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Problemas Clásicos y Paradojas en la Teoría de Probabilidades

Problemas Clásicos y Paradojas en la Teoría de Probabilidades. El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C. menciona el juego de dados. La mitología griega atribuye su invención a Palamedes , para entretenimiento de los soldados durante el sitio de Troya, en el siglo X u XI A.C. OBJETO.

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Problemas Clásicos y Paradojas en la Teoría de Probabilidades

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Presentation Transcript

  1. Problemas Clásicos y Paradojas en laTeoría de Probabilidades

  2. El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C. menciona el juego de dados. La mitología griega atribuye su invención a Palamedes, para entretenimiento de los soldados durante el sitio de Troya, en el siglo X u XI A.C.

  3. OBJETO La teoría de probabilidad estudia los fenómenos llamados aleatorios (similares al juego de dados) en los que el conocimiento de las condiciones iniciales no permite predecir con exactitud la evolución y el resultado final del fenómeno. Sólo estudia aquellos fenómenos que pueden repetirse ilimitadamente en las mismas condiciones iniciales.

  4. LOS PIONEROS Galileo, Considerazionesoprailgiuocodeidadi, 1612 Pierre Fermat, correspondencia con Pascal, 1654 Blas Pascal, Traité du trianglearithmétique, 1654 Huygens, Libellus de ratiocinii in ludo aleae, 1656 Jakob Bernouilli, Arsconjectandi, 1705 y 1718 NikolauBernouilli, De usuartisconjectandi in jure, 1709 Pierre Rémond de Montmort, Essayd’analyse sur les jeux de hazard, 1708 y 1713 Abraham De Moivre, Doctrine of chances, 1718 P.S. Laplace,Théorieanalytique des probabilités, 1812

  5. Galileo (1564-1642) Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695) Newton_________________________________ 1642 1727 Leibniz______________________ 1646 1716 Jakob Bernouilli_________ 1654 1705 Johan Bernouilli__________________________ 1667 1748 Nikolaus I Bernouilli___________________ 1687 1759 Montmort________________ 1678 1719 De Moivre________________________________ 1667 1754 Laplace (1749-1827)

  6. ESPACIO MUESTRAL DE 2 DADOS A = {S = 5} = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }

  7. DEFINICIÓN CLÁSICA “Probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debe ocurrir con preferencia a los demás, lo que hace que todos sean, para nosotros, igualmente posibles.” Pierre-Simon Laplace, Essaiphilosophique sur les probabilités

  8. PROBLEMA DE GALILEOJuego del “pasadiez”

  9. CASOS FAVORABLES

  10. LAS PROBABILIDADES EN EL PROBLEMA DE GALILEO

  11. CHEVALIER DE MÈRÈ1607-1684 AntoineGombaud −Caballero de Mèrè− fue un escritor y matemático aficionado francés. Famoso por haber planteado a Blas Pascal dos problemas que dieron origen a la teoría de probabilidades.

  12. PROBLEMA I Probabilidad de obtener (al menos) un doble 6 en 24 lanzamientos de 2 dados Cálculo de deMèrè: p = 24(1/36) = 2/3 Cálculo de Pascal:

  13. Problema II (de los puntos) AAAA AABB BBBA AAAB ABAB BBAB AABA BAAB BABB ABAA BABA ABBB BAAA BBAA BBBB ABBA

  14. GENERALIZACIÓN: PROBABILIDADES DISTINTAS(DE MONTMORT, 1708) Problema de las coincidencias

  15. JEU DU TREIZE Fórmula de inclusiones y exclusiones

  16. Pierre Rémond de Montmort (1678-1719) En correspondencia y amistad con Nicolás Bernouilli y otras personalidades científicas de su época. Miembro de la Royal Society y de la Académie Royal des Sciences. Hizo reeditar la obra póstuma de Jacobo Bernouilli: ArsConjectandi(1713). Obra propia:Essayd’analyse sur les jeux de hazard (1708) Dueño del Château de Montmort.

