Centro de Competencias de la Comunicación Universidad de Puerto Rico en Humacao

1. EDADES Veces que salen a comer fuera durante una semana E5 Menores de 30 E6 30 a 50 E7  Mayores de 50 TOTAL E1 10 o mas veces e1  200 e2 100 e3 100 400 E2 3 a 9 veces e4  600 e5 900 e6 400 1900 E3 1 a 2 veces e7  400 e8 600 e9 500 1500 E4 Menos de una vez e10  700 e11 500 e12 0 1200 TOTAL 1900 2100 1000 5000 Centro de Competencias de la ComunicaciónUniversidad de Puerto Rico en Humacao Walter López Moreno, MBA, cDBA Las reglas de probabilidad

2. Tabla de contenido Introducción Objetivogeneral Objetivosespecíficos Instruccionesdecómousarlapresentación Glosariodetérminos Lasreglasdeprobabilidad Utilidad Descripcióndelasreglas Tabladeejemplo Probabildadmarginal Probabilidadconjunta Cómputodelaprobabilidad Ejercicios Ejerciciosdeprueba Ejerciciosderedacción Repasodeconceptos Referencias

3. Introducción El concepto de probabilidad tuvo su origen en los juegos de dados, cartas y el tiro de la moneda. Luego se implementó en problemas sociales y económicos. Las probabilidades son muy útiles para tomar decisiones de posibles resultados futuros. Para utilizarlas es necesario seguir ciertas reglas generales. En este módulo se describen las reglas de probabilidad utilizando ejemplos, ejercicios y enlaces que incluyen video y audio. El mismo va dirigido a todos los/as estudiantes de Administración de Empresas.

4. Objetivos que persigue la presentación Objetivo general Esperamos que cuando termine esta presentación pueda utilizar las reglas de probabilidad para resolver problemas con el método clásico, de frecuencia relativa o distribuciones de frecuencias normal, binomial o de poisson. Objetivos específicos Además, esperamos que pueda: • Aplicar las reglas de suma, condicional y las de multiplicación. • Interpretar los eventos dependientes, independientes y los mutuamente excluyentes. • Identificar probabilidades conjuntas y marginales aplicando las reglas aprendidas en este módulo.

5. Instruccionesdecómousarlapresentación La presentación inicia con la descripción de cada regla. Se recomienda que tengas acceso a Internet mientras trabaja la presentación Siempre que se presente la siguiente figura: puede presionarla para navegar adecuadamente a través de toda la presentación. Luego de leer el material que sirve de introducción, podrá establecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.

6. Glosario de términos • Experimento-Procesoqueproducealgúnresultado. • Experimentoaleatorio–Experimentoquesepuederepetir. • Eventoosuceso–Eselresultadoconocidoodesconocidodeunexperimento. • Eventoelemental–Esunresultadoparticularelcualnosepuedesubdividircomoporejemplolaseleccióndeunamoneda. • Eventocompuesto–Haymásdeunresultado.Porejemplo,queenlaseleccióndelamonedaseveacaraocruz. • Espaciomuestral–Eslacoleccióndetodoslosposibleseventosquepuedensurgirdeunexperimento.Porejemplo,elespaciomuestraldeEes(e1,e2,e3). (Elglosariodetérminoscontinúaenlapróximalámina)

7. Glosario de términos • Eventos mutuamente excluyentes – Son eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si sale 2 en un dado no puede salir 5 en el mismo tiro. • Evento independiente – La ocurrencia de un evento no tiene influencia en la ocurrencia de otro evento. Si sale 2 en un dado no afecta el número que salga en el próximo tiro. • Evento dependiente – La ocurrencia de un evento influye en la ocurrencia de otro evento. Si un proyecto se empieza tarde otro proyecto que dependa del mismo requerirá tiempo adicional. • Con reemplazo - Que se incluye nuevamente en la muestra o grupo de origen. Vea otros ejemplos relacionados a las definiciones.

8. Las reglas de probabilidad Elcálculodeprobabilidadestuvo unnotabledesarrolloconeltrabajo delsuizoJacobBernoulli(1654-1705) ElfrancésAbrahamdeMoivre (1667-1754)abundóenlasreglas deprobabilidad.

9. UtilidadLas reglas que se presentan en este módulo se utilizan para: • facilitar el cómputo de probabilidades asociadas a sucesos y fenómenos que siguen un modelo probabilístico. • definir el máximo y mínimo de una probabilidad. • permitir la sumar, restar, división y multiplicación de la probabilidad de un evento o suceso. • relacionar la probabilidad de un evento dependiente o independiente. • obtener la probabilidad condicional de un segundo evento.

10. Descripcióndelasreglas • La reglas 1 y 2 definen los límites de las probabilidades. • De la 3 a la 5 se conocen como las reglas de suma. • Las reglas 6 y 7 se aplican a probabilidad condicional. • La 8 y 9 se conocen como las reglas de multiplicación. A continuación se dará una descripción de las 9 reglas de probabilidad incluyendo un colorario de las primeras dos. Los enlaces contienen ejemplos y gráficos que ayudan al entendimiento de las reglas presentadas.

