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Programação Inteira. Conteúdos do Capítulo. Programação Inteira Problema Relaxado Solução Gráfica Solução por Enumeração Algoritmo de Branch-And-Bound Solução Excel Solução no Lindo Caso LCL Tecnologia S.A. Variáveis Binárias e Condições Lógicas Caso LCL Equipamentos S.A.
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Conteúdos do Capítulo • Programação Inteira • Problema Relaxado • Solução Gráfica • Solução por Enumeração • Algoritmo de Branch-And-Bound • Solução Excel • Solução no Lindo • Caso LCL Tecnologia S.A. • Variáveis Binárias e Condições Lógicas • Caso LCL Equipamentos S.A.
Programação Inteira • São problemas de programação matemática em que a função objetivo, bem como as restrições, são lineares, porém uma ou mais variáveis de decisão podem apenas assumir valores inteiros. • Esse problema pode apresentar dois tipos básicos: • Programação Inteira Total - onde todas as variáveis de decisão são do tipo inteiro. • Programação Inteira Mista - onde apenas uma parte das variáveis são do tipo inteiro, enquanto outras são do tipo real
Programação Inteira • A primeira idéia que pode vir à mente é resolver o problema como se fosse um problema de programação linear e arredondar os valores ótimos encontrados para cada uma das variáveis de decisão inteiras. • Para problemas de grande porte, isto geralmente gerará uma solução aceitável (próxima do ótimo real) sem a violação de nenhuma das restrições. • Para problemas menores, esse tipo de procedimento poderá nos levar a soluções inviáveis ou não ótimas.
Programação InteiraProblema Relaxado • A todo problema de programação inteira está associado um problema com a mesma função-objetivo e as mesmas restrições, com exceção da condição de variáveis inteiras. A esse problema se dá o nome de Problema Relaxado
+ Max 18 x 6 x 1 2 + ³ s . t . x x 5 1 2 + £ 42 . 8 x 100 x 800 1 2 + £ 20 x 6 x 142 1 2 + ³ 30 x 10 x 135 1 2 - £ x 3 x 0 1 2 ³ x , x 0 e inteiros 1 2 Programação InteiraSolução Gráfica (4) (3) (1) (2) (2) (1) (3) (4) (5) (5)
+ Max 18 x 6 x x2 1 2 Solução Ótima para LP Relaxado + ³ s . t . x x 5 1 2 + £ 42 . 8 x 100 x 800 (5,28 ; 5,74) 1 2 + £ 20 x 6 x 142 1 2 + ³ 30 x 10 x 135 1 2 - £ x 3 x 0 1 2 ³ x , x 0 e int eiros 1 2 x1 Programação InteiraSolução Gráfica
Programação InteiraSolução Gráfica Solução Aproximada do LP Relaxado Ótimo (5 ; 5) x2 Solução Ótima para LP Relaxado (5,28 ; 5,74) (5,28 ; 5,74) SoluçãoÓtima para Problema Inteiro (6 ; 3) x1
Programação InteiraLP Relaxado • Em um problema de MAXIMIZAÇÃO, o valor ótimo da função-objetivo, do Problema Relaxado, sempre representa um limite superior ao respectivo Problema Inteiro. • Em um problema de MINIMIZAÇÃO, o valor ótimo da função-objetivo, do Problema Relaxado, sempre representa um limite inferior ao respectivo Problema Inteiro.
Nenhum ponto inteiro vizinho ao ponto ótimo do problema relaxado é necessariamente viável. Mesmo que um dos vizinhos seja viável. Não é necessariamente o ponto ótimo inteiro. Não é obrigatoriamente uma solução aceitável. Programação InteiraLP Relaxado Solução Ótima para LP Relaxado x2 Solução Ótima para Prog.Inteira x1
Programação InteiraSolução por Enumeração • Uma idéia que pode resultar em uma solução para um problema de programação inteira é a de se enumerar todas as possíveis soluções. • De forma exaustiva, o valor da função-objetivo é calculado para todas as soluções viáveis e é escolhido aquele que apresente o maior valor (no caso de maximização) ou o menor valor (no caso de minimização).
