Zagadnienie transportowe

1. Badania Operacyjne Zagadnienie transportowe

2. Problem transportowy - zastosowania • Optymalne planowanie transportu towarów, przy minimalizacji kosztów lub czasu wykonania zadania. • Optymalny rozdział czynników produkcji, w celu maksymalizacji wartości produkcji, zysku lub dochodu.

3. Rozwiązanie dopuszczalne Rozwiązaniedopuszczalne –jest to rozwiązanie przejściowe. Istnieje wiele rozwiązań dopuszczalnych dla jednego zagadnienia transportowego, przy czym każde kolejne ma lepszy (niższy) lub przynajmniej nie gorszy koszt od poprzedniego.

4. Rozwiązanie optymalne Rozwiązanie optymalne- rozwiązanie, które w wyniku daje koszt najniższy do uzyskania poprzez znane nam metody. Jest to rozwiązanie końcowe. Może istnieć kilka rozwiązań optymalnych dla jednego zagadnienia transportowego - lecz koszt każdego z nich powinien być taki sam.

5. Popyt i podaż • Łączną ilość dobra dostępną we wszystkich punktach nadania przywykło się określać mianem podaży. • Łączną ilość dobra, na które jest zapotrzebowanie we wszystkich punktach odbioru nazwiemy popytem.

6. Opis problemu • Rdostawców pewnego towaru, zaopatruje N odbiorców. • Dostawcy dysponują Ai(i = 1,2,...,R) jednostkami danego towaru. • Zapotrzebowanie każdego z odbiorców wynosi Bj (j = 1,2,...,N) jednostek. • Każdy dostawcamoże zaopatrywać dowolnego odbiorcę. • Każdy odbiorcamoże otrzymywać towar od dowolnego dostawcy.

7. Opis problemu c.d. • Ponadto znane są jednostkowe koszty transportutowaru od i-tegodostawcy do j-tegoodbiorcy cij(i = 1,2,...,R; j = 1,2,...,N) UWAGA: • Zakłada się, że całkowity koszt transportu jest sumą kosztów transportu na poszczególnych trasach. 2. Cij– może również wyrażać czas transportu lub odległość Mówimy tu o zagadnieniach transportowych z kryterium czasu, odległości lub kosztu.

8. Matematyczny model zagadnienia transportowego Oznaczenia:xij— wielkość przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy,cij — jednostkowy koszt przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy,Ai — limit dostaw i-tego dostawcy,Bj — zapotrzebowanie j-tego odbiorcy,m— liczba dostawców,n— liczba odbiorców.

9. Zapis tabelaryczny zagadnienia transportowego Zapis tabelaryczny zagadnienia transportowego Macierz kosztów jednostkowych:

10. ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAMKNIĘTE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE OTWARTE

11. Zamknięte zagadnienie transportowe Zamkniętezagadnienie transportowe = zbilansowanezagadnienie transportowe (ZZT) Z zamkniętym (zbilansowanym zagadnieniem transportowym) mamy do czynienia, gdy łączna podaż jest równa popytowi:

12. Model matematyczny dla ZZT • warunki dla dostawców: • warunki dla odbiorców: • warunki brzegowe: • funkcja celu:

13. ZZT - przykład PODAŻ POPYT

14. Otwarte zagadnienie transportowe Otwartezagadnienie transportowe = niezbilansowanezagadnienie transportowe (OZT) • łączna podaż > łączny popyt – u dostawców zostanie pewna ilość towaru, na którą nie ma zapotrzebowania, a zapotrzebowanie odbiorców zostanie zaspokojone: • łączna podaż < łączny popyt– zapotrzebowanie odbiorców nie zostanie zaspokojone, mimo, że dostawcy wyślą cały towar:

15. Model matematyczny dla OZZłączna podaż>łączny popyt • warunki dla dostawców: • warunki dla odbiorców: • warunki brzegowe: • funkcja celu:

16. Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest zbilansowane (zamknięte). Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie, wprowadzenie fikcyjnego odbiorcy, którego zapotrzebowanie Bn+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn. W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu i magazynowania.

17. OZT - przykład PODAŻ POPYT

18. Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt c.d. UWAGA: Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty magazynowania u poszczególnych dostawców (ci,n+1) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci,n+1 = 0).

19. Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt- podsumowanie OZT OZT -> ZZT

20. Model matematyczny dla OZZ łączna podaż< łączny popyt • warunki dla dostawców: • warunki dla odbiorców: • warunki brzegowe: • funkcja celu:

21. Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż<łączny popyt UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest zbilansowane (zamknięte). Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie, wprowadzenie fikcyjnego dostawcy, którego zapotrzebowanie Am+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn. W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu i magazynowania.

22. OZT - przykład PODAŻ POPYT

23. Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt c.d. UWAGA: Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty magazynowania u poszczególnych dostawców (ci,n+1) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci,n+1 = 0).

24. Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt- podsumowanie OZT OZT -> ZZT

25. METODY ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO

26. Metoda kąta północno-zachodniego(górnego lewego rogu) Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego. Nie bierze ona pod uwagę macierzy kosztów, przez co koszt rozwiązania jest dość wysoki w porównaniu z pozostałymi metodami.

