Grundvorstellungen aufbauen mit Lernumgebungen

1. Grundvorstellungen aufbauen mit Lernumgebungen MNU Freiburg, 04.04.2012 Ursula Bicker, Pädagogisches Landesinstitut Rheinland-Pfalz

2. Lernumgebungen • Grundvorstellungen • Variablen und Terme • Funktionen

3. Lernumgebungen • „(…) [Eine] Lernumgebung besteht aus einem Arrangement von Unterrichtsmethoden und -techniken sowie von Lernmaterialien und Medien. Sie stellt gleichzeitig aber auch die aktuelle zeitliche, räumliche und soziale Lernsituation dar und schließt letztlich auch den jeweiligen kulturellen Kontext ein.“ Mandl und Reinmann-Rothmeier (1999) • Lernumgebungen für den Mathematikunterricht sind „substanzielle Unterrichtseinheiten“. Wittmann (1992) • Lernumgebungen sind „eine Erweiterung dessen, was traditionell eine Aufgabe ausmacht oder ein flexibles Aufgabenformat. Sie besteht aus einem Netzwerk kleinerer Aufgaben, die durch Leitideen strukturiert und gebunden werden.“ Wollring (2007)

4. Grundvorstellungen • „... einer der größten Fehler des Mathematikunterrichts, dass er zu schnell auf eine formal-regelhafte Ebene aufsteigt und die Dinge auf eine bloß rechnerisch-mechanische Weise erledigt, jedoch verabsäumt, die dahinter liegenden intuitiven und anschaulichen Vorstellungen zu entwickeln.“ (Malle, 2005) • Grundvorstellungen sind die Träger der Bedeutung des mathematischen Inhalts und repräsentieren für das Individuum den Kern des Inhalts. (Blum, Wiegand, 1998) • „Grundvorstellungen sind unverzichtbar, wenn zwischen Realität und Mathematik übersetzt werden soll, d.h. wenn Realsituationen mathemati- siert bzw. wenn mathematische Ergebnisse real interpretiert werden sollen.“ (Blum et al. 2004)

5. Grundvorstellungen • Grundvorstellung: Beziehung zwischen mathematischem Inhalt und den Phänomenen der individuellen Begriffsbildung(vom Hofe, 1995) • Sinnkonstituierung eines Begriffs durch Anknüpfung an bekannte Sach- oder Handlungszusammenhänge z.B. zu einer Aufgabenstellung ein verwandtes Beispiel erinnern, das bereits gelöst ist • Aufbau entsprechender visueller Repräsentationen („Verinnerlichungen“), die operatives Handeln auf Vorstellungsebene ermöglichen z.B. eine Skizze anfertigen, mit der ein Ansatz/Lösungsweg anschaulich wird • Mathematische Modellierungsfähigkeit: Fähigkeit zur Anwendung eines Begriffs auf die Wirklichkeit durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder durch Modellieren des Sachproblems mit Hilfe der mathematischen Struktur. z.B. eine Sachaufgabe in eine Rechnung übersetzen, das Ergebnis interpretieren • Mathematiklernen als Entwicklung eines möglichst ausdifferenzierten Vorstellungsnetzes • Vorstellungen aufbauen • neue Vorstellungen in das bereits bestehende Vorstellungsnetz eingliedern

6. Fehlende Grundvorstellungen 1 kg Mandarinen kosten 1,50 Euro. Kerstin will sich ¾ kg kaufen. Mit welcher Rechnung findest du heraus, wie viel sie zahlen muss? (Kreuze eins oder mehrere an.) 1,5 * ¾ 1,5 : ¾  ¾ * 1,5 Mit welcher Rechnung kann man 2/3 von 36 bestimmen? (Kreuze eins oder mehrere an.) 36 * 2/3 36 : 2/3  2/3 * 36 Test mit 830 SuS, Klassen 7 und 9 Lösungshäufigkeit 14% Test mit 830 SuS, Klassen 7 und 9 Lösungshäufigkeit 35% Finde eine Textaufgabe zur Rechnung 2/3 * ¼ = 2/12 Test mit 830 SuS, Klassen 7 und 9, Lösungshäufigkeit 5% Prediger, Matull 2008

