O ESTUDO DAS PIRÂMIDES

1. O ESTUDO DAS PIRÂMIDES INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (UERJ) 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

2. A pirâmide é considerada um dos mais antigos sólidos geométricos construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a pirâmide de Quéops, construída em 2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que pode ser comparado a um prédio de 50 andares. Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da pirâmide egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o conceito geométrico de pirâmide é um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono. As figuras abaixo representam pirâmides:

3. UMA DEFINIÇÃO SIMPLES: Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e cujas faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.

4. Uma pirâmide diz-se reta, se o projeção do vértice da pirâmide coincide com o centro da base. Uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular diz-se uma pirâmide regular. Quando a projeção do vértice não coincide com o centro do polígono da base, diz-se que a pirâmide é oblíqua.

5. A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que passa por V (vértice). Uma pirâmide é regular se a base é um polígono regular e as faces laterais são triângulos isósceles iguais. Com isso o pé da altura é o centro do polígono da base, como mostram as figuras abaixo.

6. A altura de cada uma das faces laterais é denominada de apótema da pirâmide. É evidente que, sendo a base um polígono regular, este também tem um apótema, a que se chama apótema da base. 

7. ÁREAS DA PIRÂMIDE • Pirâmide Irregular • É claro que se uma pirâmide for irregular, a sua área lateral será igual à soma das áreas de todos os triângulos que são as suas faces laterais. Nesse caso a área total será igual à soma da área lateral mais a área da base. 2) Pirâmide Regular Para as pirâmides regulares, como todos os triângulos que formam as faces laterais são isósceles e congruentes, podemos obter uma fórmula para o cálculo da área lateral. 1) Área de uma das faces laterais: 2) Área lateral: (lembre-se que são n faces iguais)

8. Na fórmula da área lateral, p representa o semi-perímetro da base e m é o apótema da pirâmide regular. 2) Área Total: A área total, como é a soma da área lateral com a área da base, será igual a:

9. O VOLUME DE UMA PIRÂMIDE VOLUME DO PRISMA= B . H VOLUME DA PIRÂMIDE = B . H 3 MAS SERÁ QUE TAL FÓRMULA SÓ VALE NAS PIRÂMIDES DE BASES TRIANGULARES?

10. Note que o prisma de bases triangulares pode ser subdividido em três pirâmides de mesmo volume. Dessa forma, o volume de cada uma delas é igual à 1/3 do volume do prisma.

11. Podemos, por exemplo, imaginar um cubo (prisma) subdividido em 6 pirâmides de base quadrada. Cada face do cubo é a base de uma dessas pirâmides. O centro do cubo é o vértice de todas as pirâmides. Percebemos ainda que a altura do cubo (sua própria aresta) é igual ao dobro da altura de uma das pirâmides (h), ou seja H = a = 2 h. Sabemos que o volume do cubo (a3) pode ser também ser representado por B . H, onde B representa a área de sua base e H representa a sua altura. Notamos também que a base de uma das pirâmides é igual à base do cubo.

12. O volume de uma dessas pirâmides é igual ao volume do cubo, dividido por 6, logo: OBS: No caso de uma pirâmide de base qualquer, podemos imaginar a sua base subdividida em n triângulos e a pirâmide, repartida em n pirâmides triangulares. Logo, o volume da pirâmide será igual à soma dos volumes dessas n pirâmides. Isso acarretará que o volume de QUALQUER pirâmide possa ser calculado como: