Logica della vaghezza

1. Logica della vaghezza

2. Carattere “vero-funzionale” dei connettivi classici. • “non”: “¬”

3. Tavola di verità del connettivo “e”: “&”

4. “Se p allora q”: “p q”

5. PARADOSSO DEL SORITE

6. Esempio di ‘sorite’ [da ‘σορος’ = ‘mucchio’] • 1) Un chicco di grano non è un mucchio; • 2) Se un chicco di grano non è un mucchio, allora due chicchi di grano non sono un mucchio; • n) Se n-1 chicchi di grano non sono un mucchio, allora n chicchi di grano non sono un mucchio •  n chicchi di grano non sono un mucchio.

7. 1) Fa1 2) Fa1 Fa2 . . . n) Fan-1 Fan Fan 1) Fa1 2) Fa1 Fa2 . . . 100.000) Fa99.999 Fa100.000 Fa100.000

8. 1) Fx1 2) Per ogni i, FxiFxi+1 • 3) Fxn

9. Argomento • Verità • Validità

10. Concetto di validità. Un argomento è valido quando non si dà mai il caso che, essendo vere le premesse, sia falsa la sua conclusione. Si può paragonare un argomento valido a una macchina, nella quale si inseriscono come input enunciati veri per ottenere come output enunciati veri. La validità è una proprietà della struttura di un argomento; mentre la verità concerne il rapporto di un enunciato con le ‘cose’ cui l’enunciato stesso si riferisce. Un argomento valido può essere formato da enunciati veri, nel qual caso è anche corretto. Se invece almeno una delle premesse è falsa, è scorretto.

11. Valido: proprietà della struttura • Vero: proprietà dei singoli ‘pezzi’ che compongono l’argomento (proposizioni, enunciati)

12. Esempio di argomento valido, ma falso (non corretto) • Se oggi è il 25 dicembre, allora oggi è Natale • Oggi è il 25 dicembre • Dunque oggi è Natale.

13. Alcune ipotesi riguardo al sorite: 1) Si tratta di un argomento invalido 2) L’argomento è valido, ma le premesse sono false (almeno una lo è) 2a) E’ falsa la prima premessa 2b) Sono false le premesse a partire da un numero k compreso tra 2 e n (2≤k≤n) 3) L’argomento è valido, ma proprio ciò mette in luce la non trattabilità delle nozioni vaghe

14. E’ un argomento invalido? Consta di una premessa categorica (la prima) e di n premesse condizionali. Possiamo vederlo come l’applicazione reiterata della regola:  β β nota come modus (ponendo) ponens o ‘regola di separazione’;

15. 1) Fa1 2) Fa1 Fa2 Fa2 [….] 99.999)Fa99.999 100.000)Fa99.999 Fa100.000 Fa100.000 A,AB/B B,BC/C C,CD/D A/C

16. Non sembra plausibile sostenere che è un argomento invalido • Quindi rimane l’ipotesi che sia valido. Si ha perciò o il caso 2) o il caso 3). • Caso 2): • è valido, ma con premesse false. • 2a) E’ falsa la prima premessa • 2b) Sono false le premesse a partire da un numero k compreso tra 2 e n (2≤k≤n). • Caso 3) E’ valido e ciò getta discredito sui predicati vaghi.

17. Caso 2a): è falsa la prima premessa. • Non possiamo concludere nulla circa la verità o falsità della conclusione (da premesse false può seguire una conclusione vera). • E’ questo il caso meno interessante • Possiamo tuttavia assumere che è falso asserire “un chicco di grano non è un mucchio”, in quanto non esistonomucchi.

18. A questo esito, noto in letteratura come ‘nichilista’, porta anche l’ammissione che l’argomento soritico è valido e corretto, vale a dire • tale che è valido e ha premesse vere.

19. Esito ‘nichilista’: i mucchi non esistono. • Gli ‘oggetti’, le ‘cose’ cui facciamo riferimento nella vita ordinaria si dividono in ‘reali’ e ‘convenzionali’. • ‘Mucchio’ è nome di un ‘oggetto costruito’ o convenzionale: non è nome di un oggetto reale.

20. Caso 2b): è falsa almeno una premessa successiva alla prima. • Ciò implica che almeno uno dei condizionali della forma: • Fak Fak+1 • è falso! • Quindi l’antecedente di tale condizionale è vero e il conseguente falso.

21. Ovvero: • Esiste un insieme k di grani che NON è un mucchio, mentre l’insieme k+1è un mucchio. • Esiste un confine preciso tra non esser mucchio e esser mucchio • In termini generali: esiste un confine preciso tra il predicato F e il predicato non-F.

22. Digressione sulla logica classica

23. Logica classica • A) I connettivi logici (‘e’, ‘o’, ‘non’, ‘se…allora…’), sono vero-funzionali • B) Vale il principio di bivalenza: ogni enunciato assume uno e uno solo dei due valori vero (‘1’) e falso (‘0’) • C) Tra le leggi logiche principali, figurano i princìpi di: • non-contraddizione; terzo escluso.

