Università degli Studi di Ferrara

1. Università degli Studi di Ferrara CORSO SPECIALE ABILITANTE – CLASSE A049 MATEMATICA E FISICA ANNO ACCADEMICO 2005/2006 Il problema della misura. Integrale definito e sue applicazioni Specializzando Tutor Dott.Eros Bernardi Prof. Luigi Tomasi Relatore Prof. Valter Roselli

2. Introduzione al percorso didattico e scelte metodologiche. Il capitolo risulta composto da una breve introduzione; quindi prosegue con la trattazione storica del concetto di integrale definito, per concludersi con la trattazione delle scelte metodologiche per la classe. Il secondo capitolo si apre con la trattazione degli obbiettivi e prerequisiti per poi dare ampio spazio alla tempistica e trattazione degli argomenti. Presentazione dei contenuti ed intervento didattico. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

3. Scelta del periodo e metodologie • Percorso didattico previsto per una classe quinta di un Liceo Scientifico con indirizzo P.N.I. nel periodo di Marzo Aprile. • Il docente cercherà ogni occasione per illustrare alcune questioni di epistemologia della disciplina. • L'uso dell'elaboratore elettronico sarà via via potenziato. • Visualizzazione di processi algoritmici non attuabile con elaborazione manuale • Si insiste sull'opportunità che l'insegnamento sia condotto per problemi. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

4. Programma ministeriale • Il problema della misura sarà affrontato con un approccio molto generale. • Inquadramento preferibilmente sotto il profilo storico. • Il concetto di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla necessità di dare metodi generali per il calcolo di lunghezze, aree, volumi Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

5. Prerequisiti • Divisione tra due polinomi; i radicali; geometria analitica; trigonometria; funzioni esponenziali e logaritmiche. • Rappresentazione grafica di una funzione nel piano cartesiano. • Limite per successioni e funzioni. • Continuità e derivazione. • Integrale indefinito. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

6. Obiettivi generali • Essere in grado di inquadrare storicamente l'evoluzione delle idee matematiche fondamentali. • Avere compreso il valore strumentale della matematica per lo studio delle altre scienze. • Sapere elaborare informazioni ed utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e strumenti informatici Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

7. Obiettivi specifici • Saper affrontare a livello critico situazioni problematiche di varia natura, scegliendo in modo flessibile e personalizzato le strategie di approccio. • Abilità di individuare le strategie più appropriate per risolvere integrali e problemi connessi al calcolo integrale (calcolo di aree, volumi ecc.) • Significati fisici del concetto di integrale definito Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

8. Cenni storici sul concetto di integrale • Il calcolo degli integrali definiti prende inizio dalla necessità di determinare le aree di figure piane aventi contorno curvilineo. • Le idee principali che sono alla base del calcolo differenziale si sono sviluppate lungo i secoli; i primi passi furono compiuti dai matematici greci. • Il primo a muovesi in questa direzione è Archimede di Siracusa (287-212 a.C.) che mediante il metodo di esaustione calcola con buona approssimazione l’area del cerchio e determina l’area del settore parabolico. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

9. La nascita del calcolo integrale Anche se esistono alcune discussioni sulla paternità originale, Gottfried Wilhellm von Leibniz (1642-1727) è accreditato assieme ad Isaac Newton dell'invenzione, intorno al 1670, del calcolo infinitesimale. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

10. Lo sviluppo del calcolo integrale In seguito Augustin Louis Cauchy(1789-1857) nel Cours d’analyse da una definizione Rigorosa dell’integrale. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805-1859) affermare che condizione necessaria per l'integrabilità sia che l'insieme dei suoi punti di discontinuità sia "rado“. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

11. Il problema è ripreso nella memoria di Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866), in essa, introduce l'integrale che porta il suo nome. Henri Léon Lebesgue(1875-1941) rielaborò le nuove idee, ponendole alla base della sua trattazione dell'integrale una nuova idea di integrazione estendendo la classe delle funzioni integrabili Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

