1 / 35

Ćwiczenie IV. „Sumowanie do nieskończoności” - całki i ich zastosowania

Ćwiczenie IV. „Sumowanie do nieskończoności” - całki i ich zastosowania. Strona internetowa ćwiczeń : http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112

rasha
Download Presentation

Ćwiczenie IV. „Sumowanie do nieskończoności” - całki i ich zastosowania

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Ćwiczenie IV. „Sumowanie do nieskończoności” - całki i ich zastosowania • Strona internetowa ćwiczeń: http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112 Większość czynności/operacji matematycznych ma czynności/operacje odwrotne – „odwracające” wynik. Czynnością odwrotną w stosunku do różniczkowania (znajdowania pochodnej) jest „antypochodna”, czyli całka nieoznaczona pochodnej f(x), czyli: F(x) =  f(x)dx . (niżej – „c”, „C” – stała całkowania! b. ważne!)Jest to czynność odwracająca wynik różniczkowania. Z definicji tej, można bezpośrednio wyprowadzić niektóre równania na całki nieoz-naczone, np.: dx = x + c, xndx = xn+1/(n + 1) + c,eaxdx = eax/a + c, 0dx = c, xdx = 2/3x3 + c,sin(x)dx = -cos(x) + c, cos(x)dx = sin(x) + c, tan(x)dx = -ln|cos(x)| + c, ctg(x)dx = ln|sin(x)| + c .Podstawowe prawa całkowania:Całka z iloczynu funkcji przez stałą: a.f(x)dx=a.f(x)d(x), gdzie aR;Całka z sumy (różnicy) funkcji: [f(x)  g(x)] = f(x)dx g(x)dx .Różniczkowanie: proste – całkowanie – nie. Pomocne w całkowaniu bywają programy komputerowe, ale też nie zawsze. Ważną metodą całkowania jest całkowanie przez części; jej podstawą jest wzór na pochodną iloczynu: d(uv)/dx = u(x)dv/dx + v(x)du/dx . Całkowanie obu stron daje:

  2. d(uv)/dx = u(x)dv + v(x)duu(x)v(x) = u(x)dv + v(x)du; najczęściej jest to zapisywane następująco:udv = uv –vdu . Ozn. to, że nawet wtedy, gdy nie możemy scałkowaćbezpośrednio, ale możemy wyrażenie przekształcić w iloczyn (nawetuwzględniający mnożenie przez 1) – możemy spróbować scałkować II-gi czynnik iloczynu. Przykład: całkowanie funkcji y = ln(x); w tym celu definiujemy 2 nowe funkcje: u = ln(x) i v = x. Dlatego: y = u i dv = dx. Ponadto: du/dx = 1/x lub du = (1/x)dx; teraz można scałkować:ln(x)dx =udv = uv – vdu = xln(x) – x(1/x)dx = xln(x) – x + cTaki sam wynik – przy użyciu programów typu Mathematica czy wxMa-xima. Należy wtedy pamiętać, że: programy nie dodają stałej „c” („C”), poza tym logarytmy naturalne są tam domyślne i „jedyne” [log(x)=ln(x)].Całkowanie y=x.ex: – przyjmujemy: u = x – to daje du = dx. Zakładamy też, że v = ex , co daje: dv = exdx. Wtedy:xexdx = udv =xex – exdx = xex – ex + c. Inny problem: zmiany wielkości populacji komórek bakterii w hodow-li, w zależności od czasu. Wielkość zmiany jest a do liczby obecnych komórek bakterii (10000 kom. wytwarza 10000 nowych kom., 1000000 – 1000000 nowych, etc.). Dlatego Nt+1 = rNt. Populacja wzrasta propor-cjonalnie do wyjściowej wielkości populacji. Proces ten można modelo-wać za pomocą równania różnicowego lub różniczkowego w formie: lub .

