1 / 28

Ring dan Ring Bagian

Ring dan Ring Bagian. Sistem bilangan yang telah dikenal seperti bilangan bulat , bilangan rasional dan bilangan kompleks mempunyai dua operasi yang didefinisikan padanya yaitu penjumlahan dan pergandaan .

radwan
Download Presentation

Ring dan Ring Bagian

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Ring dan Ring Bagian

  2. Sistembilangan yang telahdikenalsepertibilanganbulat, bilanganrasionaldanbilangankompleksmempunyaiduaoperasi yang didefinisikanpadanyayaitupenjumlahandanpergandaan. • Di bawahoperasipergandaanhimpunanbilangan-bilangantersebutdiatasmerupakangrupabelian. • Sistemaljabardenganduaoperasisepertidiatastermasukdalamsistemaljabar yang dinamakanring.

  3. RING • Ring adalahsistemaljabar yang terdiridarihimpunananggotaAdenganduaoperasiyaitupenjumlahan (+) danpenggandaan (.) danmemenuhihukum-hukum. < A , +> grupabelianterhadapoperasipenggandaan (a) hukumtertutup : jikaa, bdalamAmakaabdalamA. (b) hukumassosiatif : (ab)c = a(bc) untuksemuaa, bdancdalamA. (c) hukumdistributifkanan : a(b + c) = ab + acuntuksemuaa, bdancdalamA. (d) hukumdistributifkiri : (a + b)c = ac + bcuntuksemuaa, bdancdalamA.

  4. Contoh XI.1 • DapatdibuktikanbahwahimpunanA yang terdiridari 2 elemenyaitu { 0, a } denganoperasi yang didefinisikandengan 0 + 0 = a + a = 0 0 + a = a + 0 = a 0 0 = 0 a = a 0 = 0 aa = a merupakan ring. Sebagaicontohnyata Z2 = { 0, 1 } denganoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 2 merupakanhimpunan yang mempunyaisifattersebut.

  5. Contoh XI.2 • DapatdibuktikanbahwahimpunanA yang terdiridari 2 elemenyaitu { 0, a } denganoperasi yang didefinisikandengan 0 + 0 = a + a = 0 0 + a = a + 0 = a 0 0 = 0 a = a 0 = aa = 0 merupakan ring. Dalamhalini, himpunanA = { 0, 2 } denganoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 4 merupakanhimpunan yang mempunyaisifattersebut.

  6. Contoh XI.3 • DapatdibuktikandenganmudahbahwahimpunanbilanganbulatZ, himpunanbilangan real R, himpunanbilanganrasionalQdanhimpunanbilangankompleksCmerupakan ring terhadapoperasipenjumlahandanperkalianaritmatika.

  7. Teorema XI.1 DiketahuiAsebarang ring dana, b, csebaranganggotaA. Sifat-sifatberikutiniberlaku : 0 . a = a . 0 = 0 (-a) b = a (-b) = - (ab) - (-b) = b (-a) (-b) = ab a(b – c) = ab – ac (a – b)c = ac – ab

  8. Dalammempelajarisebarangtipealjabarselaludigunakancara yang umumuntukpenelaahannya. • Setelahdiberikandefinisidasarcontoh-contoh yang berkenaandenganistilahbarujugaditelititentangsistembagian, sifat-sifatdasar, sistemlebihbesar yang mengandungsistembagian yang lebihkecil, hormomorfismayaitufungsiantaraduasistemsehinggamengawetkanoperasidansistemsepertiG/S yang diturunkandarisistimasalGdenganmembentukkoset. • Penelaahanselanjutnyabiasanyaditunjukkanuntuksifat-sifat yang lebihkhususdarisistemaljabartersebut.

  9. RING BAGIAN • Dalamcontohterdahulutelahdikenalbahwa ring Zterkandungdalam ring Qdan ring RterkandungdalamC. • Dalamhalinidapatdilihatbahwaoperasidari ring yang lebihkeciladalahoperasidari ring yang lebihbesardandibatasipada ring yang lebihkecil. • Sebagaicontohdalam ring Coperasipergandaandidefinisikansebagai (a + bi ) ( c + di ) = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i sedangkanoperasiitudibatasipadaRberartioperasi yang samadenganpembatasanpadaRsehinggaberbentuk ( a + 0 i ) ( c + 0 i ) dandidapat (a + 0 i ) ( c + 0 i ) = ( ac – 0 . 0 ) + ( a. 0 + 0 . c ) i = ac + 0i yang bernilaisamadenganac.

  10. Definisi XI.2 • MisalkanShimpunanbagiandariA. • HimpunanSdinamakanring bagiandariAjikamemenuhi (1) S ring (2) OperasipenjumlahandanpergandaandariSadalahoperasipenjumlahandanpergandaandariA yang dibatasipadaS. Definisitersebuttidakefisienuntukmengecekapakahsuatuhimpunanbagiandari ring Amerupakan ring bagiandariAsehinggadiperlukanteoremaberikutini.

  11. Teorema XI.2 • DiketahuiShimpunanbagiandari ring A. • HimpunanSmerupakan ring bagiandariAjikadanhanyajikaStertutupterhadappergandaandantertutupterhadappengurangan.

