Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée

1. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée - Historique - Les points fondamentaux - Applications monodimensionnelles - signaux temporels - fonctions de transfert - radiodiffusion, transmissions - sons - Applications multidimensionnelles - images - propagation d’ondes interférométrie, holographie - imagerie médicale - Tomographie X - Imagerie RMN J. Le Roux, leroux@polytech.unice.fr

2. 1768 (21 Mars) Naissance à Auxerre Famille modeste, très doué 1793 Comité Révolutionnaire 1794 Ecole Normale, Ecole Centrale (Polytechnique) 1798 Campagne d ’Egypte avec Bonaparte, Monge (excellent organisateur) 1801 Retour à Polytechnique 1802 Nommé préfet de l’Isère (Champollion) 1804-1807 commence (?) à travailler sur la propagation de la chaleur mal reçu par la communauté scientifique (n’a pas cité le travail de Jean Baptiste Biot...) 1810 Ouvrage : Description de l ’Egypte 1811 Prix (mitigé) pour son travail sur la propagation de la chaleur; le manuscrit n’est pas publié 1815 Préfet à Lyon, retour à Paris (évite Napoléon au retour de l’île d ’Elbe) 1817 Académie des sciences 1822 Secrétaire de l’Académie des sciences; Publication de la ‘théorie analytique de la chaleur’ 1830 (16 Mai ?) Décès à Paris J. Dhombes, J. B. Robert, Fourier, créateur de la physique-mathématique Ed. Belin, 1998 home.nordnet.fr/~ajuhel/Fourier/Fourier.html

3. Le problème étudié par J. B. Fourier • Résoudre une équation aux dérivées partielles : • trouver v(x,y) satisfaisant et des conditions aux limites • L’idée : décomposer la fonction en une somme de sinusoïdes (série de Fourier) • Comment trouver les ? Orthogonalité entre fonctions

4. Mathématiques un dépaysement soudain JP Bourguignon et al. Fondation Cartier Paris Oct. 2011

6. Les travaux qui s’en déduisent • Transformée de Fourier Laplace • Transformée Inverse • Extension aux signaux échantillonnés • 1965: Invention de la transformée de Fourier rapide • Cooley, Tukey, IBM • Extension aux signaux multidimensionnels (images, 3D,etc..)

7. LA propriété fondamentale Système linéaire invariant en temps Entrée Sortie Convolution Transformée de Fourier Une sinusoïde reste une sinusoïde de même fréquence, même si son amplitude et sa phase sont modifiées

8. Applications Signaux temporels (liste non exhaustive) • Equations différentielles et filtrage • Transmissions analogiques et numériques • Interprétation de l ’échantillonnage des signaux • en vue du traitement numérique • Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole • Analyse en fréquence des sons, de la musique (cf. cochlée) • MP3= analyse de Fourier + filtrage numérique • Identification des caractéristiques d’un système linéaire • par exemple suppression d ’échos, sismographie • signaux biologiques déformés • Nouveaux procédés de radiodiffusion et télédiffusion • numérique (OFDM) http://www.eskimo.com/~miyaguch/mp3info.html

9. 2 0.10 1 0.09 0.08 0 0.07 0.06 0.05 -1 0.04 0.03 0.02 -2 0.01 -3.14159 -1.57233 -0.00307 1.56620 3.13546 -2.35696 -0.78770 0.78157 2.35083 -1.57233 -0.00307 1.56620 3.13546 -2.35696 -0.78770 0.78157 2.35083 Filtrage, annulation d ’écho, etc ... : déformation linéaire par un canal de transmission Une composante sinusoïdale est amplifiée et déphasée différemment suivant la fréquence : trouver cette déformation et la compenser Atténuation Déphasage ( XR ) visut Fréquence Fréquence ( XPH ) visut ( XR ) visut

