Il triangolo più grande del mondo

1. Il triangolo più grande del mondo Giulio Manuzio con Luis Sartori do Vale Arnaud Bertrand coordinamento Boris Vecchio CircoScienza Ass.Cult.Sarabanda Università di Genova Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

2. Giocoleria con le idee Una applicazione dell’arte di non dare mai nulla per scontato

3. Gauss • Uno dei più grandi geni della storia Carl Friederich Gauss (Brunswick 1777- Gottingen 1855), talvolta indicato come il più grande matematico della modernità, fu un genio precoce le cui capacità vennero presto all’orecchio del duca di Brunswick che lo sostenne e favorì in vari modi. • Per sdebitarsi con il duca, Gauss accettò, tra l’altro, di diventare direttore dell’osservatorio astronomico di Gottingen e poi di occuparsi di problemi di misura del territorio (rilevazione geodesica dell’Hannover)

4. Un sospetto • Fu mentre era immerso in queste ultime attività che gli venne un sospetto: • la misura del territorio si fa con i teodoliti misurando degli angoli e utilizzando il teorema di Pitagora e il fatto che la somma degli angoli di un triangolo vale 180 gradi. • La domanda che Gauss si pose era la seguente: • il teorema di Pitagora, e più in generale le proprietà a noi note dei triangoli, sono applicabili anche a triangoli molto grandi che si estendono su una vasta porzione del territorio e, a maggior ragione, a triangoli i cui vertici sono individuati da corpi celesti?

5. Il lavoro di un genio • Anzitutto, da buon matematico, Gauss affrontò il problema su basi generali e scoprì che lo spazio piatto in cui la somma degli angoli di un triangolo vale sempre 180 gradi è una eccezione e che esiste una infinità di spazi in cui il teorema di Pitagora non è più valido e la somma degli angoli di un triangolo è diversa da 180 gradi • Gli spazi in cui il teorema non è più valido si chiamano spazi curvi, e Gauss individuò dei criteri matematici per definire la curvatura di uno spazio e per studiarne le proprietà. • In secondo luogo fece eseguire delle misure tra le cime di montagne distanti per verificare che, almeno su quelle distanze, la somma degli angoli di un triangolo risultasse essere pari a 180 gradi entro gli errori di misura

6. Spazi piani bidimensionali • Il segmento che congiunga due punti è anche la minima distanza tra tali punti • La somma degli angoli di un triangolo vale 180 gradi • C = 2 p r

7. Uno spazio bidimensio-nale curvo che ben conosciamo: la superficie della terra

8. Le osservazioni di un essere bidimensio-nale che vive solo sulla superficie di una sfera

9. Le osservazioni di un essere bidimensionale insensibile alla temperatura su una superficie piana a temperatura variabileCurvatura sferica

10. Le osservazioni di un essere bidimensionale insensibile alla temperatura su una superficie piana a temperatura variabileCurvatura iperbolica

11. Il dubbio • Il nostro spazio è piatto su piccola scala ma, su grande scala, è forse curvo? • Esiste una variabile nascosta non percepibile dai nostri sensi che cambia la lunghezza dei nostri metri senza che noi ce ne rendiamo conto? • O lo spazio in cui viviamo è curvo per qualsiasi altro motivo?

12. E con la teoria della relatività il dubbio diventa molto più interessante • Per la teoria della relatività: • La geometria dell’intero universo può essere piatta solo se il contenuto medio W di energia e di massa per metro cubo di universo è un numero ben preciso che vale circa W = 10-26 kg/m3 • Per la relatività generale il raggio di curvatura R dello spazio vale infatti, in generale, circa R = 1,6 1052 m/ √(W/10-26-1)

13. Misure recentissime (2002) di un satellite in orbita (WMAP) hanno fornito una risposta esauriente al dubbio di Gauss • Per continuare la discussione ora ci serve un cenno alle vicende che costituiscono la STORIA dell’UNIVERSO

14. La storia dell’universo I punti salienti di nostro interesse sono: • l’universo 13,7 miliardi di anni fa, all’istante del suo inizio (il cosiddetto big bang), era piccolissimo e caldissimo e non ha fatto altro che continuare a raffreddarsi e ad ingrandirsi con il passare del tempo • L’universo ha attraversato tutta una serie di configurazioni profondamente e radicalmente diverse da quella attuale • Prima dell’ultima configurazione l’universo è rimasto, per quasi 380000 anni, in stato di plasma ed era formato da elettroni, protoni, nuclei di elio e da un numero circa un miliardo di volte superiore di fotoni che continuamente interagivano fortissimamente con le altre particelle • L’universo che oggi conosciamo è dovuto alla evoluzione, con il prosieguo del tempo, dell’ultimo cambiamento di configurazione assunta dall’universo 380000 anni dopo il big bang, quando, abbastanza improvvisamente e a causa della diminuzione di temperatura, l’universo ha cessato di essere un plasma ed è diventata possibile la formazione degli atomi che costituiscono l’odierno universo.