  3. Jaka jest całkowita liczba komórek bakterii po upływie czasu b? W ce-lu obliczenia całkowitej liczby bakterii Ntotal, należy najpierw rozwią-zać tzw. równanie różniczkowe: Mnożymy obydwie strony przez dt, dzielimy przez N(t) i całku- jemy.: Wiadomo, że: d[ln(x)]/dx = 1/x. Pochodna rt = r. Po rozwiąza- niu: ln(N) + c1 = rt + c2,N = Cert, C zawiera obie stałe całkowania. Czym jest C? Jeżeli przyrównamy je do 0, to uzyskamy: N0 = C, co prowadzi do:N = N0ert. Rys. obok (dolny) zawiera wyk- res zależności Nt od czasu (t) od t = a (punkt początkowy) do czasu b. W czasiet0, liczba bakterii wynosiła N0 = c, a po upływie pewnego czasu Dt, liczba ta wynosiła oczywiście: N1 = c + f(t0) + f(t1) = f(t0) + f(t0 + Dt). Po upływie 2 odstępów czasu, liczba ta będzie równa:N1 = c + f(t0) + f(t1) + f(t2) = f(t0) + f(t0 + Dt) + f(t0 + 2Dt). Jeżeli podzie-limy cały zakres czasu od a do b na n małych zakresów czasu Dx, to całkowita liczba bakterii będzie:

  4. Jest to przedstawione na rys. obok: powierzchnia pod wykresem funk-cji, jest sumą wszystkich składników. Mając na uwadze, że całka nieo- znaczona, to: F(x) = f(x)dx, czyli: lub: F(x + Dx) – F(x)  f(x)Dx Wprowadzamy tę zależność do równaniana Ntotal i uzyskujemy:Na powyższym rysun-ku oznaczamy prze-działy czasowe jako:1, 2, 3, 4,...... i weryfikujemy ostatnie równanie:Ntotal= F(2) – F(1) + F(3) – F(2) + F(4) – F(3)... + ...F(n)–F(n–1) = F(n) – F(1). W ten sposób możemy zredukować całą sumę do tylko 2 składników: I-szego i ostatniego. Ntotal= F(b) – F(a) =f(b)dx – f(a)dx. Powierzchnia pod krzywą pomiędzy x=a a x=b, jest równa różnicy całek: F(b) – F(a), co można też zapisać: Jest to całka oznaczona od a do b.

  5. Znak całkowania, oznacza faktycznie sumowanie bardzo małych warto-ści dx; historycznie pochodzi od wydłużonego S, co oznacza sumę. Można więc zapisać: Całkowitaliczba bakterii jest całką ww.funkcji akumulacjiich liczbyw granicach od ado b. Dlate-go można też zapisać: Jest to całkowita liczba komórek bakterii, wytworzona od czasu „a” do czasu „b”. W wielu przypadkach, skomplikowane całki nie mają dokładnych roz-wiązań, a wyliczające je programy komputerowe podają ich przybliże-nia. Jednym z najczęściej spotykanych przybliżeń, jest tzw. funkcja błędu („error function”). Funkcje błędu spotykane są często, gdy próbu-jemy całkować funkcje o następującej postaci ogólnej: y = f(x)e–g(x)^2. Np.: y = axne–bx^2dx . Przy użyciu programu Mathematica, można uzys-kać następujące rozwiązanie: Wyrażenie to można uprościć: Log (e)= 1 (tu są ln!), a następnie znaleźć ogólne rozwiązanie dla funkcji błędu. Po uproszczeniu:Czym jest Erf(b1/2)? Funkcję błędu można zdefi-niować w różny sposób (nast. przeźrocze):

  6. 2 warianty funkcji błędu na wykresach poniżej (f. gaussiańskie): i Ważną jest teżcałka f. błędu: F. gaussiańskie mają ważne cechy – m.in. maksimum mające war- tość [l1/(2p)0,5 lub 2/p0,5, zależnie od formy funkcji] w punkcie t=0. Punkty przegięcia miejsca, gdzie pochodna ma maksimum i minimum w miejscach t = 1 lub t=1/2. W p-ktach przegięcia II pochodna = 0: Bardziej interesująca jest całka f. gaus- siańskiej, ponieważ jest to f. błędu, którą najb. potrzebujemy.Rys obok przedstawia ją w najczęściej sto- sowanej formie. Jej wartość zbliża się asym-ptotycznie do 1. Inaczej mówiąc, cała powie-rzchnia pod krzywą Gaussa powinna byćrówna dokładnie 1. Równanie na całkę – na następnymprzeźroczu.

