A Transformada de Fourier Discreta

1. A Transformada de Fourier Discreta • Existe uma correspondência entre sequências finitas e sequências periódicas • A Transformada de Fourier Discreta de uma sequência finita, corresponde à Transformada de Fourier da Sequência periódica obtida por repetição da sequência finita Transformada de Fourier Discreta (DFT) Série de Fourier (DFS) Transformada de Fourier (DTFT)

2. A Série de Fourier Discreta (DFS) Com:

3. A Série de Fourier Discreta (DFS) Série de Fourier Discreta Inversa Série de Fourier Discreta DFS – Discrete Fourier Series

4. Relações da Série de Fourier Transformada de Fourier do sinal periódico Relações entre a Série de Fourier Discreta e a Transformada de Fourier Temos ainda Transformada de Fourier do sinal finito Amostras do espectro do sinal

5. Propriedades da Série de Fourier Discreta

6. Propriedades da Série de Fourier Discreta

7. A Transformada de Fourier Discreta (DFT) vector Matriz (dois índices) DFT- Discrete Fourier Transform

8. A Transformada de Fourier Discreta (DFT) A DFT corresponde a representação de x[n] numa base diferente, sendo sempre possível recuperar o sinal original.

9. Convolução Periódica (circular) A convolução no tempo só corresponde a multiplicação na frequência para a DFS. Para a DFT temos de utilizar a convolução circular. • Convolução periódica • Convolução circular A convolução circular é comutativa.

10. Convolução Periódica (circular) DCT = DTFT Amostrada aliasing no tempo

11. Convolução Periódica Um atraso corresponde a rodar a sequência!

12. Goertzel Algorithm Notar que: x[n]=0 para n<0

13. A Transformada Rápida de Fourier (FFT) • Fast Fourier Transform (FFT) • É uma algoritmo computacionalmente eficiente para o cálculo da DFT Requer N^2 multiplicações DFT: N log2N multiplicações FFT

14. Principio Básico da FFT • A DFT de um vector de dimensão N pode ser calculada à custa de duas DFT de dimensão N/2

15. Grapho de uma FFT Butterfly FFT DFT x[n] X[k]

16. Efeito do Ruído de Quantificação (virgula fixa) • Cada valor é calculado através de N-1 Butterflys • Em cada Butterfly há um arredondamento (o erro é ~ b) Ruído no resultado (pior caso): (N-1)b Ruído no resultado assumindo sinais de ruído independentes: 1 Multiplicação Complexa = 4 Multiplicações reais

17. Efeito do Ruído de Quantificação • Para prevenir a saturação no pior caso do resultado devemos a componente real e complexa de x[n] menor que 1/N ou seja: Ou seja duplicar N implica perder um bit de relação sinal ruído Adicionando um escalamento de ½ às butterflys da FFT reduz a relação ruído sinal (N/S) para: Para processadores de virgula flutuante: Sinais de banda larga: 4N2-2B Sinais sinusoidais: 4 log2N 2-2B

18. 1ª divisão Xx0 (pares) Xx1 (impares) 2ª divisão X00 X10 X01 X11 3ª divisão 000 100 010 110 001 101 011 111 Ordenação de bits Invertidos Corresponde à ordenação tradicional mas com bits invertidos!! A reordenação pode ser efectuada “in place”

19. Outras Implementações • Decimação na frequência • Os coeficientes estão ordenados no tempo, e em ordem de bits invertidos na frequência! • Não necessita de Bit_reversed_addressing para implementar a convolução com a FFT. • Outras bases que não a dois! • Permite FFT de dimensão que não são potência de dois (sem extensão com zeros) • Pode conduzir a um menor ruído de quantificação • Implementações com ordem directa na entrada e na saída • Não permitem computação no local

20. Implementação • Blocos: corresponde ao cálculo de uma DFT de dimensão inferior Um loop externo para os diferentes estágios • Tamanho do bloco começa por ser dois e duplica para cada novo estádio. • Loop interno para diferentes blocos • Cálculo de half_block_size Butterflys • Os coeficientes das butterflys estão espaçados de half_block_size

21. Implementação da Convolução Linear com a FFT Série de Fourier Discreta convolução A convolução de uma sequência de dimensão L por uma de dimensão N resulta numa sequência de dimensão L+N-1

22. Implementação da Convolução Linear com a FFT • Pretendemos obter a convolução de x[n] com y[n], 0  n < N • Estende-se x[n] e y[n] com N zeros • xe[n] = [x[n], 0 ... 0], ye[n] = [y[n], 0 ... 0] • Efectua-se a convolução circular de xe[n] com ye [n] #(N+M-1) #N #M Aplicações: Overlap and Add e Overlap and Save

23. Implementação de filtros FIR, por blocos usando a FFT. Implementação de convolução de dois vectores de sinais (x[n] e h[n]) com um dos vectores (x[n]) muito maior que outro (h[n]). Solução: dividir x[n] em blocos: Overlap and SAVE Implementar a convolução circular de dois blocos do sinal de dados com a resposta ao impulso…. Overlap and ADD Implementar a convolução de um bloco do sinal de dados com a resposta ao impulso. Somar resultados de outros blocos. Overlap and SAVE / Overlap and ADD Desvantagem: atraso na saída

24. Overlap and Add Convolução linear implementada com a FFT convolução Add

25. Overlap and Save Convolução circular implementada com a FFT aliasing convolução Bloco errado Bloco correcto Save