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NUMERI COMPLESSI

Patti Maurizio:. NUMERI COMPLESSI. Unità immaginaria. Però nulla impedisce di creare un nuovo numero (naturalmente non reale) il quale, elevato al quadrato dia proprio -1. Questo numero si chiama unità immaginaria e si indica con la lettera i.

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NUMERI COMPLESSI

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Presentation Transcript

  1. Patti Maurizio: NUMERI COMPLESSI

  2. Unità immaginaria Però nulla impedisce di creare un nuovo numero (naturalmente non reale) il quale, elevato al quadrato dia proprio -1. Questo numero si chiama unità immaginariae si indica con la lettera i. Nell’insieme dei numeri reali nessun numero elevato al quadrato dà un numero negativo. In particolare, nessun numero reale elevato al quadrato dà -1. Si ha dunque per definizione: i2 = -1

  3. Numero immaginario Seb è un numero reale il prodotto indicato b*i si chiama numero immaginario b prende il nome di coefficiente del numero immaginario Per questi prodotti si conserva la proprietà commutativa bi = ib. I numeri bi e -bi si dicono numeri immaginari opposti

  4. Potenze di i Per le potenze di i si ha: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = -i i4 = 1 i5 = i i6 = -1 i7 = -i i8 = 1 i9 = i ecc. cioè le prime quattro potenze di i si riproducono indefinitivamente nello stesso ordine. Esempio

  5. Nell’insieme dei numeri immaginari si può estrarre la radice quadrata da un numero negativo Operazioni con i numeri immaginari L’addizione e la sottrazione di due numeri immaginari dà come risultato un numero immaginario ai + bi = (a + b)i ai - bi = (a - b)i Il prodotto e il quoziente sono numeri reali ai * bi = a * b * i2 = a * b*(-1) = -ab ai : bi = (a : b) * (i : i) = (a : b) * 1 = a : b In particolare, il quadrato di un numero immaginario è un numero reale negativo. (ai)2 = a2 * i2 = a2 * (-1) = -a2 Esempio

  6. Numeri complessi Indichiamo con Cl’insieme dei numeri complessi (a + ib) con Cr l’insieme dei numeri complessi reali (a + i0) con Ci l’insieme dei numeri complessi immaginari (0 + ib) con R l’insieme dei numeri reali (a) a si dice parte reale b si dice coefficiente dell’immaginario. L’espressione a + ib viene denominata: forma algebrica del numero complesso Sianoa eb due numeri reali. La somma indicata z =a+ib si dice numero complesso.

  7. a + ib 0 + ib a + i0 a Ci Cr C Esiste una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi Cr e R che conserva le operazioni di addizione e moltiplicazione. R

  8. Due numeri complessi si dicono uguali quando hanno rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti degli immaginari a + ib = c + id se a = c e b = d Se ciò non si verifica i numeri si diconodisuguali, ma non si può stabilire tra loro la relazione di “maggiore” e “minore”. Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale ed opposti i coefficienti dell’immaginario si dicono complessi coniugati Per un numero complesso non ha luogo la nozione di “positivo” o “negativo” Esempio

  9. Operazione con i numeri complessi La somma di due o più numeri complessi è il numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali e per coefficiente dell’immaginario la somma dei coefficienti delle parti immaginarie. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i La somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale (a + ib) + (a - ib) = (a + a) + (b - b)i = 2a Esempio

  10. Due numeri complessi si dicono opposti quando sono opposte sia la parte reale che quella immaginaria a + ib -a - ib Per differenza di due numeri complessi si intende la somma del primo e dell’opposto del secondo (a + ib) - (c + id) = (a + ib) + (-c - id) = (a - c) + (b - d)i La differenza di due numeri complessi coniugati è un numero immaginario (a + ib) - (a - ib) = (a - a) + (b + b)i = 2bi Esempio

  11. La potenza di un numero complesso viene calcolata mediante le stesse regole che permettono di determinare le potenze dei binomi (a + ib)2 = a2 + 2iab + b2i2 = (a2 - b2 ) + 2iab (a + ib)3 = a3 + 3ia2b + 3ab2i2 + b3i3 = =(a3 - 3ab2) + (3a2b - b3 )i Il prodotto di due numeri complessi è il numero complesso che si ottiene moltiplicando termine a termine i due fattori. (a + ib) * (c + id) = ac + iad + ibc + i2 bd = = (ac - bd) + (ad + bc)i. In particolare, il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale che prende il nome di norma (a + ib) * (a - ib) = a2 - b2i2 = a2 + b2 Esempio