  7. Całka funkcji Gaussa: Dodatkowo jest spełniony warunek: Inny przykład: funkcje trygonometryczne (w zw. z oscylacjami harmo-nicznymi np. w akustyce) – całka funkcji y = sin(x) w granicach od 0do 2p. Jest to powierzchnia pod krzywą na rys. poniżej. Mathematica daje proste rozwiązanie: Jest to powierzchnia za- równo nad osią x, jak i po- niżej. Ponieważ wykres funkcji jest symetryczny,suma obydwu części = 0. O znaku funkcji w danym p-kcie, decyduje droga, jaką do niego doszliśmy. Jeśli doszliśmy do nie- go idąc w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to powierzchnia pod krzywą będzie dodatnia („dodatnia w matematycznym znaczeniu”).Ruch zgodny ze wskazówkami zegara daje powierzchnię ujemnąw matematycznym znaczeniu. Mając to na uwadze – musimy podwoić „dodatnie części” f. sinus i rozwiązać:

  8. Rozwiązanie (szczegóły) – na str. 59 skryptu; wynik końcowy: - powierzchnia pod krzywą funkcji trygonometrycznej jest liczbą naturalną.Kolejny problem: powierzchnia pomiędzy 2 krzywymi, zaznaczona nazielono na rys. poniżej. Potrzebne będą całki 2 funkcji f(x) i g(x) w gra- nicach od A do B. Powierzchnia jestróżnicą pomiędzy obydwiema cał- kami. Dlatego musimy obliczyć: F(x) i G(x), a dalej – różnicę: A = [F(B) – F(A)] – [G(B) – G(A)]. Po dokładnym rozpisaniu:Można to zapisać jeszcze inaczej: Jest to ogólne równa- nie tzw. całki podwój- nej. Całki podwójne sąużywane do obliczania powierzchni zawartej pomiędzy wykresami 2 funkcji.

  9. Niekiedy ważnym jest obliczenie całkowitej długości linii, np. wtedy, gdy śledzimy tropy zwierzęcia, lub chcemy oszacować całkowitą dro-gę, jaką przebyło zwierzę (ew. chcemy obliczyć całkowitą długość naczyń krwionośnych lub części ksylemu i floemu u roślin). Jeżeli dany wykres funkcji (pomiędzy punktem a i b) podzielimy na „mikroskopijnie małe” odcinki „dc” I zastosujemy tw.Pitagorasa (rys.), to całkowita dłu-gość będzie sumą wszystkich odcinków dc (rys.). Ogólne równanie na to wyliczenie jest podane poniżej. Konkretny przykład: jaka jest długość krzywej funkcji y = x2 od x=1 do x=2? Potrzebne równanie: Program kompute- rowy wylicza skom- likowaną całkę; roz- wiązanie numerycz-ne: L = 3,167. Inny problem – obliczanie objętości brył. Jeżeli bryły te powsta-ły w wyniku procesu obracania (nazywamy je wtedy bryłami obrotowy-mi), to obliczenia są łatwe. Zakładamy, że obiekt obraca się wokół osix. Powierzchnia zakreślonej bryły obrotowej jest wtedy równa 2pr2,

  10. gdzie r jest dokładną wartością funkcji x, czyli f(x). Połowa obrotu daje całkowitą objętość bryły, która wynosi:Objętość bryły powstałęj w wyniku obracania wokół osi y wynosi:W ostatnim przypad-ku, należy wziąć poduwagę funkcję odw-rotną: x = f(y).Przykład – jaka jest objętość bryły powstałej obrotu krzywej funkcjiy = x2 od x = 1 do x = 2 wokół osi y? (niezbędna – funkcja odwrotna). Schemat powstawania bryły obroto- wej wskutek obrotu wokół osi x. Istotna może być też powierzchniabrył obrotowych. Bierzemy wtedy poduwagę wszystkie małe kółeczka (ja-kimi można by pokryć całą powierz-chnię) o promieniu r i długości DL. Ta powierzchnia = 2prDL, r odpowiaday = f(x), a DL znów = [1 + f’(x)2].