7. Fehlvorstellungen Ungefähr die Hälfte aller Fehler sind auf nicht ausreichende oder nicht adäquat erweiterte Grundvorstellungen zurückzuführen. (Projekt PALMA) Fehlende Grundvorstellungen: SuS greifen zu irgendwelchen auswendig gelernten, aber nie verstandenen mechanischen Rezepten  extrem fehleranfällig  keine Möglichkeit zu einer kritischen Kontrolle des eigenen Vorgehens Bei der Erarbeitung neuer Inhalte vorhandene Vorstellungen überprüfen (z.B. durch Visualisieren mathematischer Inhalte oder Schreiben von Rechengeschichten). Förderung bei Defiziten nur über die Rückgewinnung inhaltlicher Bedeutsamkeit (Schütte 1993) Gibt es einen Bruch, der größer als 1/3 und kleiner als ½ ist? (Lösungsquote 22%)

8. Algebra: Beispiele PISA 2000 Die Funktion mit der Gleichung y = 2x – 1 soll untersucht werden. Berechne zu y = 99 den x-Wert. Multipliziere aus und kreuze die richtige Antwort an! (2x – 3y)² = 4x² - 9y² 4x² - 12xy + 9y² 4x² - 6xy + 9 y² 4x² - 12xy – 9y² 4x² + 6xy + 9y² Lösungshäufigkeit 47,0% Wie kann man „die Hälfte der Zahl a“ schreiben? Kreuze jeweils an, ob die Antwort zutrifft! a/2 ja  nein  a – ½ ½ * a a – a/2 0,5 * a a : ½ ½ a Lösungshäufigkeit 32,1% Löse die Gleichung 4x + 4 = 3x² Lösungshäufigkeit 6,0% Lösungshäufigkeit 13,0%

9. Inhaltliches Denken vor Kalkül • Aufbau tragfähiger und vielfältiger Grundvorstellungen durch geeignete Mustersituationen und Darstellungen als Basis inhaltlichen Denkens; • konsequent im Inhaltlichen verweilen, so dass Lernende mit dem neuen Inhalt zunächst Vertrautheit gewinnen können und selbst ein Bedürfnis nach denkentlastenden Abkürzungen empfinden. Dann kann nach dem Prinzip der fortschreitenden Schematisierung ein Kalkül angeboten werden; • auch nach Einführung des Kalküls immer wieder Rechnungen an inhaltliche Denkweisen rückbinden, damit der Bezug nicht verloren geht; • Aufgaben mit inhaltlichen Bezügen auch in der Klassenarbeit einbauen. Prediger 2009

10. Repräsentationsebenen E-I-S-Prinzip (Bruner) enaktiv – ikonisch – symbolisch Handlung – Anschauung - Verständnis bildhafte Darstellung Fixieren Visualisieren Dynamisieren Symbolisieren Formalisieren Handlungs- erfahrung formale Handlung Konkretisieren Lernerfahrungen sollen so angelegt sein, dass auf Dauer die Über-tragung zwischen allen drei Repräsentationsebenen möglich ist.

11. Begriffsbildung Wir werfen über die Erfahrungswelt ein Netz der Begriffe und suchen sie darin zu fangen. (Frey, 1967) • Wann haben Schülerinnen und Schüler einen Begriff verstanden? • Fähigkeiten im Umgang mit dem Begriff (z. B. „Fähigkeiten zum Problemlösen“) (Weigand et al. 2009) • „Begriffe verstehen, heißt Eigenschaften zu kennen, Beziehungen zu sehen und mit Begriffen arbeiten zu können.“ (Vollrath, Roth 2012) • Voraussetzungen: Grundlegende Kenntnisse zu • Eigenschaften • Beziehungen zu anderen Begriffen. • Sicheres Verstehen: Begriff • in neuen Situationen als relevant erfassen, • für Problemlösungen nutzen, • für neue Erkenntnisse nutzen.