  12. Due numeri complessi si dicono reciproci quando il loro prodotto è uguale ad 1 Il reciproco di un numero complesso a + ib è a - ib -------- a2 + b2 Coniugato ------------- Norma Il quoziente di due numeri complessi è il numero che si ottiene moltiplicando il primo per il reciproco del secondo a + ib -------- c+ id c - id -------- c2 + d2 = (a + ib) Esempio

  13. 4 - i 8 ------ + -- = 16+1 17 2 + i 8 ------- + -- 4+ i 17 8 - 2i + 4i +1 8 ---------------- + --- = 17 17 = (2 + i) * 9 + 2i 8 ------- + --- = 17 17 9 2i 8 -- + --- + --- = 17 17 17 2 1 + --- i = 17 Esercizi Eseguire le operazioni (1 - i)(1 + i) - (3 + 2i)(3 - 2i) + i11 = 2 - 13 + i3 = -11 - i

  14. Forma matriciale di un numero complesso Dato il numero complesso a + ib si chiama forma matriciale del numero complesso dato, la matrice quadrata: Ad esempio al numero complesso 3 – 2icorrisponde la matrice:

  15. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi I numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente: - mediante punti di un piano - mediante vettori

  16. Rappresentazione mediante i punti del piano Ai punti dell’asse x (asse reale) corrispondono i numeri reali; a quelli dell’asse y (asse immaginario) corrispondono i numeri immaginari. Al numero complesso z = a + bi facciamo corrispondere il punto P(a;b) Rimane così fissata una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri complessi e l’insieme dei punti del piano. Il piano in cui vengono rappresentati i numeri complessi viene chiamato piano di Gauss. Fissiamo nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonalixOy Il punto P(a;b) viene chiamato immagine di z; il numero z viene chiamato affissa di P. y P(a;b) b O a x

  17. Al numero z = a + bi facciamo corrispondere il vettore OP; al vettore OP facciamo corrispondere il numero z = a + bi Rappresentazione mediante vettori Fissiamo ancora nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonalixOy. Il vettore OP viene chiamato vettore rappresentativo del numero complesso z. y P(a;b) b Esempio O a x

  18. Siano z1 = a + bi e z2 =a  + b  i due numeri complessi, P1(a;b) e P2(a;b) i loro punti immagine, OP1 e OP2i rispettivi vettori rappresentativi Al vettoreOP, somma dei due vettori OP1 e OP2 corrisponde il numero complesso z, somma dei numeri complessi z1 e z2 Rappresentazione vettoriale della somma di due numeri complessi Anche al vettore ddifferenza di due vettori v1 e v2, corrisponde il numero complesso differenza dei due numeri complessi corrispondenti a v1 e v2: d = v1 - v2 = v1 + (-v2) la differenza si riduce quindi al caso della somma. y P b+b  b P1 P2 b  a a  O a+a  x

  19. Fine

  20. Modulo ed argomento di un numero complesso Sia z = a + bi un numero complesso, P(a;b) la sua immagine e v = OP il vettore rappresentativo; sia  la distanza del punto P dall’origine,  l’angolo che il vettore forma con il semiasse positivo reale y Il numero  viene chiamato modulo ed il numero argomento del numero complesso z. P(a;b) b  Si ha immediatamente : a =  cos b =  sen   0 a x

  21. Forma trigonometrica di un numero complesso Dato il numero complesso a + bi si ha: a + bi =cos  + i sen  =  (cos  + i sen ) l’espressione  (cos  + i sen ) si dice FORMA TRIGONOMETRICA del numero complesso Esempio

  22. Operazioni con numeri complessi sotto forma trigonometrica • Prodotto • Potenza • Reciproco • Quoziente

  23. Radici n-esime di un numero complesso Si chiama radice n-esima di un numero complesso z =  (cos  + i sen ) ogni numero complesso w che elevato ad n dà z [r(cos  + i sen )]n =  (cos  + i sen ) rn(cos n + i sen n) =  (cos  + i sen ) quindi: rn =  n =  + 2k Esempio

  24. Forma esponenziale di un numero complesso Un numero complesso z = (cos  + i sen ) può essere scritto sotto la seguente forma, detta esponenziale: Ad esempio:

  25. FINE

  26. Calcolare le radici quarte del numero

  27. Determinare le radici quarte dell’unità. Essendo:  = 1 e  = 0°+ k360° risulta1=cosk360°+isenk360° e quindi: Le quattro radici dell’unità sono dunque: z0 = cos0°+isen0° = 1 z1 = cos90°+isen90° = i z2 = cos180°+isen180° = -1 z3 = cos270°+isen270° = -i Ritorna

