1 / 45

1 . INTRODUCERE - PREZENTARE

METODA ELEMENTELOR FINITE - L1 Catedra de Constructii Hidrotehnice. 1 . INTRODUCERE - PREZENTARE. Reprezentarea “lumii reale” prin modele virtuale utilizand aplicatiile pe calculator se regaseste in orice domeniu al ingineriei si proiectarii. Avantajele procedeului:

reese-roberson
Download Presentation

1 . INTRODUCERE - PREZENTARE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice 1. INTRODUCERE - PREZENTARE Reprezentarea “lumii reale” prin modele virtuale utilizand aplicatiile pe calculator se regaseste in orice domeniu al ingineriei si proiectarii. • Avantajele procedeului: • modelele virtuale, bazate pe platforme de calcul comerciale, sunt mai ieftine decat modelele fizice (la scara) analoage; • modelele virtuale permit analize de tip “feed back” (revenire si adaptare/corectare), conducand in final la optimizarea sistemelor ce depind de un numar mare de parametri. Comportarea oricarui sistem fizic poate fi descrisa analitic prin intermediul unor relatii matematice, precum ecuatiile cu derivate partiale sau sistemele de ecuatii diferentiale. Din pacate, pentru problemele practice complexe nu pot fi gasite solutii analitice, fiind disponibile numai cateva solutii clasice ale problemelor particulare, simple, valabile in contextul unor ipoteze simplificatoare.

  2. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice IDEALIZARE SOLUTIE DISCRETIZARE SISTEM FIZIC MODEL MATEMATIC MODEL DISCRET SOLUTIE DISCRETA FEEDBACK – OPTIMIZARE (MINIMIZARREA ERORII) MEF se bazeaza pe descompunerea unui domeniu al lumii reale (sistemul fizic) intr-un numar finit de subdomenii discrete (elemente) conectate intr-un numar finit de puncte (noduri). DISCRETIZAREA conduce la un sistem fizic virtual a carui comportare trebuie sa fie cat mai apropiata de cea a sistemului fizic real, atunci cand sunt atribuite proprietati si conditii de margine similare.

  3. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice (e) (De) (D ) () A(u) =0 B(u) =0 D = domeniul de studiu G= limita domeniului de studiu (frontiera domeniului) De = subdomeniul (element finit) Ge= limita subdomeniului (conturul elementului finit) o= noduri (puncte de conectare a elementelor)

  4. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice • “Ingredientele” produsului comercial MEF: • inginerie - pentru exprimarea sistemelor de ecuatii cu derivate partiale in concordanta cu fenomenul fizic; • metode numerice - pentru construirea si rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice; • limbaje deprogramare si IT - pentru implementarea celor de mai sus • intr-o platforma comerciala, cu interfata prietenoasa. Tipuri de variabile implicate – variabile spatiale 1D - unidimensionale (axa orientata) 2D - doua dimensiuni (plan/suprafata) 3D - trei dimensiuni (volum) - variabile nespatiale temperatura, potential hidraulic, timp

  5. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice • Principalele domeniiale ingineriei civile in care se aplica MEF: • Proiectarea si verificarea structurilor – evaluarea starii de deformatie si eforturi prin analize statice si/sau dinamice; optimizarea componentelor structurale; evaluarea sensibilitatii structurilor la diversi parametri (temperatura, proprietatile materialelor, conditii de margine, etc); • Mecanica rocilor si geotehnica, interactiunea structurilor cu masivul de fundare; • Evaluarea fenomenelor de infiltratie; fenomene termice la structuri masive; • Probleme de mecanica a fluidelor si interactiunea intre fluidul in miscare si structura.

  6. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice 2. RADACINILE SI EVOLUTIA MEF  Fundamentul matematic – Mecanica elementelor structurale discrete – in deceniul 6 al sec. XIX-lea, odata cu dezvoltatea calculului matriceal in Germania si Marea Britanie. Inainte de cel de-al doilea razboi mondial – tehnologia aeronautica si primele masini de calcul mecanice – au dat principalul impuls al utiizarii algebrei matriceale in secvente de calcul complexe. Formularile fundamentale ale Analizei structurale bazate pe calcul matriceal, in functie de necunoscutele primare: - Metoda deplasarilor; - Metoda fortelor. 1959 – Metoda Directa a Rigiditatii (Direct Stiffness Method) – Turner, o metoda generala si eficienta de analiza ce permitea implementarea in algoritmi de calcul automat; premergatoarea MEF.

