2014年10月27日

理论力学 6 点的合成运动 2014年10月27日

6 点的合成运动 6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 6.2 速度合成定理 6.3 加速度合成定理

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 1.定参考系：习惯上把固定在地面上的坐标系称为定参考系，简称定系，以Oxyz坐标系表示。 2.动参考系：把固定在其他相对于地面运动参考体上的坐标系，称为动参考系，简称动系。以O'x'y'z'坐标系表示。 3.动点：所研究的点（运动着的点）。

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动  动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动。  动点相对于动参考系的运动，称为相对运动。  动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。　　动点在绝对运动中的轨迹、速度、加速度，称为绝对轨迹、绝对速度va、绝对加速度aa。　　动点在相对运动中的轨迹、速度、加速度，称为相对轨迹、相对速度vr、相对加速度ar。　　在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度成为动点的牵连速度ve和牵连加速度ae。　

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 动点：动系：定系： AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上下面举例说明以上各概念：

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 直线曲线（圆弧）直线平动相对运动：牵连运动：绝对运动：

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 牵连速度：绝对速度：相对速度：

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 动点：A1（在O'A1摆杆上) 动系：圆盘定系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动动点：A（在圆盘上) 动系：O'A摆杆定系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 若动点A在偏心轮上时动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上）动系：偏心轮　　　　　　AB杆静系：地面　　　　　　　地面绝对运动：直线　　　　　圆周相对运动：圆周（曲线）　曲线（未知）牵连运动：定轴转动　　　平动 [注] 要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 动点的选择原则：一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。动系的选择原则：动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 • 绝对运动与相对运动之间的关系动点M的绝对运动方程为动点M的相对运动方程为动系O'x'y'z'相对定系Oxyz的运动为

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 例：用车刀切削工件的直径端面，刀尖M沿水平轴x作往复运动。设Oxy为定系，刀尖的运动方程为　　　　。工件以等角速度ω逆时针转动。求刀尖在工件圆端面上切出的痕迹。

6.1 相对运动·牵连运动·绝对运动 解：根据题意，需求刀尖M相对于工件的轨迹方程。取刀尖M为动点，动系固连于工件上。则动点M在动系和定系中的坐标关系为将点M的绝对运动方程代入,得所以M相对于工件的轨迹方程

定系：Ｏxyz，动系：　　　，动点：Ｍ z' 绝对运动轨迹 y' M' z x' 相对运动轨迹 y M'1 M,M1 O x 动系上与动点重合的点的绝对轨迹 6.2 速度合成定理三种运动轨迹

定系：Ｏxyz，动系：　　　，动点：Ｍ 6.2 速度合成定理

6.2 速度合成定理 导数上加“～”表示相对导数。牵连速度是牵连点M ´的速度，该点是动系上的点，因此它在动系上的坐标x´，y´，z´是常量。

6.2 速度合成定理 绝对速度牵连速度相对速度　牵连速度—— 动系上与动点重合的那一点在瞬时t的绝对速度，称为牵连速度。　　点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。

6.2 速度合成定理 例：如图，凸轮以等速度v0向右运动，带动杆AB沿铅垂方向运动。试求φ=60°时，杆AB的速度。

6.2 速度合成定理 解：取杆AB上点A为动点，动　　系固连于凸轮上，定系固　　连于地面上。则 va vr φ ve 方向向上。

6.2 速度合成定理 例：曲柄摆杆机构，OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1。

6.2 速度合成定理 解：取曲柄OA上点A为动点，动系固　　连于摇杆O1B上。则 va 设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则其中

6.2 速度合成定理 例：凸轮的偏心距OC=e，凸轮半径R=，并以匀角速度ω绕O轴转动，图示瞬时，OC垂直AC，O, A, B三点公线。求：顶杆AB的速度。解：取杆AB上点A为动点，动系固连于凸轮上。则 30º 方向如图。 6-5，6-9，6-12

6.3 加速度合成定理 一、动参考系为定轴转动时的单位矢量对时间的导数 z 代入上式 A rA k' j' y O rO' i' 代入上式 x 同理得另两式，合写为 (3) (1) (2)

6.3 加速度合成定理 相对速度、相对加速度是动点相对于动参考系的速度、加速度，为常矢量，这种导数成为相对导数。二、加速度合成定理 z 动系：O'x'y'z'，作定轴转动。 z' M 动点：M点。定系：Oxyz。 αe r' r k' j' O' ωe y' i' rO' O y x' x 动点M的相对加速度：