24. Principio di non-contraddizione: • Non( e non-): ~( & ~) • Principio del terzo escluso: • ( o non-): (  ~) • [‘’ è un enunciato qualunque]

25. Semantica dei predicati. • Interpretazione delle espressioni che fungono da predicati nel linguaggio L di riferimento. • Simboli per predicati: P, Q…

26. Un linguaggio L viene interpretato su un dominio D di ‘oggetti’

27. Nella logica classica, l’interpretazione di un predicato P sul dominio D è un sottoinsieme di D perfettamente definito. • P

28. Nel caso di predicati vaghi, tuttavia, l’estensione del predicato ‘P’ non ha confini ben definiti

29. 3 possibili soluzioni al problema del sorite (escludendo il nichilismo): • A) Soluzione epistemica; • B) Supervalutazioni; • C) Logica a infiniti valori.

30. A) Soluzione epistemica: la vaghezza riguarda ‘noi’, non la ‘realtà’. • Mantiene la logica classica. • Perciò, accetta che ai termini vaghi corrispondano effettivamente proprietà perfettamente definite. • Ammette che vi siano punti di confine (aspetto contro-intuitivo).

31. B) Supervalutazioni • Mantiene molta parte della logica classica; • Fa ricorso alla procedura dei raffinamenti; • Non è classica a livello metalogico: viola il principio di bivalenza.

32. Mucchio Mucchio* • Non-mucchio Non-mucchio* • Penombra • Mucchio Mucchio*

33. Enunciati superveri: veri sotto tutti i raffinamenti • Enunciati superfalsi: falsi sotto tutti i raffinamenti • Enunciati veri sotto certi raffinamenti e falsi sotto altri.

34. Girino • 1, 2, 3, 4, 5…….k • Penombra • (k+1) • (k+2) • (k+3) • [….] • Rana • (k+m)………n.

35. Girino 1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1) Girino 1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1), (k+2) Rana (k+3) [….] (k+m)………n. • Rana • (k+2) • (k+3) • [….] • (k+m)………n.

36. Rimane valido il principio del terzo escluso: ~ • k è un girino oppure k non è un girino; • “k è un girino” non è né (super-)vero né (super-)falso, se k si trova nella penombra. Quindi:

37. Viene meno il principio di bivalenza • Ci sono enunciati che non sono né veri né falsi. • Inoltre: • l’asserzione: “esiste un punto in cui k è una rana” è vera, senza però che sia possibile specificare quale sia tale punto (varia infatti con ciascun raffinamento). • Di conseguenza:

38. Un enunciato esistenziale, del tipo: x(Px) sarà super-vero, senza che ‘Pa’, ‘Pb’, ecc. lo siano. • Se infatti a, b, c … appartengono alla ‘penombra’, le asserzioni “Pa”, “Pb”, “Pc” saranno ora vere ora false, a seconda dei raffinamenti, ma mai vere in tutti i raffinamenti.

39. Il predicato ‘P’ ha così un’estensione classica, perfettamente definita, in ciascun raffinamento, ma non in tutti, presi collettivamente (se così si può dire).

40. Se prendiamo i due enunciati ‘penumbrali’ ‘’ e ‘~’, e formiamo la loro congiunzione: • “ &~” otteniamo un enunciato ‘superfalso’ – propriamente una contraddizione.

41. Tuttavia: • Ciascuno dei due enunciati non è né vero né falso. • Dualità con “ ~” che è invece sempre vero (supervero).

42. C) Logica a infiniti valori • Nella logica classica sono coinvolti i due soli valori: vero (0) e falso (1). • Nelle supervalutazioni ci sono enunciati superveri; enunciati superfalsi ed enunciati talvolta veri e talvolta falsi. (Gli enunciati della ‘penombra’ possono essere considerati privi di un valore di verità definito). • Nella logica a infiniti valori, i valori di ciascun enunciato variano nell’intervallo chiuso [0,1].

43. 1) Fa1 2) Fa1 Fa2 • . • . • . 100.000) Fa99.999 Fa100.000 Fa100.000

44. Nel passaggio dalla prima premessa alle successive, la verità di ciascun enunciato diminuisce impercettibilmente, fino a trasformarsi in modo progressivo in una falsità. • E’ come se ciascun premessa, approssimandosi alla conclusione, erodesse un pezzetto di verità, fino a rendere palesemente falsa la conclusione.

45. Problema della vaghezza affrontato da B. Russell (1922-23). • Supervalutazioni: B. C. van Fraassen (1969); K. Fine (1975). • Logiche a più valori: Łukasiewicz (1920).

46. Problemi filosofici: • A) Quali sono le opzioni ontologiche legate a ciascuna delle soluzioni considerate? • B) Ci sono motivi per preferire la logica classica? • C) Il ‘pluralismo’ in logica non apre la strada al relativismo? • D) Le soluzioni del sorite che abbiamo considerato sono le sole possibili o ve ne sono altre a disposizione?

47. Esempio: • Supponiamo che ‘Fa’ e ‘~Fa’ abbiano il medesimo grado di verità. • “Fa & Fa” ha il medesimo grado di verità di “Fa & ~Fa”. • [Confrontare con l’approccio delle superval.]

48. Letteratura di riferimento: • Rosanna Keefe & Peter Smith, Vagueness: A Reader, Cambridge, The MIT Press, 1999 [Paperback; 1997] • Timothy Williamson, Vagueness, London-New York, Routledge, 1994.