  11. Stąd: Dla obrotu wokół osi y, uzyskujemy:Często łatwiej jest użyć współrzędnych biegunowych w celu obliczenia długości, powierzchni, czy objętości. W celu obliczenia długości seg-mentu określonego przez funkcję polarną r = f(a), musimy zsumować wszystkie „małe” segmenty DL. Jeżeli DL0, toDL/rsin(Da). Stąd: L  L = rsin(Da). Dalej można zastosować ko- lejne przybliżenie; szukamy granicy sin(x)/x i roz- wijamy w szereg Taylora funkcję sin(x). W szere- gu Taylora, wszystkie wyrazy dalsze niż I-szy są małe w porównaniu z I-szym i dlatego je odrzuca- my. Uzyskujemy dzięki temu wynik: . Teraz wprowadzamy to przybliżenie do powyższego równania i uzyskujemy:L  rsin(Da) rDa = rdaNp., jaka jest długość okręgu? Uwzględnimy zakres od a=0 do p/2. Stąd: Inny przykład: jaka jest długość spirali Ar- chimedesa (wykł. III w starym skrypcie) w zakresie od 0 do 2p. Długość ta wynosi (następne przeźrocze):

  12. Długość spirali Archimedesa:Stosując podobne rozumowa-nie, można obliczyć powierz-chnię zawartą wewnątrz zakresu Da. Ta powierzchnia jest w przybliże-niu równa: r*r*sin(a)/2. Na tych samych zasadach możemy obliczyć: . Teraz, łatwo już można obli- czyć pole powierzchni koła: .Na zakończenie, jako krótkie podsumowanie wybranych zastosowań całek oznaczonych – okno programu „Wykresy”, w którym można całko-wicie automatycznie wyliczyć, np. pole powierzchni pod krzywą i obję-tości brył obrotowych: wystarcza wprowadzić tylko równanie funkcji (która ma być całkowana) i zakres całkowania. (nast. przeźrocze)

  13. Okno p. „Wykresy”:

  14. Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. 4. Wskazówki do zadania 1: W wyliczeniu całki w równaniu I-szym, bierzemy pod uwagę regułę cał-kowania funkcji potęgowej: xndx = xn+1/(n + 1) + c. Musimy przeksz-tałcić funkcję podaną w formie pierwiastka, pamiętając, że pierwia-stkowanie jest szczególnym przypadkiem potęgowania.: Ostatecznie: .Dla równania II-giego, stosujemy reguły całkowania funkcji elemen-tarnych: całkowanie funkcji potęgowej i stałej oraz twierdzenia o całkowaniu iloczynu funkcji przez stałą oraz o całce sumy. Wynik końcowy:Przy całkowaniu III-go (ostatniego) równania funkcji, należy zasto-sować regułę całkowania przez części, która mówi: udv= uv –vdu.Dla funkcji y = ln(x), definiujemy 2 nowe funkcje: u = ln(x) i v = x, a stąd: y = u i dv = dx oraz du/dx = 1/x lub du = (1/x)dx. Po uwzględnie-niu tego i podstawieniu mamy:ln(x)dx= uv –vdu = xln(x) – x(1/x)dx = xln(x) – x + c .

  15. Wskazówki do zadania 2: Okno wejściowe, programu online: http://integrals.wolfram.com , wygląda następująco: Przy wprowadzaniu równania funkcji do całkowania, należy pamiętać o tym, że: a) wprowa- dzamy tylko prawą stronę rów- nania funkcji, b) separatorem dziesiętnym jest kropka, a nie przecinek, c) znak mnożenia „*” można zastąpić spacją, d) zamiast „ln”, wprowadzamy:„Log” {inne logarytmy, wprowa- dzamy jako: Log[b, x], gdzie b jest podstawą logarytmu}. Pole wpisywania równania całkowanej funkcji Przycisk wykonywania oblicze- nia Pole wyników

  16. Wyliczenie przykładowej całki przez program online „Integrals”:Całka I-szej funkcji z zad. 2 – następne przeźrocze.

  17. W programie „Integrals”: sin(x)*cos(x)dx = –1/2 cos2(x) Obok:arcsin(x) dx = ½ [(2x-1)*arc sinx + (x – x2)1/2]

  18. 1,5x *e–4x^2dx =– 0,44769 erf [0,25 (0,405465 – 8x)] • Wyniki obliczeń całek tych samych funkcji, co poprzednio, przy • użyciu programu wxMaxima – poniżej.