  12. Contoh XI.3 • HimpunanbilangangenapEmembentuk ring bagiandarihimpunanbulanganbulat Z. Bukti : • E = { 2 k | k Z } jelashimpunan yang tidakkosong. TinggaldibuktikanbahwaEtertutupterhadapoperasipergandaandanpengurangan. • Tertutupterhadapoperasipergandaan. • Hasil kali (2m)(2n) = 2(m.2n) denganm.2nbilanganbulatsehinggadenganmenggunakanhukumassosiatifpergandaanmakahasilkalinyamasihdalamE. • Tertutupterhadappengurangan. • Karena (2m)-(2n) = 2(m.2n) danm-nbilanganbulat (Z tertutupterhadapoperasipengurangan) sehinggadalam E.

  13. Contoh XI.4 • BiladidefinisikanQ(√2 ) = { a + b √2 │a, bdalamQ } makaakandibuktikanbahwaQ(√2 ) merupakan ring bagiandariR. • KarenaQhimpunan yang tidakkosongmakajelasbahwaQ(√2 ) jugahimpunan yang tidakkosong. • Terhadapoperasipergandaanbersifat • ( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2 bd ) + ( ad + bc ) √2 • danterhadapoperasipenguranganbersifat • ( a + b √2 ) – ( c + d √2 ) = ( a – c ) + ( b – d ) √2 . • Karenaac + 2bd, ad + bc, a – cdana – dtetapdalamQmakahasilpergandaandanhasilpengurangannyatetapdalamQ (√2 ). • OlehkarenaituQ(√2 ) merupakan ring bagiandariR.

  14. Contoh XI.5 • DiketahuiA ring danbanggotatertentudariA. • JikadidefinisikanCb = { xdalamA│bx = xb } makaakandibuktikanCbring bagiandariA. • HimpunanCbtidakkosongkarenabkomutatifdengandirinyasendiri. • Misalkanx, ydalamC. • Karena ( xy )b = x ( yb ) = x ( by ) = ( xb ) y = ( bx ) y = b ( xy ) danjuga • ( x – y )b = xb – yb = bx – by = b ( x – y ) • makaberartixydanx – ykomutatifdenganbsehinggamerupakananggotaC. • OlehkarenaituCbtertutupterhadapoperasipenjumlahandanoperasipergandaandanakibatnyaCbring bagiandariA.▀

  15. Soal XI.1 • ApabilaAmerupakan ring bagiandari ring B, sedangkanBmempunyaielemensatuan, apakahAjugaharusmempunyaielemensatuan? Berikancontoh. Jawab • Tidakperlu ring bagianAmempunyaielemensatuan. SebagaicontohAadalahhimpunanbilangangenap yang merupakan ring bagiandarihimpunanbilanganbulatB. HimpunanAtidakmempunyaielemensatuansedangkanelemensatuandalamBadalah 1 .

  16. Macam – macam Ring • Sepertidalamteorigrup, sifat – sifatdasardari ring dapatdigunakanuntukmengklasifikasikan ring dengantujuanuntukmembedakanantara ring – ring yang tidakisomorfisdenganmenunjukkanperbedaansifat – sifatnya. • Tujuanlainnyaadalahuntukmengurutkan ring - ring kedalamkelas - kelas yang anggotanyamempunyaisifat – sifat yang mengijinkantipetertentudarisuatumasalahdapatterselesaikan. • Sebagaicontoh, kelas ring apa yang selaludapatmencaripenyelesaianpersamaanax + b = 0 dengana, bdalamAdenganpenyelesaiannyadalamA ? • Untukkelas ring apa yang setiapanggotanyadapatdifaktorkansecaratunggal ?

  17. Definisi XI.4 • (1) Ring Adinamakanring komutatifjikaab = bauntuksemuaa, bdalamA. • (2) Ring Adinamakan ring dengananggotasatuan ( unity) jikaAmengandungidentitasterhadappergandaan. • (3) Ring Adinamakandaerah integral (integral domain) jikaA ring komutatifdengananggotasatuandantidakmempunyaipembagi nol. • (4) Ring Adinamakan field jikaA ring komutatifdansetiapangota yang tidaknolmempunyaiinvers.

  18. latihan • Himpunan { 0, 6 } tertutupdibawahoperasipergandaantetapibukan ring bagiandari Z10. • Jelaskanmengapa Z6 bukan ring bagiandariZ12 . • BuktikanbahwaZ [ √5 ] = { a + b √5 │a , bdalamZ } merupakan sub ring dariR. • BuktikanbahwaZ [√-1 ] = z [ i ] = { a + bi │a , bdalamZ } merupakan ring bagiandariC. • JikaadalamZnmakabuktikanbahwahimpunan (a) ring bagiandariZndanbukanhanyabagiansiklikdariZn. • DiketahuiA ring danbanggotatertentudariA. DidefinisikanNb= { xdalamA│xb = 0 }. BuktikanbahwaN bmerupakan ring bagiandariA. ( Nbdinamakan annihilator kiridariA ).

More Related