  17. Regularidad EstadísticaEssaiphilosophique sur les probabilités(Laplace, 1814) • 2. Paris (1745-1784): 1. Londres, S.Petersburgo, Berlin, toda Francia:

  18. Ensayos de Bernouilli; Ley binomial,Jakob Bernouilli, sus investigaciones entre 1684 y 1689 Probabilidad de k éxitos en n ensayos independientes

  19. Experimento de W. F. R. Weldon26306 lanzamiento de 12 dadoscontando 5 o 6 como éxito(carta a Galton, 1894)Distribución teórica (ley binomial)

  20. Weldon’s dice experiment (26306 lanzamientos de doce dados) Número de Frecuencia Frecuencia Desvío éxitos observada teórica _______________________________________________________________ 0 185 203 -18 1 1149 1216 -67 2 3265 3345 -80 3 5475 5576 -101 4 6114 6273 -159 5 5194 5018 176 6 3067 2927 140 7 1331 1255 76 8 403 392 11 9 105 87 18 10 14 13 1 11 4 1 3 12 0 0 0

  21. ESPACIO MUESTRAL Cada evento A está representado por un conjunto de resultados posibles (el conjunto de los casos favorables al evento). El evento A ocurre si y sólo si el resultado e pertenece al conjunto A. No ocurre en caso contrario. Evento imposible: Ø Evento seguro: Ω

  22. PROBABILIDAD

  23. REGLAS BÁSICAS

  24. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROSJakob Bernouilli (1654-1705) Obra póstuma: ArsConjectandi, 1713

  25. El teorema de DeMoivre-Laplace

  26. PROBABILIDAD GEOMÉTRICA Ω F

  27. A Paradoja de Bertrand (1)

  28. Una cuerda se determina por su punto medio

  29. Paradoja de Bertrand (2)

  30. Paradoja de Bertrand (3)

  31. Elección de un punto al azar (con densidad uniforme) en el disco unitario |z| ≤ 1

  32. Joseph Louis Bertrand1822-1900 Ingeniero en Minas, matemático y economista francés profesor en la ÉcolePolytechniquey elCollège de France Obras Traitéélémentaire d’algebre,1851 Traité de calculdifferentiel et de calcul integral,1864-70 Théorie des Richesses … ,Journal des Savants, 1883 Thermodinamique, 1887 Leçons sur la théoriemathématique de l’électricité, 1890

  33. Paradoja de Monty Hall Uno de los gabinetes contiene Un automóvil

  34. p B2 A1 1/3 q B3 1/3 1 A2 B3 1/3 1 A3 B2 Diagrama de árbol

  35. Probabilidad de A2 dado B3

  36. Persistencia de la mala suerte

  37. Cálculo del valor medio E(N)

  38. OBJECIONES Si buscara el primer usuario que tardó menos que yo en recibir el servicio, hallaría el mismo resultado. Réplica: en nuestra memoria registramos más vivamente cuando nos va mal que cuando nos va bien. Cualquier otro cliente podría hacer el mismo razona-miento. Réplica: no es frecuente ponerse en el lugar del otro

  39. Joaquín María Bartrina Guarda bien esta máxima en tu mente, consuelo del mortal atribulado: no hay mal como el propio y el presente; no hay bien como el ajeno y el pasado.

  40. SUCESIONES DE DÍGITOS ALEATORIOSTESTS DE ALEATORIEDADPROBLEMA DEL COLECCIONISTA

  41. PROBLEMA DEL COLECCIONISTA Una colección C de n figuritas: Se realizan compras sucesivas hasta lograr la colección completa

  42. Probabilidad de que sea N = rValor medio de N

  43. Caso especial: n = 10 C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} E(N) = 10(1+1/2+1/3+ ··· +1/10) = 29.29 (aprox.)

  44. UN EXPERIMENTO CON DÍGITOS AL AZAR 04433 80674 24520 18222 10610 05794 37515 60298 47829 72648 37414 75755 04717 29899 67884 59651 67533 68123 17730 95862 08034 89512 32155 51906 61662 64130 16688 37275 …………………………………………………. N = 29, 22, 25, 32

  45. 29, 22, 25, 32, 32, 20, 35, 22, 30, 27, 36, 27, 21, 47, 31, 39, 39, 14, 25, 21, 40, 57, 39, 41, 30, 24, 17, 15, 29, 23, 24, 42, 27, 14, 17, 36, 36, 30, 21, 30, 47, 16, 17, 48, 23, 19, 17, 28, 20, 28

  46. Evolución del promedio

  47. Problema de los diez cazadores y las diez palomas Cazadores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Palomas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 94620 27963 Salvadas: 1, 5, 8

  48. Primer dígito significativo de un número N elegido al azar en un anuario demográfico o de producción agraria, industrial o minera

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