  7. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Utilizarea elementelor finite de suprafata – aplicata pentru prima oara de Turner, Clough, Martin si Topp. Criterii riguroase de compatibilitate si completitudine au fost formulate de Melosh si Irons (1955 – 1959).   Intre 1950 – 1960 – tot industria aeronautica a fost cea care a impulsionat dezvoltarea MEF. Analize structurale aprofundate pentru optimizarea aerodinamica si necesitatea unor raspunsuri privind fenomenele de flambaj si oboseala au avut un rol important in dezvoltarea metodei. MEF a fost reformulata utilizand principii energetice si variationale – aplicarea teoriei minimizarii reziduurilor ponderate.

  8. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice • Progresele tehnologice ale calculatoarelor • 1951 – primul calculator comercial Univac I; • 1952 Univac 1103, primul calculator cu mediu de stocare sub forma de disc rotativ; • 1953 primul calculator IBM, modelul 701 • Desi abordarea digitala a crescut viteza si performantele de calcul, capacitatea de stocare era foarte redusa. Dezvoltarea limbajelor de programere In stadiul initial al calculului digital, programarea se facea in “cod masina”, nefiind, in principiu, accesibila inginerilor. Dupa 1957 – a devenit disponibilprimul limbaj prietenos dedicat aplicatiilor: limbajul de programare FORTRAN pe calculatorul IBM 704.

  9. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Dupa 1965 MEF a fost acceptata ca metoda generala pentru rezolvarea problemelor descrise de sisteme de ecuatii diferentiale, fiind extinsa la probleme neliniare si nestationare (dependente de timp): analize structurale, mecanica fluidelor, probleme de camp termic, etc. • Atingerea nivelului actual de dezvoltare a MEF (complexitate, acuratete, minimizarea erorii) se bazeaza pe evolutia simultana a urmatoarelor conditii: • imbunatatirii suportului matematic, prin dezvoltarea elementelor finite de inalta precizie si a elementelor finite specializate; • cresterea puterii de calcul prin dezvoltarea spectaculoasa a calculatoarelor (viteza de operare si cantitatea de informatii stocate) ceea ce permite alcatuirea unor modele de calcul din ce in ce mai complexe.

  10. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice “Clasici” ai MEF: M.J. Turner R.W. Clough H.C. Martin L.J. Topp J.H. Argyris C.A. Felippa R.H. Gallagher K.J. Bathé C. Taylor C. O. Zienkiewikz

  11. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Programe de calcul specializate: NASTRAN SAP ANSYS ADINA ABAQUS MARC TITUS

  12. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Interpretarea si verificarea rezultatelor este de importanta vitala. Principalul risc pentru un utilizator neexperimentat: validarea rezultatelor fara verificarea acestora, numai pe baza faptului ca au fost obtinute utilizand un program de calcul consacrat. Utilizatorul MEF trebuie sa gaseasca intotdeauna mijloacele specifice de verificare a rezultatelor. Rezultatele eronate sau probleme de calcul se datoreaza intotdeauna datelor de intrare gresite, a ipotezelor de calcul eronate sau utilizarii necorespunzatoare a comenzilor. Calculatorul nu greseste niciodata !!!

  13. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice 3. NOTATII UZUALE (in ordine alfabetica) [B], B matricea derivatelor functiilor de aproximare [C], C matricea de amortizare [D],D matricea conductivitatii [E], E matricea de elasticitate {},  vectorul deformatiilor specifice {u}, u {},vectorii deplasarilor/grade de libertate {d}, d {F}, F vectorul fortelor {H}, H vectorul potentialului hidraulic [I], I matricea unitate

  14. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice [K], K matricea de rigiditate [M], M matricea maselor [N], N matricea functiilor de aproximare [0], 0 matricea nula {R}, R vectorul incarcarilor {},  vectorul eforturilor unitatre {T}, T vectorul temperaturilor nodale {v}, v vectorul vitezei de infiltratie u, v, wcomponentele deplasarii Ulucru mecanic virtual al fortelor interioare W lucru mecanic virtual al fortelor exterioare x, y, zcoordonatele sistemului de referinta global r, s, tcoordonate normalizate

  15. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice 4. SOLUTII DISCRETE – EXEMPLE SIMPLE MEF este un procedeu de obtinere a unei solutii numerice (aproximare numerica), inlocuind “solutia exacta” a unei probleme exprimate pe un domeniu D. Domeniu D este inlocuit cu reuniunea unor subdomenii distincte si adiacente De(elemente); geometria domeniului D este aproximata de reuniunea subdomeniilor individuale. Functia necunoscuta este aproximata local pe fiecare element, pe baza unei formule de interpolare, exprimata in functie de valorile nodale ale functiei (si, eventual, ale derivatelor sale) – in puncte amplasate pe conturul elementului (noduri).

