RING

1. RING (GELANGGANG)

2. TUJUAN • Mahasiswa akan dapat memberikan contoh ring, subring dan homomorfisma ring

3. Cakupan • Ring • Ring komutatif • Ring dengan unsur kesatuan • Ring Tanpa Pembagi Nol • Ring Dengan Pembagi Nol • Karakteristik Ring • Subring • Homomorfisma Ring

4. DEFINISI • Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner “+” dan “”, (R,+,), disebut RING, jika: • (R,+) grup komutatif • (R,) semigrup • Berlaku distributif kiri dan kanan • a(b+c) = ab + ac • (a+b)c = ac + bc,  a,b,c  R

5. Beberapa Definisi • Suatu Ring (R,+,) disebut ring komutatif jika operasi “” bersifat komutatif. • Suatu Ring (R,+,) disebut ring dengan unkes jika (R,) semigrup dengan unkes (monoid). • Ring disebut ring tanpa pembagi nol (RTPN) bila berlaku “jika a0 dan b0 maka ab0”. • Ring disebut ring dengan pembagi nol (RDPN), jika “ada a0 dan b0, tetapi ab=0”. • Ring (R,+,) dikatakan berkarakteristik n, jika ada bil.bulat terkecil n, sehingga na = 0, untuks setiap aR (0 = unkes aditif). • Ring (R,+,) dikatakan berkarakteristik tak hingga atau nol, jika tidak ada bilangan bulat n yang tersebut di atas.

6. Contoh: Periksa apakah ring/bukan, Bila ring, periksa komutatif/bukan, ada unkes/tidak, RTPN/RDPN, cari karakteristiknya • (Z,+,), (Q,+,), (Q+,+,), (R,+,), (C,+,) • Himpunan bil. Genap bulat dengan operasi + dan . • Himpunan bil. Riil berbentuk m+n2, di mana m dan n adalah bilangan rasional; operasi + dan . • Kumpulan bilangan bulat Gaussian berbentuk a+i.b, di mana a dan b bilangan bulat; operasi + dan .

7. SUB-RING • Definisi: (R,+,) ring. Jika S  R, S  , (S, +, ) sendiri merupakan ring, maka S disebut subring dari R. • Subring trivial (tak sejati) adalah R dan {0}; selain itu disebut subring sejati. • Syarat perlu dan cukup agar subset tak kosong S merupakan subring dari R adalah: “untuk setiap a,bS berlaku (ab)  S dan (ab)  S. • Irisan dua subring adalah subring lagi.

8. Contoh: 1. (Z,+,) ring. Bagaimana (2Z,+,)? • (Z,+,) ring. Bagaimana dengan himp bilangan cacah dengan operasi-operasi yang sama? Bagaimana dengan himp bilangan asli? • (C,+,) ring. Bagaimana dengan (R,+,)?

9. HOMOMORFISMA RING • (R,+,) dan (R’,,) adalah ring-ring. Jika ada pemetaan f:RR’ yang bersifat • f(a+b)=f(a)f(b) dan f(ab)=f(a)f(b), a,bR maka dikatakan f adalah homomorfisma dari R ke R’. • Jika f bersifat 1-1 dan onto, dikatakan R isomorf dengan R’, ditulis RR’. • Isomorfisma dari R ke R sendiri disebut automorfisma.

10. Sifat-sifat Homomorfisma Ring • Bila 0=unkes aditif di R, 0’=unkes aditif di R’, maka f(0) =0’. • Bila 1=unkes multiplikatif di R, 1’=unkes multiplikatif di R’, maka f(1) =1’. • Jika f homomorfis, maka f(x) = f(x). • Peta homomorf dari R merupakan subring dari R’.

11. Beberapa ContohPeriksa homomorf/bukan dan bila homomorf, tentukan jenisnya • f:Z2Z yang didefinisikan f(x) = 2x; operasi + dan x. • R={m+n2, m,n bulat} dengan operasi + dan x. Pemetaan f:RR sbb f(a+b2)=ab2. • R={a,b,c,d} dengan + dan . R’={p,q,r,s} dengan  dan . Pemetaan f(a)=r, f(b)=q, f(c)=s, f(d)=p.

12. Penutup • Ring: himpunan A dengan dua operasi + dan x, sehingga (A,+) grup Abelian, (A,x) semigrup, operasi x distributif terhadap + • Ring komutatif: jika operasi x komutatif • Ring dengan unsur kesatuan: jika operasi x punya unkes • Ring Tanpa Pembagi Nol: tidak ada dua elemen tak nol yang produknya =0 • Ring Dengan Pembagi Nol: ada dua elemen tak nol yang produknya = 0 • Karakteristik Ring: bilangan n, sehingga n.a = 0 • Subring: bagian dari ring yang juga merupakan ring • Homomorfisma Ring: homomorfis antara dua ring