12. Stufen des Begriffsverständnis Vollrath, 1984 • Intuitives Begriffsverständnis(Begriff als Phänomen) • Begriff als Phänomen in der Umwelt und der Mathematik • Inhaltliches Begriffsverständnis(Begriff als Träger von Eigenschaften) • Erfassen von Eigenschaften in verschiedenen Darstellungen • Lösen von Problemen mit Hilfe von Eigenschaften • Integriertes Begriffsverständnis(Begriff als Teil eines Begriffsnetzes) • Erkennen von Zusammenhängen zwischen verschiedenen Eigenschaften • Aufzeigen von Gemeinsamkeiten und Unterschieden • Formales Begriffsverständnis(Begriff als formales Objekt) • Kenntnis verschiedener Definitionen • Anwendung des Begriffs im Rahmen von Beweisen • Strukturelles Begriffsverständnis(Begriff als strukturierbares Objekt) • Kenntnis und Vorstellung von Verknüpfungen in verschiedenen Darstellungsformen • Begründung von Eigenschaften von Verknüpfungen

13. Spiralprinzip Bruner 1976: fundamentale Ideen auf immer höheren Ebenen durchlaufen Wagenschein 1962: exemplarisches Prinzip; Konzentration auf Leitideen Geeignete Methoden: Erarbeitung: Stationenlernen, Experimentieren Reflexion: Strukturieren (z.B. mindmap) Genetisches Prinzip Freudenthal 1976, Winter 1983: Begriffserwerb in charakteristischen Stufen der Abstraktion; dynamisches Bild von Mathematik, „Mathematik als Prozess“ Geeignete Methoden: Erarbeitung: Gruppenxploration, Stationenlernen Präsentation und Sicherung: Ich-Du-Wir Unterrichtsprinzipien Dialogisches Prinzip • Gallin, Ruf 1994 • Austausch zwischen Lernenden, individuelle Standortbestimmung, Rückmeldung durch Lehrperson Geeignete Methoden: • Erarbeitung: Lerntagebücher • Präsentation und Kommunikation: Ich-Du-Wir

14. Hattie-Studie 800 Metaanalysen (über 50.000 Studien) zu Determinanten von Schulleistungen Größte Datenbasis zur Unterrichtsforschung, die es je gegeben hat Konkretisierung der Effekte auf 138 Einflussfaktoren zum Lernerfolg Effektstärken >.40 sind substanziell; entsprechen dem Leistungszuwachs eines Schuljahres Von den 138 Faktoren befinden sich 66 über dem Schwellenwert von .40 Formative Evaluation 0.90 Metakognitive Strategien 0.69 Kooperatives Lernen 0.41 Entdeckendes Lernen 0.30 Teacher Clarity 0.75 Classroom-Management 0.51 Spaced versus mass practice 0.71

15. selbstständiges Arbeiten entdeckendes Lernen sinnvoll strukturiert vielfältige Zugänge Medien, Materialien und Aufgabenstellungen hinreichend offen → wirken differenzierend Hilfestellungen Rahmen (methodisch/sozial) Kommunikation und Reflexion Dokumentation der Ergebnisse Vollrath, Roth (2012) Repräsentationsebenen Begriffsbildung Inhaltliches Denken vor Kalkül Spiralprinzip Genetisches Prinzip Dialogisches Prinzip Ganzheitlichkeit Handlungsorientierung Spaced practice Lernumgebungen Grundvorstellungen

16. Lernumgebungen • Grundvorstellungen • Variablen und Terme • Funktionen Die folgenden Folien (scans aus dem Mathematikbuch Band 3, Klett-Verlag) sind entfernt. Das Buch wurde an die Teilnehmer ausgeteilt.

17. So fängt denn alle menschliche Erkenntnis mit Anschauungen an, geht von da zu Begriffen, und endigt mit Ideen. (Kant, Kritik der reinen Vernunft)