CUERPOS DE REVOLUCIÓN

1. CUERPOS DE REVOLUCIÓN

2. DEFINICIÓNUn cuerpo de revolución es un cuerpo generado cuando una figura plana gira alrededor de un eje fijo • TIPOS DE CUERPOS DE REVOLUCIÓN: CILINDRO CONO TRONCO DE CONO ESFERA

3. C I L I N D R O El cilindro es el cuerpo engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

4. r altura ELEMENTOS DEL CILINDRO • Bases: dos círculos iguales y paralelos. • Superficie lateral: la cara lateral no plana, cuyo desarrollo es un rectángulo. • Eje: el lado fijo del rectángulo que, al girar sobre sí mismo, engendra al cilindro. • Radio: el radio de las bases. • Altura: distancia entre las dos bases.

5. CILINDRO OBLICUO

6. ÁREA DEL CILINDRO Al desarrollar un cilindro se obtiene un rectángulo y dos círculos iguales, que constituyen las bases: Área lateral, : Es el área de un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base, 2πr, y la altura, h, es la altura del cilindro o generatriz, g: Área de las bases, : Es la suma de las áreas de las dos bases. Como las bases son círculos, cada una tendrá un área: El área total de un cilindro es la suma del área lateral más el área de las dos bases:

7. VOLUMEN DE UN CILINDRO Un cilindro y un prisma recto con la misma altura, bases de igual área y secciones también de la misma área, según el principio de Cavalieri, tendrán igual volumen. Si el radio del cilindro es r y la altura h, su volumen será:

8. CONO Llamamos cono al cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos

9. radio ELEMENTOS DEL CONO • Altura: la distancia desde el vértice al plano de la base • Generatriz: la hipotenusa del triángulo rectángulo • Radio: el radio de la base • Eje: el cateto fijo del triángulo que al girar engendra el cono • Superficie Lateral : la cara lateral no plana cuyo desarrollo es un sector circular

10. CONO OBLICUO

11. ÁREA DEL CONO El área total de un cono es la suma del área lateral más el área de la base:

12. ÁREA DEL CONOEl área lateral es el área de un sector circular de base 2pr y de altura g: El área de la base es el área de un círculo de radio r, por lo tanto:

13. r VOLUMEN DE UN CONO Un cono y una pirámide de la misma altura e iguales áreas de la base y de las secciones, por el principio de Cavalieri, tendrán el mismo volumen

14. TRONCO DE CONO Un tronco de cono es el cuerpo de revolución engendrado por un trapecio rectángulo al girar sobre el lado perpendicular a sus bases

15. ÁREA DEL TRONCO DE CONO

16. ÁREA DEL TRONCO DE CONO El área lateral es un sector de corona circular que podemos considerar como un trapecio curvilíneo, y aplicando la fórmula del área del trapecio:

17. ÁREA DEL TRONCO DE CONO

18. VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO El volumen de un tronco de cono se calcula como la diferencia de los volúmenes de los dos conos asociados

19. ESFERA Llamamos esfera al cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo al girar sobre su diámetro SUPERFICIE ESFÉRICA es la superficie que cubre la esfera

20. ELEMENTOS DE UNA ESFERA • Radio: Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie esférica • Semiesfera: es una de las partes en la que queda cortada una esfera por un plano que pasa por su centro • Hemisferio: es la porción de superficie esférica de una semiesfera

21. ELEMENTOS DE UNA ESFERA Paralelos: Las circunferencias que se obtienen al cortar una esfera por planos perpendiculares a su eje Meridianos: Las circunferencias máximas que pasan por los polos

22. ELEMENTOS DE UNA ESFERA Segmento esférico – es la porción de esfera que obtenemos al cortar una esfera por un plano que no pasa por su centro Casquete esférico – es la porción de superficie esférica delimitada por un segmento esférico

23. ELEMENTOS DE UNA ESFERA CUÑA ESFÉRICA ZONA ESFÉRICA

24. ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA