第３回　 CV におけるエピポーラ幾何

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp ＣＶの幾何学的解析に必要な数学 • 線形代数 • 射影幾何学：　非ユークリッド幾何学の一種３次元空間と投影点との１対１対応を無限遠の世界まで拡張　　←投影（透視）画法の理論（１５C)から発展 ※幾何学(geomtry) : 変換(transformation) ＆空間(space) 射影空間：　ユークリッド空間＋無限遠要素

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 無限遠点無限遠直線無限遠平面無限遠要素

鉄道線路における無限遠点

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 射影幾何の対象

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 結合の公理と双対原理共線：同一直線に結びつく点の集合共点：同一点に結びつく直線の集合 • 結合の公理・１点と１直線は結びつかない・全ての直線は少なくとも異なる３点と結びつく・異なる２点に対しこれらと結びつく直線が1つ存在する・異なる２直線に対しこれらと結びつく点が1つ存在する • 双対原理射影平面上で成立する命題の点と直線、直線と点を入れ替えた命題も成立

A’ A P R B B’ Q C’ C パップスの定理　ｖｓ．中線定理パップス：アレクサンドリア生まれの数学者（エジプト）　４C前半に活動　直線 m 上に点 A，B，C を，直線 m‘上に点 A’，B’，C’をとる．この時， AB’とA’B，BC’とB’C，CA’とC’Aの交点を P，Q，R とすると，この3点P，Q，Rは 1 直線上にある． m m’

パップスの定理の双対定理 　点 M を通る直線を a，b，c ，点M’を通る直線をa’，b’，c’ とする．この時，aとｂ‘の交点とa’とbの交点を通る直線をp, bとc‘の交点とb’とcの交点を通る直線をq, cとa‘の交点とc’とaの交点を通る直線をr, 　とするとき，この3直線p,q,rは 1 点で交わる．

デザルグの定理の双対定理＝デザルグの定理の逆　　　　　　　　　　　　　　　　　　（自己双対）デザルグの定理の双対定理＝デザルグの定理の逆　　　　　　　　　　　　　　　　　　（自己双対） ← X：X１ X’１　　 Y：X2 X’2Z：X3 X’3 G.デザルグ：フランスの数学者　射影幾何学の基本概念確立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１７C前半に活動デザルグの定理同一平面上に無い２つの三角形　⊿X１X2X3 と⊿X’１X’2X’3において， X１ X’１とX2 X’2とX3 X’3が一点で交わる時，直線X１ X２と直線X’１ X’2 ，直線X２ X３と直線X’２ X’3 ，直線X3 X1と直線X’3 X’1の交点を各々X,Y,Zとすると，X,Y,Zは同一直線上にある．

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp X 1直線を通る L11,l22,l33:1点で交わる Y Z デザルグの定理の図示幾何学的意味：　透視変換で結びつく三角形の対応する　　　　　　　　　　　　辺の交点は全て一直線上に存在する

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp ３（４）種類の座標系 • 画像座標系 ○ （一般）ディジタル画像座標系 ○正規化（ディジタル）画像座標系 • カメラ座標系　 • 世界座標系

世界座標系 ３次元空間を表現する３次元直交座標系 Z 原点：　基準位置に設定 Y X

カメラ座標系 カメラ（視点）に固定された３次元直交座標系～　世界座標系における局所座標系 Y X Z 原点：　カメラの焦点

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp ディジタル画像座標系画像上の点を表現する２次元座標系 • 左上が原点 u≧0, v≧0 • (u, v)：　ディジタル画像座標 • u軸とv軸は必ずしも直交しているとは限らない　ｖｓ正規化カメラ

世界座標系→カメラ座標系 第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp カメラの外部変数（extrinsic parameters)：　６個Ｓｍ’= PMｃ’= PDMw’ ≡ PwMw’　（Pw=PD) (world coordinate system) RRt = RtR = I 又は D:剛体変換(rigid transformation)

カメラ座標系→ディジタル画像座標系 ピンホールカメラモデルを利用～　針穴写真機

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 中心投影モデル • 画像平面後置型C:　レンズ中心、　　　焦点(Focus)F: 焦点面　　ｆ：焦点距離Z:　光軸　　ｃ：画像中心 • 画像平面前置型 C-XYZ座標系：カメラ座標系(camera coordinate system)

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 斉次座標表現： [x,y,１] [x,y,z] ～　 [λx, λy, λz]λ∈Rと見なす．この場合， [x,y,z] はその比x/z，y/ｚ，１によって定まるため，平面上の点(x,y）と[x,y,１] を１対１に対応付ける．

第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 拡張ベクトル　　　ｍ‘ 射影行列P 中心投影の射影行列 s: スカラー量 sｍ’= PM’

正規化カメラとカメラの内部変数 第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 未知パラメータ　5個：画像中心cの位置(u0,v0)各軸のスケールと焦点　距離fの積　αu αｖ両軸の角度Θ（intrinsic parameters) 正規化画像座標系（ｆ＝１）カメラ校正 (camera calibration):カメラの内部変数を推定すること

射影モデル1：　中心投影 第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 線形近似中心(透視）投影 (perspective projection): 非線形 x=X/Z　ｙ=Y/Z(f=1)

射影モデル２：　平行投影 第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 平行投影 (orthographic projection): 物体の位置に　非依存 x=X　ｙ=Y

射影モデル３：弱中心投影 第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 弱中心投影 (weak perspective projection): 光軸に近い時に良い近似 x=X/Zc y=Y/Zc Zc: 物体重心Gの奥行き（定数）中心投影の０次近似

射影モデル４：平行透視投影 第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp 直線GCに平行に射影平行透視（擬似中心）投影 (paraperspective projection): 光軸と同じ側の時に良い近似 x=1/Zc{X-(Xc/Zc)Z+Xc} ｙ=1/Zc{Y-(Yc/Zc)Z+Yc} (Xc,Yc,Zc）: Gの位置（定数）　　中心投影の１次近似

射影モデル（一般化） 第３回　 CVにおけるエピポーラ幾何mutty@ics.kagoshima-u.ac.jp アフィン投影(affine projection): 各線形近似投影の一般化 x = a11X + a12Y + a13Z + a14ｙ = a21X + a22Y + a23Z + a24

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