Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.1

1. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.1 Frontespizio del trattato di algebra di Al-Khwarizmi

2. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.2 Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 nel trattato di algebra di Al-Khwarizmi.

3. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.3 Risoluzionedell’equazione x2+10x = 39 dalla versione latina di G. Libri (1838) Il problema è che questo censo (x2) e dieci radici (10x) sono uguali a 39 dracme. Sia quindi una superficie quadrata di lati sconosciuti, la quale è il censo, il quale e le radici del quale vogliamo conoscere: sia essa la superficie a.b e ciascuno dei lati del quadrato è la sua radice. Si moltiplica ciascun lato del quadrato per un certo numero (un segmento), allora il numero (un’area) che è stato aggiunto è il numero delle radici (10) che sono proprio la radice di quella superficie.

4. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.4 Risoluzione dell’equazione x2+10x = 39 dalla versione latina di Libri (segue) Dopo che si è detto che con il censo ci sono dieci radici, prenderò la quarta parte di dieci, che è 2,5. E farò la superficie con ciascun quarto e con uno dei lati della superficie del quadrato [sta costruendo un rettangolo su ciascun lato del quadrato]: ci saranno dunque con la prima superficie, che è la superficie a.b quattro superfici uguali, la lunghezza di ciascuna delle quali, è uguale alla radice di a.b, e la larghezza è 2,5; le quali sono le superfici g. h. t. k. Alla radice della superficie che è di lati uguali e ignoti (cioè il quadrato che sta costruendo come completamento di quello iniziale a.b), manca ciò che è tolto dai 4 angoli.

5. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.5 x2+10x = 39

6. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.6 x2+10x = 39 Il quadrato ab ha area x2. I quattro rettangoli t, h, g, k hanno lati x e 10/4. L’area del poligono a croce è x2 + 4(10/4), che vale 39. Se completiamo la figura con i quattro quadratini di lato 10/4, otteniamo un quadrato di lato x + 2(10/4) e di area 39+4(10/4)2

7. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.7 • Usa l’ipotesi che il quadrato AB più i quattro rettangoli t, k, g, h sono uguali a 39. • Differenza coi Greci: • l’analisi • sono coinvolti numeri (identifica segmenti, rettangoli, ...) con le loro misure (10, x, 39, ...) • si può parlare di dimostrazione non numerica all’interno di una “aritmetica delle grandezze” • si usa una teoria “intuitiva” della misura

8. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.8 • Diversi modi di scrivere la formula • 3x3 6x2 = 4x + 5 • forma retorica: • Sei volte il quadrato del mio numero si sottrae tre volte il cubo del numero e chiedo uguale a quattro volte il numero più cinque • forma sincopata: • 3cu m 6ceae 4co p 5 (Luca Pacioli, 1494) • forma simbolica: • 3 Acu 6Aqaequatur 4A + 5 (Viète, 1591) • 3xxx 6xx 4x + 5 (Descartes, 1637) • 3 x36 xx + 4x + 5 (Wallis, 1693)

9. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.9 Una pagina di Viète

10. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.10 François Viète (1540-1603) espone il suo programma nel trattato In artem analyticen isagoge (1591). Il suo scopo principale è di riabilitare, restaurare e migliorare l’analisidegli antichi. Distingue tre parti o funzioni dell’arte analitica: 1) la messa in equazione sotto una forma ordinata che permette di trovare una proporzione corrispondente (“Zetetica” ) 2) la verifica della validità di (1), cioè che si può fare il percorso in senso inverso, chiamato sintesi (“Poristica”) 3) la soluzione effettiva del problema, sotto forma numerica o geometrica secondo i casi (“Esegetica”, “Retica”)

11. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.11 Viète usa la “logistica speciosa” o calcolo sui simboli (usati sia per incognite che per dati, in contrapposizione alla “logistica numerale”) L’opera di Viète è di difficile lettura per l’uso di neologismi (in greco, ...), le intenzioni, il metodo ...

12. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.12 • Elementi fondamentali del calcolo algebrico in Viète: • 1) “antitesi” (trasporto di un membro da un termine all’altro di un’equazione) • 2) “ipobalismo” (soppressione di un fattore comune a tutti i termini di un’equazione) • 3) “parabolismo” (divisione di tutti i termini di un’equazione per un termine arbitrario)

13. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.13 • Nella tradizione euclidea il linguaggio delle proporzioni era il più generale strumento di espressione matematica e Viète ne è impregnato. Indica, però,l’equivalenza fondamentale tra le proporzioni e le equazioni • Viète è un prodotto dell’ambiente umanistico del suo tempo • Secondo l’umanista Petrus Ramus la conoscenza deve essere organizzata in argomenti che dovrebbero essere intrisecamente omogenei. L’algebra, dipendendo dalla geometria e dall’aritmetica, non soddisfa questo principio..

14. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.14 • In Viète permane la preoccupazione per l’omogeneità. Viète stabilisce una doppia nomenclatura sugli scalari o potenze da una parte (lato, quadrato, cubo, quadrato di quadrato, quadrato in cubo, ...) e dall’altra, sulle grandezze che possono essere loro paragonate (lunghezza, o larghezza, piano, solido, piano-piano, piano-solido, ...) • La manipolazione algebrica deve dunque accompagnarsi a ciò che noi chiameremmo la dimensione • questa omogeneità è una sorta di “garante ontologico” delle operazione ed un “regolatore semantico”. Si tratta di una condizione pesante abbandonata già da Harriot e Ghetaldi.

15. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.15 Un esempio di problema in Viète

16. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.16 Viète, Zeteticorum, libro I “Data la differenza di due lati e la loro somma, trovare i lati. Sia B la differenza dei due lati e D la loro somma; è richiesto di trovare i lati. Sia A il lato minore; allora il maggiore sarà A + B. Dunque la somma dei due lati sarà A2 + B. Ma la somma dei lati è data come D. Allora A2 + B = D. e per antitesi, A2 sarà uguale a DB, e se essi sono dimezzati, A sarà uguale a D1/2 + B1/2. Oppure, sia E il lato maggiore. Allora il minore sarà EB.”

17. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.17 Viète, Zeteticorum, libro I “Dunque la somma dei lati sarà E2 B. Ma la stessa somma è data come D. Dunque E2 B uguaglia D, e per antitesi, E2 uguaglia D + B, se essi sono dimezzati, e sarà uguale a D1/2 + B1/2.” Dunque, con la differenza e la somma di due lati data, i lati sono trovati. Infatti, metà somma dei lati meno metà della loro differenza è uguale al lato minore, e metà della loro somma più metà della loro differenza è uguale al maggiore. Quod ipsum ... La qual cosa stessa è mostrata dalla Zetesis.”

18. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.18 “In artem analyticem Isagoge Serosim excussa ab opere restitutae Mathematicae Analyseos, seu, Algebra nova” Vaulézard: “Introduction en l’art analytic ou nouvelle algèbre”

19. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.19 • Riflessioni didattiche • che cosa resta nella nostra scuola di questo programma? • il metodo (l’analisi) viene prima; lo strumento (il linguaggio algebrico) deve essere ben padroneggiato, ma al fine di servire. • il metodo di analisi è trasversale nella matematica • l’analisi favorisce l’interdisciplinarità

20. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.20

21. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.21 Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966, parte II, pp.134-135): “Quanto poi all’Analisi degli antichi e all’Algebra dei moderni, oltre a riferirsi esclusivamente a materie astrattissime e che sembrano inutili, la prima è sempre talmente vincolata alla considerazione delle figure da non poter esercitare l’intelletto senza affaticare molto l’immaginazione, e la seconda è talmente assoggettata a certe regole e a certe cifre da divenire un’arte confusa e oscura, che confonde la mente invece che coltivarla. Per tutto questo stimai necessario cercare qualche altro Metodo che, comprendendo i vantaggi di queste tre scienze [Logica, Algebra, Analisi dei Geometri] fosse esente dai loro difetti. [...]”

22. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.22 Discours sur la méthode, Leida, 1637 (Descartes, 1966, parte II, pp.134-135, segue) Il secondo [precetto da osservare nel lavorare] consisteva nel dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante fosse possibile e necessario per giungere alla migliore soluzione di essa. [...] Erano state quelle lunghe catene di ragionamenti, tutti semplici e facili, di cui di solito si servono i Geometri nelle loro più difficili dimostrazioni, che mi avevan dato motivo a pensare che tutte le cose conoscibili dall’uomo si susseguissero nello stesso modo, e che [...] non potessero darsi conoscenze così remote da non poter infine essere raggiunte né così nascoste che non potessero scoprirsi. [...] in tale modo avrei preso quanto di meglio offrivano l’Analisi dei Geometri e l’Algebra e avrei corretto i difetti dell’una per mezzo dell’altra.

23. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.23 Il pensiero di Descartes Ogni problema geometrico può facilmente essere ridotto a tali termini che una conoscenza di lunghezze di certe rette è sufficiente per la sua costruzione. Infine, per essere sicuri di ricordare i nomi di queste rette, dovrebbe essere sempre fatta una lista separata ogni qualvolta i nomi sono assegnati o cambiati, per esempio, possiamo scrivere, AB = 1, cioè AB è uguale a 1; GH = a, BD = b e così via.

24. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.24 Il pensiero di Descartes (segue) Se, allora, vogliamo risolvere un problema, dapprima supponiamo la soluzione già trovata e diamo dei nomi a tutte le rette che sembrano utili per la loro costruzione, a quelle che sono ignote come a quelle che sono note. Poi, non facendo nessuna distinzione tra rette note e ignote, dobbiamo districare la difficoltà in qualunque modo che mostri più naturalmente le relazioni [quelle che portano a equazioni] tra queste rette, finché troviamo possibile esprimere una singola quantità in due modi. Questo costituisce un’equazione, poiché i termini di una di queste due espressioni sono insieme uguali ai termini dell’altra.”dell’altra”.

25. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.25 Descartes parla di relazioni; che tipo di relazioni? - equazioni e proporzioni - non quelle che ha in mente Mahoney, che sono più generali - però con la non distinzione tra rette note e incognite l’algebra di Descartes è già proiettata verso l’algebra delle strutture Riguardo alle questioni ontologiche: - non tratta rette, ma misure di rette L’algebra di Descartes è basata sulla misura di grandezze geometriche e relazioni tra queste misure

26. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.26 • Situazione quando arriviamo a Descartes: • la teoria delle proporzioni è ancora in auge • esiste ancora la necessità per una teoria di essere omogenea • La discussione su Descartes fa emergere due elementi fondamentali nella storia dell’algebra: • il pensiero analitico • la teoria della misura

27. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.27 • Epilogo • la nostra lettura della storia porta a concludere che • l’algebra non è solo un’estensione del dominio numerico • l’algebra non è solo una questione di usare simboli • l’algebra è un modo di manipolare relazioni • il metodo di analisi è il cuore dell’algebra

28. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 4.28 una lettura darwinista della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento ci porta a parlare di una selezione naturale delle idee. Risultano vincenti quelle legate all’analisi.