  16. METODA ELEMENTELOR FINITE – L1Catedra de Constructii Hidrotehnice 1 2 8 3 7  = 2/n ln = d sin (/n) 6 4 5 Calculul perimetrului (lungimii) cercului L = d by prin inlocuirea acestuia cu un poligon inscris cu n laturi. Perimetrul poligonului P = nln se va apropia de lungimea cercului prin cresterea numarului de laturi n (simultan cu reducerea lungimii laturii ln). Diferenta dintre lungimea cercului L si perimetrul poligonului P reprezinta eroarea aproximatiei, e = L – P.

  17. METODA ELEMENTELOR FINITE – L1Catedra de Constructii Hidrotehnice • Daca sistemul fizic poate fi descris analitic printr-un model matematic sub forma unei variable sau functii exacte u(x), aceasta poate fi inlocuita pe domeniul de studiu cu o functie aproximativa ua(x), astfel incat diferenta (eroarea) • e(x) = ua(x) - u(x) • sa fie suficient de mica pentru scopul propus. • Etape pentru definirea functie de aproximare ua(x) : • alegerea unei functii convenabile care depinde de un numar de n parametri ai, • u(x, a1, a2, …, an) • gasirea parametrilor ai astfel incat conditia anterioara sa fie satisfacuta (prin atribuirea unei valori nule erorii in n puncte diferite ale domeniului). Functia de aproximare u(x, a1, a2, …, an) este aleasa in mod obisnuit astfel incat sa permita operatii de diferentiere si integrare simple, deobicei sub forma polinomiala.

  18. METODA ELEMENTELOR FINITE – L1Catedra de Constructii Hidrotehnice APROXIMAREA VARIATIEI UNUI PARAMETRU FIZIC Presupunand ca un parametru fizic poate fi masurat in numai 3 puncte in lungul unui domeniu unidimensional cuprins intre x = 0 and x = 1 (valori discrete). Trebuie gasita o functie de aproximare ua(x) pentru exprimarea valorilor parametrului in orice punct al domeniului . Alegem o functie de aproximare sub forma unui polinom de ordinul 2.

  19. METODA ELEMENTELOR FINITE – L1Catedra de Constructii Hidrotehnice u(x) u(x, a1, a2, a3) = a1 + a2x + a3x2 u(x = 0) = ua(x = 0) = a1 = 10 u(x = 0.5) = ua(x = 0.5) = a1 + 0.5 a2 + 0.25 a3 = 18 u(x = 1) = ua(x = 1) = a1 + a2 + a3 = 12 Cu solutia a1 = 10 a2 = 30 a3 = –28 Functia de aproximare rezulta: ua(x) = 10 + 30x -28x2 Valoarea functie pentru x = 0.75: ua(x = 0.75) = a1 + 0.75 a2 + 0.5625 a3 = 16.75

  20. METODA ELEMENTELOR FINITE – L1Catedra de Constructii Hidrotehnice u ua u4 u2 u1 u(x) u3 uai(x) 1 2 4 3 D1 D2 D3 D x1 x2 x3 x4 APROXIMARE UNIDIMENSIONALA UTILIZAND DOMENII DISCRETE Definirea geometriei noduri: 1, 2, 3, 4 coordinate nodale: x1, x2, x3, x4 domeniul complet: D: x1 < x < x4 domenii discrete D1 : x1 < x < x2 D2 : x2 < x < x3 D3 : x3 < x < x4 Functia de aproximare : uae(x) lineara pe fiecare element Valori nodale cunoscute: u1, u2, u3, u4

  21. METODA ELEMENTELOR FINITE – L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Etape: 1 – identificarea subdomeniilor (elementelor) DeD, DeD; 2 – definirea unei functii de aproximare ua(x)e pe fiecare element, prin aplicarea metodei aproximarii nodale Caracteristici ale metodei de aproximare: 1 – fiecare functie ua(x)e este definita utilizand numai variabilele nodale atasate elementului De; 2 – functia de aproximare ua(x)e trebuie sa fie continua pe sub-domeniul De; 3 - functia de aproximare ua(x)e trebuie sa satisfaca anumite conditii de continuitate la granita intre sub-domenii (elemente)

  22. METODA ELEMENTELOR FINITE – L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Element 1 (D1)ua1(x)= N1u1 + N2u2x1xx2 cu Element 2 (D2)ua2(x)= N1 u2 + N2 u3 x2 x x3 cu Element 3 (D3)ua2(x)= N1 u3 + N2 u4 x3 x x4 cu

