1 / 27

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

SAYISAL YÖNTEMLER. SAYISAL YÖNTEMLER. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü. DERS DÜZENİ. SAYISAL YÖNTEMLER. DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir.

rooney-carey
Download Presentation

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  2. DERS DÜZENİ SAYISAL YÖNTEMLER DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  3. y=f(x) x 0 y b a y b 0 a x DERS HAKKINDA SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü • Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur.

  4. y y=f(x) b 0 a x y y=f(x) 0 a x b SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü • Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur • Burada a, b arasında üç kök vardır

  5. y y=f(x) a aı b x 8 soldan yaklaşınca y a x b 8 sağdan yaklaşınca SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü • x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

  6. SAYISAL YÖNTEMLER • LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ • Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: • Birkaç veya bütün köklerin bulunmasına • Köklerin gerçek ya da sanal olmasına • Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. • Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazıları da bir denklem takımının çözümüne daha uygundur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  7. SAYISAL YÖNTEMLER Kullanılacak yöntemler: • Basit iterasyon yöntemi • Newton-Raphson yöntemi İterasyon Yöntemleri • Yarıya bölme yöntemi • Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi • Sekant Yöntemi • Grafik yöntemi Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  8. SAYISAL YÖNTEMLER BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) Bu yöntemde kökün bulunması için bir formül kullanılır. f(x)= 0 şeklinde verilen denklem; x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Denklemin asıl kökü (r) için I gı(r) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. İterasyona, | εt | < εk şartı sağlandığında son verilir. ε t=(xk+1 -xk) / xk+1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  9. SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= x3-x-1=0 denkleminin xo=1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre, gerçek kökü εk = 0.0000001 hassasiyetle basit iterasyon yöntemiyle bulunuz. Bu denklemin xo=1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre önce şartları sağlayıp sağlamadığına bakalım. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Çözüm: Denklemi; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır) • a) x=x3-1  g(x)= x3-1 • ve gı(x)=3x2 olur. • | gı(xo) | = | 3x2 | = 5.07 > 1 • olduğu için yaklaşım çok zordur. Yani kök yoktur.

  10. SAYISAL YÖNTEMLER b) f(x) = x( x2 - 1) -1 =0’ dan • | gı(xo) | = 5.46 > 1olduğu için yaklaşım çok zor. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü c) x3=x+1 ’ den • Olduğu için yaklaşım vardır. Yani köke ulaşılır. • c) şıkkı yakınsama şartını yerine getirdiğinden iterasyon bu şekilde başlatılır. • Xk+1 = g(xk) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. • X1=g(xo) olacaktır.

  11. SAYISAL YÖNTEMLER k=0 için x1= g(xo)= (x+1)1/3 = (1.3+1)1/3  x1= 1.3200061 Mutlak hata Et = x1 –xo = 1.3200061 – 1.3 = 0.0200061 | εt| < εk şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir. Bağıl hata εt = Et / x1 = 0.0200061/ 1.3200061 =0.015156  % 1,5156 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  12. SAYISAL YÖNTEMLER k= 1 için  x2= g(x1) = (x1+1)1/3 = (1.320006+1)1/3 = 1.323822 Et = x2 –x1 = 1.323822 – 1.320006= 0.003816 εt = Et / x2 = 0.003816 / 1.323822 = 0.002882 | εt | < εk şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü k= 2 için  x3= g(x2) = (x2+1)1/3 = (1.323822+1)1/3 = 1.324547 Et = x3 –x2 = 1.324547 – 1.323822= 0.0007254 εt = Et / x3 = 0.000547 | εt | < εk şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir

  13. SAYISAL YÖNTEMLER εt Et k= 3 için x4= 1.3246856 0.0001378 0.00010 k= 4 için x5= 1.3247118 0.0000261 0.000019 k= 5 için x6= 1.3247168 0.0000049 0.0000037 k= 6 için x7= 1.3247177 0.00000094 0.00000071 k= 7 için x8= 1.3247179 0.00000017 0.00000013 k= 8 için x9= 1.3247179 0.00000003 0.00000002 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 9 iterasyon sonunda 0.0000001 hassasiyetle köke yaklaşılmıştır. İterasyonu sonlandırmak için | εt | < εk şartına bakılır (εk daha önce anlatılmıştı). εkproblemi çözen kişi tarafından belirlenen çok küçük bir sayıdır. Köke yaklaşma hassasiyeti ne ölçüde isteniyorsa εk ona göre seçilir.