  19. Po wprowadzeniu równania w pole „INPUT:”, klikamy w przycisk: „Integrate (ew. Menu: Calculus  Integrate)”: Wprowadzenie równania (1) Klik (2)Po tym, ukazuje się okno dialogowe całkowania, w którym jest możliwość wyboru, czy całka ma być nieoznaczona, czy oznaczona;jeśli wybrano II-gą z wymienionych opcji – to jest możliwość wyborugranic całkowania. W aktualnie naszym przypadku – pozostawiamyustawienia domyślne (całka nieoznaczona – pusty kwadracik przy opcji: „definite integration”) – następne przeźrocze.

  20. Okno dialogowe całkowania:Akceptujemy opcje domyślne, czyliklikamy w OK. Po tym – uzyskujemy wynik(odczytywalny na zrzucieekranowym: w wierszu oznaczonym%o1: [–cos(x)2]/2

  21. arcsin(x)dx w wxMaxima (pominięto zrzut okna dialogowego całko-wania – od razu wynik): Wynik odczytywalny i odmienny od uzyskanego przy użyciu pro- gramu online „Integrals” Analogicznie –1,5x *e–4x^2dx w wxMaxima: Wynik – podob-nie odmiennyniż w „Integ-rals”, jak pop-rzednio. Przy-czyny rozbież-ności – niezna-ne. „erf” – fun-kcja błędu(„error func-tion”) – vide: teoria!

  22. Wskazówki do zadania 3:Uruchamiamy program wxMaxima, wprowadzamy w pole „INPUT:” fun-kcję: -10*x^2+30*x+10, klikamy „Integrate” i uzyskujemy okno dialogo-we całkowania. Przed uruchomieniem obliczania, uaktywniamy licze-nie całki oznaczonej (klik w kwadracik przy „Definite integration”) i wdomyślnych opcjach granicy „do” (pole: „to:”) zmieniamy 1 na 3.: Klik (1) Zamiana 1  3 (2)

  23. Po uaktywnieniu liczenia całki oznaczonej i zamianie 1  3 w polu „to:”: Klik Po kliknięciu w OK, pojawia się wynik:Uzyskany wynik: pole po-wierzchni pod krzywąfunkcji y = -10x2 +30x +10, w zakr. od a=0 do b=3,wynosi:

  24. Wskazówki do zadania 4:Ogólnie, długość wybranego odcinka krzywej funkcji (od punktu a dopunktu b), można wyliczyć, obliczając następującą całkę oznaczoną: . Biorąc pod uwagę funkcję y = x2, której pochodna wy- nosi 2x i podstawiając ją do poprzedniego równania na całkę, uzyskujemy: . Całkę oznaczoną, podaną ostatnim równaniem dla: a=0 i b=3, wylicza-my przy użyciu wxMaxima: • Uaktywniamy liczenie całki oznaczonej – klik (1) • Zamiana 1  3 (2) Klik (3) Wynik – następne przeźrocze.

  25. Wynik obliczania długości krzywej funkcji: y = x2, uzyskany w wynikuobliczenia całki oznaczonej funkcji (1+ 4x2)1/2, w zakresie od a=0 do b=3: Uzyskany wynik, nie jest „rozwiązaniem końco- wym” w formie liczby rze- czywistej. Można dokoń- czyć obliczenia (np. w Excelu). Można też pow- tórzyć wszystkie obliczenia w wxMaxima: Ustawiamy wszystkie opcje, jak pop-rzednio (w sumie – 2)......I dodatkowo, włączamy opcję całko-wania numerycznego:Numerical integration [Klik, (3)] Klik (4)Wynik – następne przeźrocze.

