Vieleck; kleinste Anzahl von Faltvorgängen, die ein Dreieck/Quadrat/Rechteck ergeben • Figuren entfalten – welche n-Ecke können sich aus einer gegebenen Figur ergeben?

9. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Ein quadratisches Blatt wird wie abgebildet zwei Mal so gefaltet, dass ein kleines Quadrat entsteht. Ein Eckpunkt des resultierenden Quadrats wird abgeschnitten und das Quadrat wieder entfaltet. Welche der folgenden Figuren kann auf diese Weise nicht entstehen?

10. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Ein Stück Papier in Gestalt eines regelmäßigen Sechsecks wird wie abgebildet zuerst einmal in der Mitte gefaltet und anschließend durch Falten gedrittelt. Es wird mit einem geraden Schnitt ein Stück des Papiers entfernt und das verbleibende Stück wieder entfaltet. Welche der folgenden Figuren kann auf diese Art entstehen?

11. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Ein quadratisches Blatt ABCD wird so gefaltet, dass der Eckpunkt A auf dem Mittelpunkt der Seite BC zu liegen kommt. Die entstehende Faltkante schneidet AB in X und CD in Y. Zeige, dass |AX| = 5 |DY| gilt.

12. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Ein Papierstreifen wird wie abgebidet drei Mal gefaltet. Bestimme b, wenn wir wissen, dass a = 70° gilt.

13. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Die Gerade r geht durch den Eckpunkt A eines rechteckigen Blatts und schließt den Winkel a mit der unteren Blattkante ein. Um a in drei gleiche Teile zu teieln, gehen wie wie folgt vor: Zunächst werden zwei Punkte B und C auf dem linken Blattrand so markiert, dass AB = BC gilt. Dann wird eine Strecke s durch B parallel zum unteren Blattrand markiert. Anschließend falten wir das Blatt so, dass C mit einem Punkt C’ auf r zu liegen kommt, und gleichzeitig A mit einem Punkt A’ auf s. Wir bezeichnen den Punkt, auf dem B zu liegen kommt mit B’. Zeige, dass AA’ und AB’ den Winkel a in drei gleiche Teile teilen.

14. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger

15. Faltaufgaben aus internationalen WettbewerbenRobert Geretschläger Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit Seiten der Länge 1. Der Eckpunkt A wird auf den Punkt D auf BC wie abgebildet gefaltet. Dabei entsteht die Faltkante EF mit E auf AB und F auf AC. Wir nehmen an, dass FD normal zu BC steht. a) Bestimme den Winkel AED. b) Bestimme die Länge der Strecke CD. c) Bestimme das Verhaltnis der Flächen AEF und ABC. a) AED = 90° b) |CD| = 2 - 3 c) [AEF]:[ABC] = (33 – 5):1

16. 1 Mal falten – 6 Aufgaben • Beweise, dass C‘D‘ eine Tangente des Kreises durch B und D mit Mittelpunkt in C ist. • Beweise, dass der Umfang des Dreiecks GAC‘ gleich dem halben Umfang von ABCD ist. • Beweise die Identität AG = C‘B + GD‘ • Beweise, dass die Summe der Umfänge der Dreiecke C‘BE und GD‘F gleich dem Umfang des Dreiecks GAC‘ ist. • Beweise, dass der Umfang des Dreiecks GD‘F gleich der Länge der Strecke AC‘ ist. • Beweise, dass der Inkreisradius von GAC‘ gleich der Länge der Strecke GD‘ ist. 1. More Mathematical Morsels; Ross Honsberger 2. VIII Nordic Mathematical Contest 1994 4. 37th Slowenische Mathematische Olympiade 1993 6. klassische Sangakuaufgabe

17. 1 Mal falten – 6 Aufgaben Aufgabe 1 Beweise, dass C‘D‘ eine Tangente des Kreises durch B und D mit Mittelpunkt in C ist.

18. 1 Mal falten – 6 Aufgaben Aufgabe 2 Beweise, dass der Umfang des Dreiecks GAC‘ gleich dem halben Umfang von ABCD ist. AC‘ + C‘G + GA = AC‘ + C‘P + GP + GA = AC‘ + C‘B + GD + GA = AB + DA

19. 1 Mal falten – 6 Aufgaben Aufgabe 3 Beweise die Identität AG = C‘B + GD‘ AC‘ + C‘G + GA = AB + C‘D‘ = AC‘ + C‘B + C‘G + GD‘  AG = C‘B + GD‘

20. 1 Mal falten – 6 Aufgaben Aufgabe 4 Beweise, dass die Summe der Umfänge der Dreiecke C‘BE und GD‘F gleich dem Umfang des Dreiecks GAC‘ ist. GAC‘ ~ C’BE ~ GD’F AG = C’B + GD’  AC’ = BE + D’F  C’G = EC’ + FG AG + AC’ + C’G = (C’B + BE + EC’) + (GD’ + D’F + FG)

21. 1 Mal falten – 6 Aufgaben Aufgabe 5 Beweise, dass der Umfang des Dreiecks GD‘F gleich der Länge der Strecke AC‘ ist. AC‘ = D‘P = D‘G + GP = D‘G + GD = D‘G + GF + FD = D‘G + GD + FD‘

22. 1 Mal falten – 6 Aufgaben Aufgabe 6 Beweise, dass der Inkreisradius von GAC‘ gleich der Länge der Strecke GD‘ ist. • C‘I = C‘III = x, GII = GIII = y, AI = AII = r • 2C‘D‘ = AC‘ + AG + GC‘ • = (r + x) + (r + y) + (x + y) • = 2(x + y + r) • 2(x + y + GD‘) = 2(x + y + r) • GD‘ = r

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