Programação InteiraSolução por Enumeração • O problema com essa tática de solução está no fato de que ela só consegue ser aplicada a problemas pequenos. • O número de combinações possíveis de soluções cresce de forma exponencial, isto é de forma muito rápida. • Ex.: Um ILP com 100 variáveis de decisão do tipo binárias (assumem 0 ou 1) terá até 2100 soluções viáveis, isto é, 1,27 x 1030 soluções possíveis.
Programação InteiraAlgoritmo de Branch-And-Bound • Algoritmo de Branch-And-Bound é mais utilizado atualmente para resolução de problemas do tipo ILP ou MILP. • É uma metodologia geral para solução de ILP e MILP, e existem diversas variantes para tratar diversos tipos de problemas específicos. • A idéia geral é a de se dividir o conjunto de soluções viáveis em subconjuntos sem interseções entre si, calculando-se os limites superior e inferior para cada subconjunto, e então eliminando certos subconjuntos de acordo com regras pré estabelecidas.
Programação InteiraAlgoritmo de Branch-And-Bound • Comparativamente ao LP correspondente, o IP levará muito mais tempo para obter um valor ótimo. Isso está ligado ao fato que diversos problemas de LP são resolvidos sucessivamente para se obter a solução de um IP. • Se o problema for interrompido no meio do processo uma solução aproximada do problema inteiro pode ser gerada.
Programação InteiraAlgoritmo de Branch-And-Bound • A solução obtida num problema IPL ou MIPL • Sem análise de sensibilidade. • Deve ser efetuada alterando-se o problema e obtendo-se nova solução. • Não provê informação similar ao preço de sombra. • Muitos softwares que realizam programação inteira são parte integrante de pacotes de programação linear e produzem análise de sensibilidade, independente desta não ter valor no âmbito de programação inteira.
Usando Solver do ExcelDefinindo Variáveis Inteiras e Binárias
LindoVariáveis Inteiras e Binárias • Os comandos adicionais abaixo são colocados após o comando END ao final das restrições: • FREE <Variável> - Remove os limites de não negatividade imposta a todas as variáveis por default. • GIN <Variável> - Faz a <Variável> uma variável inteira geral. • INT<Variável> - Faz a <Variável> uma variável inteira binária.
Problema de Orçamento de CapitalCaso LCL Tecnologia S/A • A LCL Tecnologia S/A tem que planejar seus gastos em P&D. A empresa pré-selecionou 4 projetos e deve escolher dentre esses quais deve priorizar em função de restrições orçamentárias. Os dados relevantes encontram-se na tabela abaixo.
Caso LCL Tecnologia S/A • Variáveis de Decisão • Função Objetivo = Maximizar o somatório NPV
Caso LCL Tecnologia S/A • Restrições Orçamentárias
Variáveis Binárias eCondições Lógicas • As variáveis binárias também se prestam a selecionar alternativas que sejam condicionais. • No exemplo anterior imagine que não mais de um dos projetos 1, 3 e 4 pudesse ser selecionado. Deveríamos então adicionar: • Se apenas um dos projetos e apenas um dos projetos 1, 2 e 4 tivesse que ser escolhido obrigatoriamente, deveríamos incluir:
Variáveis Binárias eCondições Lógicas • Imagine agora que o projeto 1 dependa de uma tecnologia que deve ser desenvolvida pelo projeto 2, isto é, o projeto 1 só pode ser aprovado se e somente se o projeto 2 for aceito. Deveríamos então incluir:
Caso LCL Equipamentos S.A. • A LCL Equipamentos S.A. produz três tipos de furadeiras que necessitam de tempos diferentes na linha de montagem. Para que cada tipo de furadeira seja fabricada, um custo de preparação da fabrica é incorrido. Suponha que todas as furadeiras do mesmo tipo serão produzidas de uma só vez (apenas uma preparação por tipo). Abaixo os dados relevantes à análise do problema.
+ + - - - Max 50 X 60 X 65 X 5000 Y 4000 Y 3000 Y 1 2 3 1 2 3 Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias • Variáveis de Decisão • Função Objetivo
Caso LCL Equipamentos S.A. Variáveis Binárias • Restrições de Produção • Restrições de ligação de Variáveis
