DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół nr 1 im. Noblistów Polskich • ID grupy: 97_30_MF_G1 • Opiekun: Agnieszka Wójcicka • Kompetencja: • Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • „Paradoksy nieskończoności” • Semestr/rok szkolny: Semestr V rok szkolny 2011/2012

3. Paradoksy w naszym otoczeniu Zauważenie, ze zmysły nas „oszukują” było, przypuszczalnie, jedną z ważnych inspiracji do rozwoju nauk empirycznych. Oto kilka paradoksów percepcji: Wzrok każe uznać, ze szyny kolejowe gdzieś tam daleko sie przetną Czy miałeś ostatnie słowo w „rozmowie” z echem? Jakie są podstawy podziału zapachów na przyjemne oraz wstrętne? Uwarunkowane ewolucyjnie czy społecznie? Podobne pytania dla zmysłu smaku, dotyku, równowagi. Dysonansy percepcyjne (niespójne informacje różnych zmysłów). Pewne substancje wpływają na percepcje. Ale: w stanie deprywacji sensorycznej również możemy mieć pewne doznania zmysłowe.

4. Czym jest więc paradoks nieskończoności? • PARADOKS – twierdzenie sprzeczne z powszechnie przyjętym, podane w błyskotliwej formie • NIESKOŃCZONOŚĆ – pojęcie używane dla wyrażenia wielkości dowolnie dużej; symbolem nieskończoności jest znak ∞

5. KALENDARIUM

8. KILKA WAŻNYCH ZAGADNIEŃ

9. Moc zbioru (inaczej liczba kardynalna) to ilość elementów w zbiorze. Moce mogą również być nieskończone.B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} <-- moc zbioru B wynosi 8.

10. Rachunek różniczkowy i całkowydział matematyki utworzony dzięki Newtonowi i Leibnizowi, zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej (czyli takiej, o której uczymy się na lekcjach matematyki) lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcia pochodnych i całek. Działanie można wyjaśnić na przykładzie: przykładamy jedną dłoń do drugiej i sprawdzamy czy mamy tyle samo palców. Już w 1638 roku Galileusz zauważył, że zbiór liczb naturalnych i parzystych mają taką samą moc.Później dowiedziono, że zbiory liczb wymiernych i naturalnych są równej mocy, natomiast zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych nie.

11. Georg Cantor - teoria mnogości (teoria zbiorów) • Dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne. Cantor dowiódł jednak, że zbiór liczb naturalnych jest wprawdzie tej samej mocy co zbiór liczb algebraicznych, ale już nie tej samej co zbiór liczb rzeczywistych. • Cantor uważał nieskończoność potencjalną za niezasługującą na miano nieskończoności. Rozróżniał następujące rodzaje nieskończonosci aktualnej: • nieskończoność absolutną (Absolut) - realizowana tylko w Bogu • nieskończoność w świecie stworzonym • nieskończoność in abstracto - będącą wielkością matematyczną.

12. RÓŻNE DEFINICJE NIESKOŃCZONOŚCI

13. Arystoteles wyróżnia nieskończoność potencjalną i aktualną.Nieskończoność potencjalna- informacja, że do zbioru (0, ) należą dowolnie duże liczbyNieskończoność aktualna– konkretnym byt bez granicy, niepoliczalny i nieskończony. Blaise Pascal wprowadza pojęcie nieskończoności wielkości i nieskończoności małości. „Jakkolwiek bowiem prędki byłby jakiś ruch, możemy sobie wyobrazić ruch jeszcze prędszy, ten z kolei przyspieszyć jeszcze bardziej i tak dalej w nieskończoność. Nie dojdziemy przy tym nigdy do takiego ruchu, którego nie można by już dalej przyspieszyć. Także i w przeciwnym razie, jakkolwiek powolny byłby jakiś ruch, można go jeszcze zwolnić, potem znowu – i tak dalej w nieskończoność i nigdy nie osiągniemy tak znikomej prędkości, by nie można było przejść nieskończenie wielu jeszcze mniejszych, nie dochodząc jednak do stanu spoczynku”.

