Toky v sie ťach a optimalizácia osadzovacieho automatu

1. Toky v sieťach a optimalizácia osadzovacieho automatu Katarína Cechlárová (Košice) Tamás Fleiner (Budapest)

2. SMT technológia obrovský pokrok v porovnaní s manuálnym osadzovaním Katarína Cechlárová

3. Schéma osadzovacieho automatu Zásobníky na integrované obvody Pohyblivý pás – premiestni DPS do pracovnej pozície Zásobníky na malé súčiastky Osadzovacia hlavica: 4 vákuové trysky CCD kamera Katarína Cechlárová

4. Rôzne typy zásobníkov Katarína Cechlárová

5. Zásobník na integrované obvody a DPS v pracovnej pozícii Katarína Cechlárová

6. Osadzovacia hlava s vákuovými tryskami Katarína Cechlárová

7. Optimalizácia osadzovacieho automatu zahŕňa optimálny výber • typov trysiek • priradenia trysiek na pozície v osadzovacej hlave • priradenia súčiastok do zásobníkov • postupnosti osadzovaných súčiastok • viacero vzájomne súvisiacich problémov, z nich sú mnohé ťažké už samy o sebe Katarína Cechlárová

8. Predpokladáme • priradenie súčiastok do zásobníkov je dané • priradenie trysiek na pozície v osadzovacej hlave je dané Osadzovací cyklus: • každá tryska naberie jednu (alebo žiadnu) súčiastku • hlava prejde ponad CCD kameru • hlava uloží súčiastky na ich pozície na DPS Chceme optimalizovať: • počet osadzovacích cyklov = nečinné trysky Katarína Cechlárová

9. Organizácia osadzovacieho cyklu Katarína Cechlárová

10. Lepšia organizácia toho istého osadzovacieho cyklu Katarína Cechlárová

11. hrana (i, j): ak tryska j vie nabrať súčiastku typu i t trysky typy súčiastok Model toku v sieti na minimalizáciu počtu osadzovacích cyklov s kapacita hrany (s,i): počet súčiastok typui kapacita hrany(j,t):  Katarína Cechlárová

12. t Interpretácia toku Veľkosť toku = počet súčiastok tok na (i, j): počet súč. typu iosadených tryskouj s tok na(s,i):je rovný kapacite = všetky súčiastky boli osadené tok na(j,t):počet súč. osadených tryskouj počet osadz. cyklov= maximum tokov po hranách(j,t) Katarína Cechlárová

13. Problém toku so sledovanými hranami Dané: • sieť N=(V,E,s,t,b) • predpísaná veľkosť toku v • množina hrán FE (sledované hrany) Tok x:E R v sieti N je • prípustný, ak x(e) b(e) pre každú hranu eE • prijateľnýak je prípustný, celočíselný a má veľkosť v Cena toku x: Katarína Cechlárová

14. Parametrický prístup k toku so sledovanými hranami • N(): kapacity hrán v F položíme rovné  • Optimálna cena toku = minimálne  také, že v N() existuje tok veľkosti v • Aplikácie parametrického toku: • rozvrhovacie problémy (Chen 1994, Serafini 1996) • problém eliminácie baseballového tímu (Gusfield a Martel 1992) • problém výberu (Brumelle, Granot, Liu 1995) Katarína Cechlárová

15. Algoritmus (Newtonov) • postupne zvyšuj hodnotu parametra, kým úloha nebude mať prípustné riešenie • nelineárne zlomkové programovanie (Dinkelbach 1967) • zlomková kombinatorická optimalizácia (Radzik 1992) V našom prípade • postupne zvyšuj kapacity sledovaných hrán a hľadaj maximálny tok v sieti N(): • veľkosť toku bude rásť, kým sa dosiahne v • koľko zväčšení cieľovej kapacity bude potrebných? Katarína Cechlárová

16. Terminológia a označenie • v(N)=veľkosť maximálneho prípustného toku v N • s-t rez+(X):množina hrán, opúšťajúcich množinu XV takú, že sX,tX • kapacita rezu+(X): súčet kapacít jeho hrán • Veta o maximálnom toku a minimálnom reze (Ford a Fulkerson 1956):Veľkosť ľubovoľného prípustného toku nie je väčšia ako kapacita ľubovoľného s-t rezu. Navyše, veľkosť maximálneho toku je rovná minimálnej kapacite rezu. Katarína Cechlárová

17. Rezy v parametrizovanej sieti Sieť N(): kapacity hrán v F položíme rovné  v(): maximálna veľkosť prípustného toku vN() P(): množina všetkých rezov min. kapacity vN() kapacita rezu +(X) vN(): kapacita nesledo-vaných hrán počet sledo-vaných hrán Katarína Cechlárová

18. O koľko je nutné zvýšiť cieľovú kapacitu? Veta 1.Nechje také, že v()<v. Potom • Ak existuje v N()rez, neobsahujúci žiadnu sledovanú hranu, tak v N neexistuje žiaden prijateľný tok. • Ak každý minimálny rez v N() obsahuje aspoň jednu sledovanú hranu a ak v N existuje prijateľný tok, tak Katarína Cechlárová

19. Veta 2.Nechje také, že N()<v a nech každý rez v P() obsahuje aspoň jednu sledovanú hranu. Nech +(X) je ľubovoľný rez minimálnej kapacity vN(). Položme Potom Katarína Cechlárová

20. Zložitosť algoritmu. Veta 3.Na nájdenie optimálneho prijateľného toku v individuálnej úlohe (N,F,v) alebo získanie certifikátu, že žiaden prijateľný tok neexistuje, stačí O(q) výpočtov maximálneho toku. Goldberg-Tarjanov algoritmus: O(pq log(p2/q) Gallo,Grigoriades,Tarjan (1989), McCormick(1997): O(pq log(p2/q) krokov stačí na celý algoritmus (špeciálne prípady: bipartitne siete, sledované len hrany incidujúce s t, stromová štruktúra) Otázka:Je možná taká istá zložitosť všeobecne? Katarína Cechlárová

21. Príklad siete: v=20 Katarína Cechlárová

22. 4 4 4 Sieť pre0=0 Katarína Cechlárová

23. 8 5 8 5 3 2 8 5 3 8 8 9 4 5 4 N(1) pre2=8 Katarína Cechlárová

24. 11 3 11 3 3 2 11 6 4 11 11 9 4 5 4 N(2) pre2=11 Minimálny rez neobsahuje sledované hrany, veľkosť toku=18  neex. prijateľný tok Katarína Cechlárová