10. 1.2 0.8 0.4 -0.0 -0.4 -0.8 1.2 1.2 -1.2 0 8 16 24 32 0.8 0.8 1.2 1.2 1.2 1.2 8 8 8 8 0.4 0.4 0.8 0.8 0.8 0.8 0.4 0.4 0.4 0.4 -0.0 -0.0 5 5 5 5 -0.0 -0.0 -0.0 -0.0 -0.4 -0.4 -0.4 -0.4 -0.4 -0.4 2 2 2 2 -0.8 -0.8 -0.8 -0.8 -0.8 -0.8 -1.2 -1.2 -1.2 -1.2 -1.2 -1.2 30 30 80 80 130 130 -50 -50 -50 -50 0 0 0 0 8 8 8 8 0 0 0 0 16 16 16 16 50 50 50 50 24 24 24 24 100 100 100 100 32 32 32 32 1.2 0.8 8 0.4 5 -0.0 1.2 1.2 -0.4 0.8 0.8 2 1.2 -0.8 0.4 0.4 0.8 8 8 8 -1.2 -0.0 -0.0 8 -50 0 50 100 0 8 16 24 32 0.4 -0.4 -0.4 5 5 5 -0.0 5 -0.8 -0.8 -0.4 -1.2 -1.2 2 2 2 0 8 16 24 32 0 8 16 24 32 -0.8 2 -1.2 0 8 16 24 32 -50 0 50 100 -50 -50 0 0 50 50 100 100 -50 0 50 100 Modulation d ’amplitude = translation en fréquence exemple en communication numérique Bande de base modulation Addition, transmission ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( time time time time time time x1 y1 y2 x2 x1 ) ) ) ) ) ) YY1 YY1 XX1 YY2 XX2 ) ) ) ) ) frequence frequence frequence frequence ys frequence démodulation filtrage ( YYS ) ( time yrec2 ) frequence ( YYR1 ) frequence ( time yrec1 ) ( time yr2 ) ( time yr1 ) ( YYR1 ) ( ( YYRT2 YYR2 ) ) frequence frequence frequence ( YYRT1 ) frequence fréquence fréquence temps temps

11. 1 1 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0 0 0.1 0.1 -0.0 -0.0 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -1 -1 -256 -256 100 100 -128 -128 700 700 0 0 1300 1300 128 128 1900 1900 256 256 Interprétation de l’échantillonnage Echantillonner un signal au pas c’est périodiser sa transformée de Fourier Pour un échantillonnage correct, pas de composantes fréquentielles pour ( time x2 ) Reconstruire le signal , c’est éliminer les hautes fréquences par filtrage passe bas ( ( ( ( ( time x1 y x ) ) ) ) ) nfreq visY absct absct nfreq visX

12. 0.5 -0.0 -0.5 0.07 0.07 200 600 1000 0.05 0.05 0.03 0.03 0.01 0.01 0.0 0.0 5.2 5.2 10.4 10.4 15.6 15.6 20.8 20.8 26.0 26.0 31.2 31.2 36.4 36.4 41.6 41.6 46.8 46.8 52.0 52.0 57.2 57.2 62.4 62.4 0.5 -0.0 -0.5 600 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800 Analyse de l ’amplitude des composantes d ’un signal vocal Signal temporel Représentation en fréquence harmoniques (composantes aux fréquences multiples de la fondamentale) t Unité=125 ms 0Hz 4000Hz 8000Hz Fondamentale à 129 Hz t Unité=125 ms

13. Données pour la reconnaissance de parole : mesure de l’énergie dans une vingtaine de bandes de fréquences (échelle mél) 0 20 000 Hz

14. Tableau montrant pour quelles notes de la gamme à 12 demi-tons, les harmoniques sont elles aussi des notes de la gamme (à peu près) : la H5 du fa est le la (H3 du ré) : accord mineur ? accord majeur = harmoniques 3 et 5 (ré fa la) ré fa# la do 5 3 5 si la sol fa# fa mi ré do si do do ré mi fa sol la http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/music.pdf

15. fréquence harmonique 8 temps notes jouées par un violon http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spectrogram_of_violin.png

16. Représentation de l ’intensité d ’un signal (gris ou couleur) en fonction du temps et de la fréquence (spectrogramme) Freq.(8kHz) Temps (1s) Freq. temps

17. Représentation temps fréquence: cri de chauve-souris (ultrasons) fréquence temps

18. effet doppler : le mouvement modifie la fréquence observée échographie doppler circulation sanguine cosmologie Riess, Press & Kirshner (1996), Astrophysical Journal 473, 88

19. Quelques applications de la transformée de Fourier discrète Codage MP3 Décomposition du signal en différentes bandes de fréquences (filtrage numérique et transformée de Fourier discrète) et prise en compte de phénomènes psycho-acoustiques: suppression ou codage moins fin des composantes fréquentielles moins utiles Diffusion numérique radio télé : OFDM, wifi Codes correcteurs d’erreurs de Reed Solomon (transmissions numériques, téléphone mobile, CD…) a : générateur d ’un corps de Galois (corps fini)

20. Principe du codage MP3 Filtrage des signaux dans différentes bandes de fréquences T. Cos et codage T. Cos et codage Emission des données T. Cos et codage T. Cos et codage T. Cos et codage Sélection des canaux utiles (effet de masquage 1er codage T. Fourier

21. Rôle fondamental de la fréquence en mécanique quantique Les relations de Planck-Einstein établissent un lien entre la fréquence d'une onde lumineuse plane, et l'énergie des photons associés à cette onde : h  constante de Planck,        fréquence de l'onde