27. Metoda kąta północno-zachodniego- przykład (ZZT) Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt z czterema producentami czekolady (P1, P2, P3, P4) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40 paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H1, H2, H3, H4, H5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10, 15, 30, 10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie palety, znając koszty drogi od danego producenta (dostawcy) do każdej hurtowni (odbiorcy). Uwaga koszty zestawiono w tabeli

28. Metoda kąta północno-zachodniego- przykład 20 30 10 40 100 10 10 15 30 35 100

30. Metoda kąta północno-zachodniego Należy przygotować niewypełnioną tabelę o wymiarze m-wierszy i n-kolumn, gdzie: m - liczba odbiorców, n- liczba dostawców.

31. Wypełnianie tabelki zaczynamy od pierwszej komórki w górnym, lewym narożniku. Komórce tej odpowiada dana podaż oraz dany popyt. Wybieramy spośród nich mniejszą wartość i wpisujemy ją do komórki. Następnie należy tę wartość odjąć zarówno od podaży jak i od popytu. 10 10 Min(10;20)=10 0 10-10=0 20-10=10

32. Sprawdzamy, gdzie po odjęciu uzyskaliśmy 0 (w podaży czy w popycie). Jeżeli wyzerował się popyt to w danej kolumnie wpisujemy w resztę komórek zera. Jeżeli wyzerowałaby się podaż to należałoby wpisać zera w resztę komórek w danym wierszu. W tym przypadku wyzerował się popyt więc należy wypełnić resztę komórek w pierwszej kolumnie zerami.

33. Idziemy do kolejnej wolnej komórki i powtarzamy całą procedurę, aż do pełnego wypełnienia całej tabeli.

34. Uzyskujemy wówczas rozwiązanie dopuszczalne. Wszystkie zerowe elementy (bierzemy pod uwagę te zera, które wpisaliśmy jako uzupełnienie tabeli) rozwiązania nazywamy elementami nie bazowymi. Natomiast elementami bazowymi nazywamy wszystkie elementy niezerowe. Przy czym el. bazowych powinno być m+n-1 (5+4-1=8),wówczas rozwiązanie nazywamy zdegenerowanym. W innym przypadku rozwiązanie będzie niezdegenerowane, a my nie będziemy w stanie sprawdzić jego optymalności metodą potencjałów (wyjątkiem jest przypadek w którym jeden z elementów bazowych jest zerem).

35. Na koniec należy policzyć koszt jaki uzyskaliśmy tą metodą. Koszt wyliczamy przemnażając dany element tablicy kosztów z danym elementem naszego rozwiązania po czym wartości te sumujemy.

36. Metoda kąta północno-zachodniego- przykład (OZT) Firma przewozowa (np. mąki) ma kontrakt z trzema magazynami (M1, M2, M3) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 100, 50 i 80 tonami mąki. Natomiast 4 piekarnie (P1, P2, P3, P4) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 40, 60, 50 i 50 ton mąki. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić mąkę, znając koszty drogi od danego magazynu (dostawcy) do każdej piekarni (odbiorcy).

38. Ponieważ algorytm transportowy zakłada zbilansowanie popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ zatem wprowadzamy jednego fikcyjnego odbiorcę (dodatkową piekarnię). dodatkowe założenie o kosztach magazynowania

39. Nowy model matematyczny: • funkcja celu: • funkcję celu rozszerzamy o dodane składniki Dalej rozwiązujemy metodą kąta pn.-zach. (lub później najmniejszego elementu)

40. Metoda najmniejszego elementu Pełna nazwa to metoda najmniejszego elementu w macierzy kosztów. Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne zadaniatransportowego. Bierze ona pod uwagę macierz kosztów dzięki czemu zazwyczaj (ale nie zawsze) daje w wyniku niższy koszt rozwiązania niż koszt rozwiązania metodą kąta pn.-zach.

41. Metoda najmniejszego elementu - przykład Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt z czterema producentami czekolady (P1, P2, P3, P4) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40 paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H1, H2, H3, H4, H5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10, 15, 30, 10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie palety, znając koszty drogi od danego producenta (dostawcy) do każdej hurtowni (odbiorcy). Uwaga koszty zestawiono w tabeli

42. Metoda najmniejszego elementu - przykład

43. Zaczynając od góry szukamy pierwszej komórki o najmniejszym koszcie, odznaczamy ją. Komórce tej odpowiada jedna wartość podaży oraz popytu. Wybieramy spośród nich wartość mniejszą i odejmujemy ją zarówno od danej komórki popytu jak i komórki podaży. Min(20;30)=20 20-20=0 30-20=10

44. Wyniki wpisujemy do nowej tabeli, tak, że wartość minimalną wpisujemy w komórkę, która odpowiada komórce z minimalnym kosztem w tabeli kosztów. Następnie sprawdzamy, która wartość (popytu czy podaży) wyzerowała się. Jeżeli wyzerowała się podaż to wstawiamy zera w resztę komórek w tym wierszu, jeżeli popyt to wstawiamy zera w resztę komórek danej kolumny.

45. Następnie bierzemy tabelkę kosztów i zakreślamy na niej komórki, które wypełniliśmy zerami w tabelce wyników. Następnie szukamy w niej następnego minimalnego kosztu (pomijając zakreślone komórki). Dalej postępujemy analogicznie jak w etapie pierwszym.

46. Procedurę powtarzamy do momentu uzupełnienia całej tabeli.