  26. Wynik obliczania długości krzywej funkcji: y = x2, uzyskany w wynikuobliczenia całki oznaczonej funkcji (1+ 4x2)1/2, w zakresie od a=0 do b=3 (całkowanienumeryczne!): Wynik:Wskazówki do zadania 5:Ogólnie, pole powierzchni bryły obrotowej, powstałej w wyniku rota-cji wykresu funkcji y = f(x), wokół osi X w zakresie od punktu a dopunktu b wylicza się, obliczając następującą całkę oznaczoną: Mając na uwadze, że (x2)’=2x, po podstawieniu do równania na całkę oznaczoną uzyskujemy: Poniższą całkę obliczamy stosując wxMaxima (następne przeźrocze)

  27. Wprowadzana funkcja do całkowania: (x^2)*sqrt(1+4*x^2). Okno dialogowe całkowania (ustawione – całkowanie numeryczne): Całka oznaczona – klik (1) Zamiana 1  3 (2) Włączenie całkowania numerycznego (3) Klik (4) Uzyskujemy wynik:

  28. Uzyskany wynik mnożymy przez 2p – i uzyskujemy wynik ostateczny:pole powierzchni bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykresu funkcji y = x2, wokół osi X, w zakresie od punktu a=0 do punktu b=3: M  2 * 3,14159 * 41,59  261,32 .Wskazówki do zadania 6:Ogólnie, objętość bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykre-su funkcji y = f(x), wokół osi X w zakresie od punktu a do punktu b wylicza się, obliczając następującą całkę oznaczoną:Mając na uwadze, że w niniejszym zadaniu f(x)2 = x4,a a=0 i b=3: Obliczenia przeprowadzamy w wxMaxima (następne przeźrocze)

  29. Wprowadzana funkcja do całkowania: x^4. Okno dialogowe całkowania (ustawione – całkowanie numeryczne):Całka oznaczona – klik (1)Zamiana 1  3 (2) Włączenie całkowania numerycznego (3)Klik (4)Uzyskujemy wynik:

  30. Uzyskany wynik mnożymy przez p – i dostajemy wynik ostateczny:objętość bryły obrotowej, powstałej w wyniku rotacji wykresu funkcji y = x2, wokół osi X, w zakresie od punktu a=0 do punktu b=3: V  3,14159 * 48,6  152,68 .Wskazówki do zadania 7:W zadaniu chodzi o obliczenie powierzchni zawartej pomiędzy krzywy-mi funkcji: y = sin(x) i y = x2, w granicach pomiędzy a = 0 i b = punkt przecięcia krzywych obu funkcji. Na samym początku, należy wyliczyćwspółrzędne tego punktu. W tym celu pobieramy plik „2funkcje.xls”, kończymy rozpoczęte w nim obliczenia, sporządzamy wykres punktowy (XY) obu funkcji i odczytujemy współrzędne punktu przecięcia – wszys-tko zgodnie z podstawową instrukcję (na WWW). Współrzędne punktu przecięcia, odczytujemy z podstawowego arkusza danych: Na zrzucie widać, że prawie identyczne wartości zmiennej y – zarówno dla funkcji y = sin(x) [y = 0,768651], jak i y = x2 [y = 0,768655], zanoto- wano dla wartości x = 0,87673. Potwierdza to także wspólny wykres obu funkcji (następne przeźrocze).

  31. Wspólny wykres funkcji y = sin(x) i y = x2:Ogólne równanie na pole powierzchni zawartej pomiędzy krzywymi 2 funkcji (pomiędzy punktami a i b), to:

  32. W konkretnym przypadku (zad. 7): f(x) = sin(x) i g(x) = x2 (vide wykresobu funkcji i różnice pomiędzy ich wartościami: wart. wyższe dla sin(x)niż x2). Obliczenia wykonujemy za pomocą wxMaxima – podobnie, jakw zadaniu 3. W pierwszym przypadku, wprowadzamy: sin(x):Całka oznaczona – klik (1)Zamiana 1  0.87673 (2) Klik (3) Uzyskujemy następujący wynik:

  33. W drugim przypadku, wprowadzamy x^2 i dodatkowo uruchamiamy cał-kowanie numeryczne (gdyż tylko wtedy będzie tu możliwe uzyskaniewyniku w formie ułamka dziesiętnego):Całka oznaczona – klik (1) Zamiana 1  0.87673 (2) Włączenie całkowania numerycznego (3) Klik (4) Uzyskujemy następujący wynik:

  34. Ostateczne wyliczenie, z podstawieniem wyników uzyskanych dla obufunkcji oddzielnie:

  35. Dziękuję za uwagę ;-)

More Related