22. Informatique Quantique : implémentation de transformées unitaires transformer une fonction de probabilité p(x) associée aux données x à traiter afin de faire apparaître une deuxième fonction de probabilité présentant des pics prononcés mettant en évidence la solution du problème |0> H |0> H |u> U U Cryptographie, Casser le code RSA : algorithme de Shor Trouver les facteurs premiers d’un nombre Ramené à la recherche de la périodicité d’une fonction : Dans le domaine des fréquences Harmoniques d ’une fréquence fondamentale Mise en évidence de pics régulièrement espacés dans la transformée de Fourier (c ’est une transformée unitaire)

23. http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/ La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256 http://www.nicolet.com/labsys/

24. Interférométrie et spectroscopie

25. http://www.phys.umontreal.ca/plasma/ftir/ La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256

26. http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdfhttp://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf D. A. Naylor et al « Mach-Zehnder Fourier transform spectrometer for astronomical spectroscopy at submillimeter wavelengths » . http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf http://www.uleth.ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS.pdf

27. Résultat de l ’analyse spectrale d ’un signal RMN (résonance magnétique nucléaire) pour une molécule d ’alcool éthylique

28. détection d’exo planètes par mesure de variation de la vitesse radiale d’une étoile (effet doppler : variation de longueur d’onde de la lumière en fonction de la vitesse) : recherche d’un signal périodique en présence d’un bruit de mesure très important effet doppler, décalage vers le rouge, expansion de l’univers

29. Recherche de traces de vie extraterrestre corrélation de deux analyses spectrales mouvement périodique de planète Interférométrie et spectroscopie (effet doppler)

31. Infrared spectroscopy for food quality analysis and control  Par Da-Wen Sun

32. Fonctions multidimensionnelles (images) (Optique de Fourier) Traitement d’images Propagation d’ondes, interférométrie Tomographie par rayons x Imagerie par résonance magnétique nucléaire Cristallographie, analyse des structures moléculaires

33. sinusoïde bidimensionnelle caractérisée par sa direction et la période des oscillations dans cette direction

34. Traitement d ’antennes : Retrouver par un réseau de capteurs (antenne) la direction de propagation des ondes sonores ou électromagnétiques

35. Traitement d ’images par exemple franges de Fraunhofer, disque d ’airy Convolution de l ’image avec la transformée de Fourier de l ’ouverture du télescope Produit dans le domaine des fréquences Convolution dans le domaine spatial coupe

36. Quelques exemples de traitement (Amplification des hautes fréquences c ’est à dire des variations rapides) • Correction d’effet de flou, de bougé • Mise en évidence des contours • Codage d’images JPEG et MPEG • (une variante de la transformée de Fourier, la transformée en cosinus) • + élimination ou codage plus sommaire des hautes fréquences

37. Filtrage des bruits ( par exemple lorsque le signal intéressant est dans les basses fréquences)

38. FILTRAGE PASSE BAS (FLOU)

39. FILTRAGE PASSE HAUT (CONTOURS)

40. Transformée en cosinus et réduction de débit en transmission d ’images JPEG MPEG

41. Étude des équations aux dérivées partielles Chebyshev and Fourier Spectral Methods John P. Boyd University of Michigan Décomposition des fonctions étudiées sur une base, par exemple des sinusoïdes multidimensionnelles ; Trouver l’amplitude de chaque composante afin d’approcher au mieux la solution de l’équation

42. Electromagnétisme, optique ondulatoire l ’onde transmise ‘porte’ la transformée 2D de la source (équations de Maxwell) (Analyse des appareils d ’optique p.ex. lentilles, optique de Fourier) Application en interférométrie et en holographie (mécanique quantique)

43. Holographie = Enregistrement des interférences formalisation liée à celle de la transformée de Fourier (propagation des ondes lumineuses)

44. enregistrement des franges d’interférence éclairage de l’hologramme l’observateur, en regardant les franges voit « l’objet » http://fr.wikipedia.org/wiki/Holographie

45. Interférométrie en imagerie astronomique Antoine Labeyrie au plateau de Calern Télescopes de l ’ESO à La Silla au Chili Limitation du diamètre faire interférer les signaux provenant de deux télescopes distance = fréquence = w Mesure de l ’amplitude et de la phase des interférences F(w) Déplacement des télescopes: Modification de w Transformée de Fourier inverse f(x) Problème : turbulence atmosphérique

46. http://fr.wikipedia.org/wiki/Very_Large_Telescope#Interf.C3.A9rom.C3.A9trie_optiquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Very_Large_Telescope#Interf.C3.A9rom.C3.A9trie_optique

47. surface de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse Observatoire de Paris (LESIA) interféromètre IOTA (Arizona) http://www.techno-science.net/?onglet=news&news=7401

48. Cristallographie Un motif de diffraction des rayons X par un cristal est une photographie du module de la transformée de Fourier de la distribution de la densité des électrons dans le cristal; on retrouve des informations sur la structure du cristal en effectuant une transformée inverse

49. Transformée de Fourier http://www.afmb.univ-mrs.fr/IMG/pdf/introduction-cristallo.pdf

50. élément pour l’étude de la structure des protéines