15. La storia dell’universo

16. La radiazione fossile • Al momento della transizione, avvenuta 380000 anni dopo il big bang i fotoni, la cui energia media diminuisce al diminuire della temperatura dell’universo, hanno smesso di interagire fortemente con le altre particelle e, da quel momento, non hanno potuto far altro che cominciare a vagare per l’universo senza più interagire con la materia. • L’universo è dunque ancora adesso, 13,7 miliardi di anni dopo, pieno di questa radiazione (si tratta di microonde come quelle dei radar o dei nostri forni di cucina) che noi oggi chiamiamo “radiazione fossile” • Oggi ci sono circa 200 milioni di fotoni della radiazione fossile per ogni metro cubo di spazio dell’universo! • Poiché la radiazione fossile non ha interagito con nulla dal momento della sua origine, essa ancora oggi trasporta informazioni relative al momento di tale origine e quindi informazioni relative all’assetto dell’universo 380000 anni dopo il big bang

17. Temperatura ed espansione dell’universo • La radiazione fossile ha le stesse caratteristiche della radiazione che esce da una cavità chiusa, mantenuta a temperatura costante T, in cui è stato praticato un piccolo foro • E’ questo il motivo per cui si può collegare una temperatura alla radiazione fossile! • La temperatura T della radiazione fossile oggi è di 2,725 K (gradi sopra lo zero assoluto di temperatura - circa - 270 C) • Ma era di circa 3000 K al momento in cui la radiazione fossile ha cominciato a vagare liberamente per l’universo • Il raffreddamento della radiazione fossile è avvenuto in conseguenza del fatto che nel frattempo tutte le dimensioni dell’universo sono aumentate di un fattore dato da 3000/2,725 = 1100

18. Il satellite WMAP - Il satellite WMAP ha misurato le caratteristiche della radiazione fossile, ne ha determinato la temperatura ( i 2,725 gradi sopra lo zero assoluto indicati prima) e ha anche misurato delle piccolissime fluttuazioni di temperatura che dipendono dalla direzione da cui la radiazione proviene - Le fluttuazioni di temperatura sono veramente piccolissime (decimillesimi di grado) ma sono la chiave per rispondere alle domande che prima abbiamo formulato • Si può dire che WMAP ha scattato una fotografia dello stato termico dell’universo come si presentava 13,7 miliardi di anni fa e solo 380000 anni dopo il big bang

19. Il risultato più atteso di WMAPLa foto più antica dell’universo Blu scuro = 2,725300 K ; rosso = 2,725700 K

21. Più o meno tutte le macchie che indicano una fluttuazione hanno le stesse dimensioni L’angolo di cielo sotto cui vediamo tali macchie è all’incirca uguale per tutte le fluttuazioni Una scoperta

22. I risultati di una buona analisi q = 180 / l • spettroWmap.jpg

23. Ma perché?Perché ci sono le fluttuazioni?Perché le loro dimensioni sono distribuite in quel modo?

24. I risultati di una buona analisi q = 180 / l • spettroWmap.jpg

25. Un possibile meccanismo • Le fluttuazioni possono aver avuto origine solo in una frazione di secondo dopo il big bang • Le fluttuazioni consistevano di addensamenti o di rarefazioni locali di materia e di fotoni • La materia contenuta in una fluttuazione tendeva, attraverso il fenomeno della gravità, ad attirare materia e fotoni verso il centro, ma • i fotoni contenuti in una fluttuazione tendevano ad espanderla per effetto della pressione di radiazione che i fotoni esercitano • Si trattava di sistemi non in equilibrio che si espandevano e si contraevano attorno alla loro posizione di equilibrio • L’universo vibrava come vibra l’aria per causa di un suono • Al momento del disaccoppiamento ogni fluttuazione è stata sorpresa in qualche momento della sua oscillazione

26. Un possibile meccanismo • La maggior parte delle fluttuazioni non è riuscita però a compiere delle oscillazioni complete ed ha continuato a crescere (espansione e raffreddamento) o a contrarsi (contrazione e riscaldamento) per 380000 anni. • La crescita e la contrazione avvengono con la velocità con cui varia di dimensioni un gas di fotoni e dunque ad una velocità c/√3 • Al momento del disaccoppiamento dalla materia le dimensioni di tali fluttuazioni erano dunque • (3 108/√3 m/s . 380000 . 3 107s) = 2 1021 m • A partire da quel momento l’estensione delle fluttuazioni è cresciuta insieme all’universo espandendosi di circa 1100 volte (così come qualsiasi altra dimensione) • Perciò oggi la loro estensione vale: h = 1100 . 2 1021 m = 2,2 1024 m

28. Un calcoletto • Noi oggi riceviamo su WMAP la radiazione che proviene da strutture di queste dimensioni e che distano da noi 13,7 miliardi di anni luce e dunque: l = 1,2 1026 m • Perciò se lo spazio non ha curvatura noi dobbiamo osservare le strutture dovute alle fluttuazioni sotto un angolo h/l = (2,2 1024 / 1,2 1026) radianti = 1 grado • Sotto un angolo minore se lo spazio ha curvatura iperbolica; maggiore se ha curvatura sferica

29. I risultati di una buona analisi q = 180 / l • spettroWmap.jpg

30. Il triangolo più grande del mondoè molto prossimo ad un triangolo tracciato in uno spazio piatto (1%)Anche a scale confrontabili con le dimensioni dell’universo lo spazio appare piatto Sembra che il problema di Gauss abbia una soluzione banale

31. Ma la soluzione apparentemente banale solleva molti più problemi di quanti non sembra risolverne La teoria della relatività prescrive infatti che lo spazio possa essere piano solo se la densità media della materia e dell’energia vale un numero esatto molto prossimo a 10-26 kg/m3(intanto abbiamo pesato il mondo!)

32. Ma perchè • Perché tra tutti gli infiniti universi variamente curvi che sono possibili il nostro è piano? • Come è potuto succedere che la densità media della materia e dell’energia abbia assunto, tra gli infiniti valori possibili, proprio il valore che rende piatto lo spazio?

34. E ancora • Perché analizzando i dati di WMAP e di altri esperimenti fondamentali si trova che la composizione in materia e in energia dell’universo deve essere quella indicata in figura?

35. La soluzione è prevista per ilFUTUROEnd

36. Composizione dell’universo al variare del tempo

37. Alla PENZIAS E WILSON Blu scuro = 0 K ; Rosso = 4 K ; quel verde = 2,725 K