6.3 加速度合成定理 为常量由于牵连点是动系的点，其在动系上的坐标 (4) 动点M的牵连加速度： (5)

6.3 加速度合成定理 (4) (5) (1) 动点M的绝对加速度： (2) (3) (6)

6.3 加速度合成定理

6.3 加速度合成定理 ——科氏加速度令牵连运动为转动时点的加速度合成定理：　　当牵连运动为转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。　　可以证明，当牵连运动为任何运动时上式都成立，它是点的加速度合成定理的普遍形式。

6.3 加速度合成定理 三、关于科氏加速度 1. 科氏加速度ac的大小为 ωe vr θ 2. 方向按右手法则确定 ac 当ωe和vr平行时（θ=0º或180º），ac=0。当ωe和vr垂直时，ac=2ωevr。　　工程常见的平面机构中， ωe是与vr垂直的，此时 ac=2ωevr。

6.3 加速度合成定理 3. 科氏加速度ac是由于动系为转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生的。当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。地理学的规律：北半球的江河，其右岸都受到明显的冲刷。

6.3 加速度合成定理 例：曲柄滑道机构中，曲柄长OA=10cm，绕O轴转动。当φ=30º时,其角速度ω=1rad/s，角加速度α=1rad/s2。求导杆BC的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。

6.3 加速度合成定理 解：取滑块A为动点，动系固连于　　导杆BC上。 ae ata ana φ (1) ar 其中将(1)式在水平、铅垂方向上投影 [注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与平衡方程的投影关系不同

6.3 加速度合成定理 例：凸轮半径R，以速度v0、加速度a0向右运动，带动杆AB沿铅垂方向运动。试求φ=60°时，杆AB的加速度。

6.3 加速度合成定理 解：取杆AB上点A为动点，动系固连于凸轮上。速度分析： vr va φ ve

6.3 加速度合成定理 其中加速度分析：因牵连运动为平动，故有 (1) 将(1)式在n轴上投影，得 n aa art φ ae arn

6.3 加速度合成定理 例：曲柄滑道机构中,导杆上有圆弧滑槽,其半径R=10cm，圆心在导杆上。曲柄OA=10cm，以匀角速度ω=4πrad/s绕 O轴转动。求当φ=30°时导杆CB的速度和加速度。

6.3 加速度合成定理 解：取滑块A为动点，动系固连于导杆BC上。速度分析： va vr ve

6.3 加速度合成定理 加速度分析： atr 因牵连运动为平动，故有 ae anr (1) aa 其中 n 将(1)式在n轴上投影，得

6.3 加速度合成定理 w D E a B C A w0 vr O va ve 例:图示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度w0绕O轴转动。套筒A可沿BC杆滑动。已知BC=DE，且BD=CE=l。求图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。解：以套筒A为动点，动系与BC杆固连绝对速度： va=w0r 牵连速度： ve=vB=wl 相对速度：大小未知，方向沿水平方向由速度合成定理 va= vr+ve作出速度平行四边形如图示。 ve=va=vr=w0r

6.3 加速度合成定理 w D E a ar aa 30o C B A w0 30o O y 绝对加速度：相对加速度：大小未知,方向//BC 牵连加速度：由加速度合成定理将上式向y轴投影解出 6-13,6-14

6.3 加速度合成定理 例1：空气压缩机的工作轮以角速度ω绕O轴匀速转动，空气以相对速度vr沿弯曲的叶片匀速流动。如曲线AB在点C 的曲率半径为ρ，通过点C的法线与半径间所夹的角为φ, CO=r，求气体微团在点C的绝对加速度。

6.3 加速度合成定理 解：取点C处的气体微团为动点，动系固连于轮上。 aay vr 因牵连运动为转动，所以有 aax ar ac (1) ae 其中将(1)式分别在x',y'轴上投影，得

6.3 加速度合成定理 因此绝对加速度的大小和方向为：

6.3 加速度合成定理 例2：曲柄摆杆机构，OA= r , 匀速, OO1=l，图示瞬时OAOO1，求：图示位置摆杆O1B角加速度。

6.3 加速度合成定理 解：取曲柄OA上点A为动点，动系固连于摇杆O1B上。速度分析：

6.3 加速度合成定理 加速度分析： (1) ac ar 其中 aa ate ane n α

6.3 加速度合成定理 (1) 将(1)式在n轴上投影，得 ac ar aa ate ane n α 式中故 α为负值。负号表示图中假设的方向与真实方向相反。

2014年10月27日