12. Sequenza logica e temporale dei contenuti. • Dalla definizione di integrale al teorema di Torricelli-Barrow • Grafico della funzione integrale ed il calcolo delle aree • Integrale generalizzato • Volumi dei solidi, lunghezza di archi di curva e l’area di una superficie di rotazione. • Derive6, l’integrale definito e le sue applicazioni. • Significati dell’integrale in fisica. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

13. Trapezoide. Sia la funzione positiva nell’intervallo allora: • Dividiamo l'intervallo in parti uguali di ampiezza • Consideriamo i rettangoli aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento o • Indichiamo con la somma delle aree di tutti questi rettangoli di altezza Analogamente si avrà se considero Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

14. Utilizzando l'ipotesi di continuità della funzione in si riesce a dimostrare, che le due successioni: convergono allo stesso limite, che viene indicato con il simbolo: Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

15. Integrale definito • Tuttavia la definizione più generale di integrale definito non richiede questa ipotesi in quanto non si collega all'area dei trapezoidi. • Possiamo comunque dare un significato di tipo geometrico, considerando, ad esempio, una funzione come in figura Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

16. Calcolo dell’integrale definito • Il calcolo dell’integrale definito risulta complesso anche se consideriamo una funzione semplice come la parabola • Nella maggior parte dei casi risulta impossibile da calcolare. • Risulta come si osserva in alcuni casi particolari legarlo ai valori della primitiva agli estremi dell’intervallo Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

17. Teorema della media. • Se è una funzione continua in , esiste almeno un punto tale che: • Significato Geometrico. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

18. Teorema di Torricelli-Barrow. Data la funzione continua in un intervallo , la funzione integrale: è derivabile e risulta: Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

19. Il calcolo dell’integrale definito. • Dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo ottenere la formula del calcolo dell’integrale definito. • e la funzione integranda Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

20. Il calcolo delle aree • Area del segmento parabolico • Area delimitata da una circonferenza • Area della regione delimitata dall’ellisse • Le aree di figure piane • Il problema delle aree “negative”. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

21. Area racchiusa da due funzioni. Siano e due funzioni definite nello stesso intervallo , con per ogni in , i cui grafici racchiudano una superficie chiusa. L’area della super-ficie è allora data: Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

22. Gli Integrali generalizato • Consideriamo la funzione continua • Consideriamo un punto z interno all'intervallo • La funzione continua • Quindi esiste l'integrale • Si dice che la funzione è in integrabile in senso improprio se esiste ed è finito il limite: Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

23. Volumi dei solidi • Metodo delle “fette” • Volume dei solidi di rotazione Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

24. Derive6 e l’integrale e sue applicazioni. Rappresentare sullo stesso grafico la funzione e una sua funzione integrale Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

25. Osservazioni sulla funzione integrale. • Osserviamo che i grafici delle funzioni possono essere sovrapposti. • I grafici mette in rilievo il fatto che la funzione integrale per i valori di a=5 si annulla in x=5 • Negli intervalli in cui la parabola è positiva la funzione integrale e crescente e viceversa Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

26. Approfondimenti: significato fisico dell’integrale. • Legge oraria del moto. • Il lavoro. • Energia Cinetica. • Quantità di carica. • Energia di una corrente alternata. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

27. Verifiche - Valutazione • Le fasi di verifica e valutazione dell'apprendimento devono essere strettamente correlate e coerenti. • La valutazione non deve essere un controllo sulla padronanza delle sole abilità di calcolo o di particolari conoscenze mnemoniche degli allievi. • Le verifiche sommative serviranno a valutare il grado di conoscenze e competenze raggiunto da ogni studente. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

28. Recupero • Attraverso la ripresa dei concetti non recepiti e lo svolgimento di esercizi che aiutino a fare chiarezza sulle procedure non comprese. • Attività pomeridiane con gli studenti interessati (sportello scolastico e tutoring). • Diversificati interventi didattici, finalizzati anche all'attività di recupero. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi

29. Conclusioni • Compito dell’insegnante è proprio fare da mediatore tra i saperi accademici e gli studenti • Far cogliere i legami interdisciplinari dell’argomento. • Demolire il normale contratto didattico con gli alunni. • Fare accettare allo studente la responsabilità di una situazione di apprendimento. Classe di Concorso A049 Eros Bernardi