14. Immanuel Kant„To, co nieskończone, jest tą wielkością spośród innych, która nie zmniejsza się poprzez odcięcie części skończonej”, co oznacza, że wielkość, od której odejmowano, pozostaje po odjęciu części skończonej taka sama. Bernard Bolzane„O tym, że to, co nieskończone, przeciwstawiało się wszystkiemu, co jest skończone, mówi już sam termin. Okoliczność, że nazwę pierwszego – nieskończony – wywodzimy z nazwy drugiego, wskazuje nadto, że również pojęcie nieskończoności przedstawiamy sobie jako takie, które wyłania się z pojęcia skończoności dopiero przez dodanie nowego składnika (takim jest zresztą samo pojęcie zaprzeczenia)”

15. PRZYKŁADY

16. Dychotomia Sprinter ma do przebiegnięcia skończony dystans. Zanim jednak pokona całą odległość musi najpierw dobiec do 1/2 długości, ale zanim dobiegnie do 1/2 musi najpierw dobiec do 1/4, ale zanim dobiegnie do 1/4 musi najpierw dobiec do 1/8, i tak w nieskończoność. Wynika z tego, że biegacz ma do przebycia nieskończoną liczbę odcinków o skończonej długości. Ponieważ nie da się pokonać nieskończonej liczby odcinków w skończonym czasie, biegacz nigdy nie ukończy biegu. Co więcej, biegacz nie może nawet zacząć biegu, bo ten sam paradoks stosuje się również do dystansu dowolnie zmniejszonego: tak samo, jak nie da się (według powyższego rozumowania) dobiec na dystans 100 m, nie da się również na dystans jednego metra ani na dystans jednego milimetra.

17. Achilles i żółw Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu "ucieknie" pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość.

18. Hotel Hilberta Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój. Wydawałoby się, że sytuacja jest bez wyjścia i musimy klienta odprawić z kwitkiem. Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: Klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd. Ogólnie można powiedzieć że dokonujemy przekwaterowania klientów z pokojów n do pokojów n+1. W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta...

19. Będąc portierem w naszym nieskończonym hotelu mamy nawet jeszcze więcej możliwości. Nawet jeśli przyjedzie do nas nieskończona (ale przeliczalna) liczba autobusów z nieskończoną (przeliczalną) liczbą klientów w każdym z nich, to nadal możemy ich wszystkich zakwaterować dokonując kolejnego, nieco bardziej złożonego triku z zamianami pokojów: Najpierw trzeba opróżnić pokoje hotelowe z nieparzystym numerem poprzez chwilowe umieszczenie ich gości w np. autobusie nr 1. Klientów z autobusu nr 1 umieszczamy w międzyczasie w pokojach z numerami 3n, gdzie n to np. numery miejsc w autobusie (wszystkie te pokoje będą oczywiście nieparzyste, czyli już wcześniej opróżnione). Potem umieszczamy klientów z autobusu 2 w pokojach o numerach 5n. Następny autobus pójdzie do pokojów 7n. Ogólnie, będziemy umieszczali klientów kolejnych autobusów w pokojach m(n)n gdzie m(n) to kolejne liczby pierwsze. Potęgi liczb pierwszych większych od 2 są nieparzyste, a że zbiory kolejnych potęg liczb pierwszych są parami rozłączne, więc nie ma ryzyka, że poślemy nowych klientów do już zajętych pokojów. Wreszcie klientów, wcześniej wykwaterowanych z pokojów nieparzystych, wysyłamy do pokojów o numerach m(n+1)n i wszyscy są już szczęśliwi...

20. Opisany tu paradoks tak naprawdę nie jest sprzeczny z logiką, lecz tylko z intuicyjnym pojmowaniem liczby elementów w zbiorach nieskończonych. Pokazuje on tylko, że moc przeliczalnych zbiorów nieskończonych jest zawsze jednakowa, nawet wtedy gdy dany zbiór jest podzbiorem innego zbioru. Np. zbiór liczb nieparzystych ma taką samą moc (jest równoliczny) ze zbiorem liczb naturalnych, mimo że jest jego podzbiorem.

21. Paradoks sumy nieskończonej Paradoksów dotyczących sum nieskończonych powstało bardzo wiele. Sytuacja została uporządkowana przez teorię szeregów liczbowych zainicjowaną przez Newtona i uzupełnioną przez Cauchy’ego definicją sumy szeregu liczbowego. Czy zero równe jest jedności? 0 = 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... 0 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... + (1 − 1) + ... 0 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... + 1 − 1 + ... 0 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... + (−1 + 1) + ... = 1 0 = 1

22. Paradoks Proklosa „Średnica dzieli koło na dwie równe części. Jeżeli jednak za pomocą jednej średnicy powstają dwa półkola i jeżeli przeprowadzić przez środek nieskończenie wiele średnic, to okaże się, że półkoli będzie dwa razy więcej niż nieskończenie wiele. ”Tak Proklos w komentarzu do I księgi „Elementów” Euklidesa, zauważył że zbiór nieskończony może mieć tyle samo elementów co jego część. Czy dwa razy nieskończoność równa się nieskończoność?

23. Paradoks Galileusza W dziele „Discori” Galileusz zauważa, że liczb kwadratowych postaci 1, 4, 9, 16,... Jest tyle samo co liczb naturalnych 1, 2, 3, 4,..., co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.