11. Regla#1 Regladelrangodelaprobabilidad 0<P(E)<1 ParacualquiereventoE,laprobabilidaddequeocurraeseeventoestáentre0y1.Siestamossegurosdequealgopuedeocurrir,podemosasignaraleventolaprobabilidadde0.0ó1.0

12. Regla#2 Regladel1 ∑P(e)=1 Laprobabilidaddetodosloseventoselementalessuman1. Ejemplo:laprobabilidaddequesalgacaraenunamonedaesde0.50maslaprobabilidaddequesalgacruzesde0.50.Eltotales1. Veaejemplosyconceptosrelacionadosalasreglas1y2

13. Colorario de las reglas #1 y #2 Regladelsucesocontrario P(Ë)=1–P(E) LaprobabilidaddelcomplementodeuneventoE,es1menoslaprobabilidaddeeseevento. Ejemplo:Laprobabilidaddequesalga2ó3enundadoes2de6(2/6).Laprobabilidaddequenosalga2ó3será1–2/6=4/6=2/3

14. Regla # 3 Regladesumaparaeventoselementales(e) SiE=(e1,e2,e3) entonces P(E)=P(e1)+P(e2)+P(e3) LaprobabilidaddeuneventocompuestoEesigualalasumadelasprobabilidadesdeloseventoselementalesqueloforman(suespaciomuestral).

15. Regla # 4 Regladesumaparaeventos mutuamentenoexcluyentes P(E1óE2)=P(E1UE2)=P(E1)+P(E2)–P(E1yE2) LaprobabilidaddequeocurranloseventosnoexcluyentesP(E1óE2)queeslomismoque P(E1UE2)eslasumadesusprobabilidadesindividualesP(E1)másP(E2)menoslaprobabilidadconjuntadeamboseventosP(E1yE2)quetambiénseescribecomoP(E1∩E2).

16. Regla#5 Regladesumaparaeventosmutuamenteexcluyentes P(E1UE2)=P(E1)+P(E2) LaprobabilidaddequeocurranloseventosmutuamenteexcluyentesE1yE2eslasumadesusprobabilidadesindividualesP(E1)yP(E2) Presione para ver una explicación gráfica sobre uniones e intersecciones de eventos o sucesos

17. Regla # 6 Regladeprobabilidadcondicionalparados eventosdependientesE1yE2 P(E1/E2)=P(E1∩E2)/P(E2)endondeP(E2)esmayorquecero P(E1/E2)seleecomoprobabilidaddeE1dadoquehaocurridoE2.***NoesunadivisióndelaprobabilidaddeE1entreE2*** LaprobabilidaddequeocurraeleventoE1dadoquehaocurridoeleventoE2,eslaprobabilidadconjuntadeamboseventosE1yE2,divididoporladeE2dondeestaúltimadebesermayordecero.

18. Regla#7 RegladeprobabilidadcondicionalparadoseventosindependientesE1yE2 P(E1/E2)=P(E1) LaprobabilidaddequeocurraeleventoE1dadoquehaocurridoeleventoE2,eslaprobabilidaddequeocurraeleventoE1.

19. Regla # 8 ReglademultiplicaciónparadoseventosdependientesE1yE2 P(E1yE2)=P(E1∩E2)=P(E1)P(E2/E1) Esútilcuandonecesitamosencontrarlaprobabilidadconjuntaperonotenemoslasfrecuenciasrelativas.LaprobabilidadconjuntadedoseventosE1∩E2,eselproductodelaprobabilidadindividualdeE1porlaprobabilidadcondicionaldeE2dadoquehaocurridoE1. ¿Cuálserálaprobabilidaddeescogerdosasescorridas(sinreemplazo)deunpaquetede52cartas? P(E1)eslaprobabilidaddeescogerelprimeras=4/52 P(E2)eslaprobabilidaddeescogerelsegundoas=3/51 Elresultadoserá4/52*3/51=12/2652=0.0045

20. Regla # 9 ReglademultiplicaciónparadoseventosindependientesE1yE2 P(E1∩E2)=P(E1)P(E2) LaprobabilidadconjuntadedoseventosE1yE2eselproductodelaprobabilidaddeE1porlaprobabilidaddeE2. ¿CuálserálaprobabilidaddeescogerdosAsescorridas(conreemplazo)deunpaquetede52cartas? P(E1)eslaprobabilidaddeescogerelprimerAs=4/52 P(E2)eslaprobabilidaddeescogerelsegundoAs=4/52 Elresultadosería4/52*4/52=16/2704=0.006 PresioneparamayorinformacióndeprobabilidadcondicionadaincluyendoelTeoremadeBayes

21. EDADES Veces que salen a comer fuera por semana E5  Menores de 30 E6  30 a 50 E7 Mayores de 50 TOTAL E1 10 o más veces e1 200 e2 100 E3 100 400 E2 3 a 9 veces e4 600 E5 900 e6 400 1900 E3 1 a 2 veces e7 400 E8 600 E9 500 1500 E4 Menos de una vez e10 700 e11 500 e12 0 1200 TOTAL 1900 2100 1000 5000 Reglas de probabilidadTabla de ejemplo En la siguiente tabla tenemos un resumen de tres grupos divididos por edades y las veces que comen fuera de la casa por semana.