  23. METODA ELEMENTELOR FINITE – L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Functiile de aproximareuae(x) si functiile Ni(x) sunt diferite pe fiecare element De. Suma functiilor ua1(x), ua2(x), ua3(x) formeaza functia de aproximare pe domeniul complet D. Observatii: 1. Desi continuitatea functiilor de aproximare uai(x) este asigurata in punctele nodale xi (functiile adiacente au aceeasi valoare), pantele graficelor difera (derivatele au valori diferite); 2. Functia de aproximare poate fi cautata pe domeniul D si sub forma unui polinom de ordinul 3 de forma: u(x) u(x, a1, a2, a3, a4) = a1 + a2x + a3x2 + a4x3 Conform valorilor nodale cunoscute ale functiei, prin cautarea a 4 parametrii ai (coeficientii polinomiali). O aceeasi problema de aproximare poate fi rezolvata fie utilizant functii lineare simple pe domenii discrete, fie prin functii de aproximare de ordin superior pe intregul domeniu.

  24. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice BARAJ BRADISOR – ANALIZA STRUCTURALA

  25. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Model 3D in elemente finite – axonometrie amonte

  26. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Model 3D in elemente finite – axonometrie aval

  27. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Rocă 1 Rocă 2 Rocă 3 a. Vedere amonte b. Vedere aval Model 3D in elemente finite – zonarea materialelor

  28. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Distribuţia presiunii hidrostatice pe paramentul amonte

  29. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Distribuţia maselor adiţionale pe paramentul amonte

  30. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Greutate proprie+presiune hidrostaticâ– deplasări mal drept – mal stâng (ux) (m) Greutate proprie+presiune hidrostaticâ– deplasări amonte - aval (uy) (m)

  31. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Greutate proprie+presiune hidrostaticâ - deplasări verticale (uz) (m)

  32. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice a. Faţa aval b. Faţa amonte Greutate proprie+ presiune hidrostatică - Eforturi principale 1 (KN/m2)

  33. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice a. Faţa aval b. Faţa amonte Greutate proprie+ presiune hidrostatică (GP+PH) - Eforturi principale 3 - (KN/m2)

  34. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Sectiune 1 – 1 (maestră) Seciune 2 – 2 Sectiune 3 - 3 Greutate proprie+ presiune hidrostatică – Eforturi principale 1 (KN/m2)

  35. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Sectiune 1 – 1 (maestră) Seciune 2 – 2 Sectiune 3 - 3 Greutate proprie + presiune hidrostatică – Eforturi principale 3 (KN/m2)

  36. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Greutate proprie + presiune hidrostatică– Eforturi principale 1 (KN/m2) Greutate proprie + presiune hidrostatică – Eforturi principale 3 (KN/m2)

  37. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Dinamic - Lac plin – modul 1 de vibraţie – T1 = 0.270 sec Dinamic - Lac plin – modul 2 de vibraţie – T2 = 0.252 sec Dinamic - Lac plin – modul 3 de vibraţie – T3 = 0.183 sec Dinamic - Lac plin – modul 4 de vibraţie – T4 = 0.147 sec

  38. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice a. Faţa aval b. Faţa amonte Dinamic - greutate proprie+ presiune hidrostatică+cutremur de verificare (GP+PH+MCE) - Eforturi principale 1 (KN/m2)

  39. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice a. Faţa aval b. Faţa amonte Dinamic - greutate proprie+ presiune hidrostatică+cutremur verificare (GP+PH+MCE) - Eforturi principale 3 (KN/m2)

  40. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Sectiune 1 – 1 (maestră) Seciune 2 – 2 Sectiune 3 - 3 Dinamic - greutate proprie+ presiune hidrostatică+cutremur de verificare (GP+PH+MCE) – Eforturi principale 1 (KN/m2)

  41. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Sectiune 1 – 1 (maestră) Seciune 2 – 2 Sectiune 3 - 3 Dinamic - greutate proprie+ presiune hidrostatică+cutremur de verificare (GP+PH+MCE) – Eforturi principale 3 (KN/m2)

  42. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice a. Arc cota +435 mdM b. Arc cota +415 mdM Dinamic - greutate proprie+ presiune hidrostatică+cutremur de verificare (GP+PH+MCE) – Eforturi principale 1 (KN/m2) a. Arc cota +435 mdM b. Arc cota +415 mdM Dinamic - greutate proprie+ presiune hidrostatică+cutremur de verificare (GP+PH+MCE) – Eforturi principale 3 (KN/m2)

  43. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice CLADIRI – ANALIZA STRUCTURALA Structura cladire 2S+P+5E

  44. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Structura cladire 2S+P+4E

  45. METODA ELEMENTELOR FINITE - L1Catedra de Constructii Hidrotehnice Structura cladire S+P+4E

More Related