  14. y 1.0 -0.5 0.5 1 1.5 x2 x1 x -2.0 SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= 2x4-3x-2=0 fks.nun xo= 1.3 ve xo= -0.5 civarında kökleri olduğu bilindiğine göre εk= 0.0000001 hassayetle basit iterasyon yöntemiyledenklemin köklerini bulunuz Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Çözüm: Denklem; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır)

  15. SAYISAL YÖNTEMLER Öncelikle xo= 1.3 civarındaki kökü arayalım. 1. Adım 2. Adım Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 3. Adım

  16. SAYISAL YÖNTEMLER • Xk+1 = g(xk) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. • X1=g(xo) olacak. 8 iterasyon sonucunda 0.0000001 hassasiyetle kök bulunmuştur. İterasyona son vermek için | εt |< εk şartı aranır. ε k problemi çözen tarafından saptanır. Ne kadar küçük olursa iterasyon sayısı o kadar artar. ε k seçiminde köke yaklaşma hassasiyetine göre karar verilir. x0= 1.3 x1= 1.3105558 x2= 1.3123108 x3= 1.3126019 x4= 1.3126502 x5= 1.3126582 x6= 1.3126595 x7= 1.3126597 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  17. SAYISAL YÖNTEMLER xo=-0.5 yakınlarındaki kök için 1) x0= -0.5 x1= -0.6250 x2= -0.5649 x3= -0.5988 x4= -0.5810 x5= -0.5967 x6= -0.5855 x7= -0.5883 x8= -0.5868 x9= -0.5876 x10= -0.5872 x11= -0.5874 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 12 iterasyon sonucunda 0.0000001 hassasiyetle kök bulunmuştur.

  18. SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV f(x) = x3- 4.Sin(x) denkleminin xo=1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre kökü ε k =0.0000001 yaklaşımla basit iterasyon yöntemini kullanarak bulunuz. (x radyan alınacak) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  19. Yakınsama ve Iraksama SAYISAL YÖNTEMLER İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyondaki hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fonksiyon iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x)

  20. y y=e-x-x y f1(x)=y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. • x ekseni kestiği yerdeki kök • Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  21. y2 = g(x) y y1=x y y2 = g(x) y1=x x x2 x1 xo Kök xo x Kök Yakınsak Iraksak Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır.

  22. SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ’ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  23. SAYISAL YÖNTEMLER x ( x -1 ) – 3 = 0 ’ dan b) y1 = x Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x2 = x+ 3 ’ den c) y1 = x y2 = (x+3)1/2 ol.dan yakınsaktır

  24. SAYISAL YÖNTEMLER Başla xo, εk x= xo Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü y= f(x) E |(y-x)/y| <εk Y H y= x Dur İterasyon yönteminin algoritması

  25. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  26. SAYISAL YÖNTEMLER x0=0; es=1.2; n=0; Nmax=100; xkeski=x0; while (n<Nmax) n=n+1; xkyeni=g(xkeski) if xkyeni~=0 ea=abs((xkyeni-xkeski)/xkyeni)*100 if ea<es disp('Kök='); disp(xkyeni); disp('Tekrar Sayisi='); disp(n); disp('Yüzde bagil Hata=');disp(ea); n=Nmax; end else disp('Sifira bolme hatasi'); end xkeski=xkyeni; end function [xkyeni] = g(xkeski) xkyeni=1.0*exp(-xkeski); g.m dosyası Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

  27. SAYISAL YÖNTEMLER • ÖDEV • f(x)=x·e3x -5 kökünün basit iterasyon ile bulunuz. • 2) f(x) = sinx + 2cosx -x ‘ in kökünü ε= 0.0001 hassasiyetle bulunuz. • 3) f(x) = x4 – x -8 = 0 kökünü bulunuz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

More Related