22. EDADES Veces que salen a comer por semana E5  Menores de 30 E6  30 a 50 E7 Mayores de 50 TOTAL E1 10 o más veces e1 200 e2 100 e3 100 400 E2 3 a 9 veces e4 600 e5 900 e6 400 1900 E3 1 a 2 veces e7 400 e8 600 e9 500 1500 E4 Menos de una vez e10 700 e11 500 e12 0 1200 TOTAL 1900 2100 1000 5000 Probabilidad marginal Probabilidad marginal – Representada en letra mayúscula al margen de la tabla Marginal

23. EDADES Veces que salen a comer fuera por semana E5  Menores de 30 E6  30 a 50 E7 Mayores de 50 TOTAL E1 10 o más veces e1 200 e2 100 e3 100 400 E2 3 a 9 veces e4 600 e5 900 e6 400 1900 E3 1 a 2 veces e7 400 e8 600 e9 500 1500 E4 Menos de una vez e10 700 e11 500 e12 0 1200 TOTAL 1900 2100 1000 5000 Probabilidad conjunta Conjunta Probabilidad conjunta representada en letra minúscula dentro de la tabla.

24. Cómputo de la probabilidad Probabilidad de E2 = 0.38 Probabilidad de e1 = 0.04 Todosedivideentreeltotalde5000

25. Ejercicios Los siguientes ejercicios le permitirán relazar los conceptos y reglas estudiadas en este módulo. Cada ejercicio incluye la idea de cómo hacer el cómputo. Para contestarlos utilice la tabla de ejemplo presentada en las láminas anteriores.

26. EjerciciosUse la tabla de ejemplo 1 - Compruebe las reglas 1 y 2 sumando todos los eventos elementales. La suma de todas las probabilidades conjuntas designada como “e”, debe ser igual a uno. 2 - Utilice la regla 3 para determinar la probabilidad de que las personas menores de 30 años salgan a comer fuera. Sume las probabilidades P(e1) + P(e4) + P(e7) + P(e10). Debe ser igual P(E5)=0.38. 3 - Con la regla del suceso contrario determine la probabilidad de que las personas menores de 30 años no salgan a comer fuera. Debes restar uno menos la probabilidad del ejercicio anterior. Esto es 1-P(E5). 4 – Utilice la regla 4 para conseguir la probabilidad de personas que coman fuera 3 a 9 veces por semana o que sean mayores de 50 años. Haga el siguiente computo: P(E2) + P(E7) – P(E2 ∩E7) En este caso P(E2 ∩E7) es igual a P(e6) que es 0.08. (Los ejercicios continúan en la próxima lámina)

27. Ejercicios Use la tabla de ejemplo 5 – Utilice la regla 5 para conseguir la probabilidad de personas que coman fuera de 1 a 2 veces o de 3 a 9 veces por semana. El resultado lo obtendrá con la suma P(E2) + P(E3). 6 – Con la regla 6 determine la probabilidad encontrar personas que coman fuera menos de una vez dado de que son menores de 30 años. Esto es P(E4/E5) = P(E4 ∩ E5)/P(E5) 7 – Con la regla 7 demuestre la probabilidad de encontrar personas menores de 30 dado de que hay personas mayores de 50. Esto es P(E5/E7) debe ser igual a P(E5).

28. EjerciciosderedacciónUselatabladeejemplo 1 -Mencione cuáles de los eventos en la tabla son independientes y cuáles son dependientes. Mencione si hay eventos mutuamente excluyentes. Explique su razonamiento de acuerdo a las definiciones presentadas en este módulo. 2 - Dé ejemplos de eventos elementales y compuestos. 3 - Escriba sobre cuál es el espacio muestral de los eventos E2, E4, E5 y E7.

29. Repaso de conceptos Observeunvideoderepasodelosconceptosylasreglasdeprobabilidad

30. Referencias Anderson,S.(2006).Estadísticasparaadministraciónyeconomía.(8tvaedición).México:Thomson. NewboldP.(2003).StatisticsforBusinessAndEconomics.(5ta.ed.).NewJersey:PrenticeHall. Bluman,A.G.(2007)Statistics.(6taed.).NewYork:McGrawHill. CursoInteractivodeProbabilidaddelaUniversidaddeCostaRica http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Probabilidad/index.html VideodeRepasoUniversidaddeMálagaEspaña http://campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/tema4/index.html Pruebavirtualdelamoneda http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Azar_y_Probabilidad/comenzando.htm Ejerciciosdeprobabilidad http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ggarrigo/ccaa/hoja1.pdf Ejerciciosdeprobabilidad http://www.math-online.cl/paa/probabilidades.pdf

31. Referencias ReferenciadeL.Paula(2001)IntroducciónalcálculodeprobabilidadesmediantecasosrealesEspaña http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver_texte/prob_spanish.pdf videosgratisdeestadísticas http://sofia.fhda.edu/gallery/statistics/resources.html Referencia http://www.ing.unp.edu.ar/estadisitio/index.html http://descartes.cnice.mecd.es/index.html