  28. Dato il numero complesso -1 + i scriverlo sotto forma trigonometrica Dato il numero complesso 4(cos 120° + i sen 120°) scriverlo sotto forma algebrica Ritorna

  29. Prodotto Dati due numeri complessi (cos + isen) e '(cos ' + isen ') il loro prodotto è (cos + isen) '(cos' + isen') = = ' (cos cos' + i cos sen' + i sen cos' – sen sen' ) = = '[(cos cos' – sen sen' ) + i(cos sen' + sen cos')] = = ‘[cos( +  ') + i sen( +  ')] Il prodotto di due numeri complessi sotto forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti Esempio Ritorna

  30. Potenza n-esima di un numero complesso Se applichiamo la regola del prodotto tra numeri complessi sotto forma trigonometrica ad n fattori tutti uguali a (cos  + isen ) si ottiene la formula di MOIVRE [(cos + isen)]n = n (cos n + isen n) La potenza n-esima (con n intero) di un numero complesso non nullo è un numero complesso che ha per modulo la potenza n-esima e per argomento n volte l’argomento della base Esempio Ritorna

  31. Reciproco di un numero complesso Il reciproco del numero complesso non nullo z =(cos + isen) ha per modulo il reciproco del modulo di z e per argomento l’opposto dell’argomento di z Infatti Esempio Ritorna

  32. Quoziente Dati due numeri complessi (cos + isen) e '(cos ' + isen ') il quoziente si ottiene Il quoziente di due numeri complessi sotto forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti Esempio Ritorna

  33. Calcolare: 3(cos25° + isen25°)·4(cos15° + isen15°) = 12(cos40° + isen40°) 2(cos15° + isen15°)·5(cos35° + isen35°) = 10(cos50° + isen50°) Ritorna

  34. Calcolare [3(cos30° + isen30°)]5 = 35 (cos 5·30° + isen 5·30° ) = = 243(cos150° + isen150°) [2(cos20° + isen20°)]3 = 23 (cos 3·20° + isen 3·20° ) = = 8(cos60° + isen60°) Ritorna

  35. Il reciproco del numero 3(cos 25° + isen 25°) è Il reciproco del numero 5(cos 30° + isen 30°) è Ritorna

  36. Calcolare Ritorna

  37. i12 = ? 12 : 4 = 3 con il resto di0quindi i12 = i0= 1 i14 = ? 14 : 4 = 3 con il resto di2 quindi i14 = i2= -1 Ritorna

  38. 3i + 4i = (3 + 4)i = 7i 7i - 9i = (7 - 9)i = -2i 4i * (-3i) = -12i2 = -12*(-1) = 12 3i : 4i = 3/4 (2i)3 = 23 * i3 = 8 * (-i) = -8i Ritorna

  39. Sono uguali i numeri 2 - 3i2 - 3i -3 + 5i-3 + 5i Sono complessi coniugati i numeri 3 - 2i3 + 2i -5 + 3i-5 - 3i Ritorna

  40. (3 + 2i) + (-1 + 4i) = (3 - 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i (2 - 4i) + (-5 + i) + i = (2 - 5) + ( -4 + 1 + 1)i = -3 - 2i (-3 + 7i) + (3 - 7i) = (-3 + 3) + (7 - 7)i = 0 (6 + 5i) + (6 - 5i) = (6 + 6) + (5 - 5)i = 12 Ritorna

  41. Sono opposti i numeri 1 - 3i-1 + 3i -5 + i5 - i Differenze (4 - 3i) - (5 + 7i) = (4 -5) + (-3 - 7)i = -1 - 10i (5 - 2i) - (5 + 2i) = (5 - 5) + (-2 - 2)i = -4i Ritorna

  42. (2 - 5i) * (-1 + 2i) = (-2 + 10) + (4 + 5)i = 8 + 9i (-7 + i)i = -1 - 7i (-5 + 3i) * (-5 - 3i) = 25 + 9 =34 (2 - 3i)2 = 4 - 12i + 9i2 = (4 - 9) - 12i = -5 -12i (1 + 2i)3 = 1 + 6i + 12i2 + 8i3 = (1 -12) + (6 - 8)i = -11 - 2i Ritorna

  43. 7 + 2i --------= 72 + 22 7 + 2i --------= 49+ 4 7 + 2i --------= 53 7 2 -- + ---i 53 53 Reciproci il reciproco di 7 - 2i è Divisioni Ritorna

  44. Trovare il punto immagine ed il vettore rappresentativo del numero complesso z = 2 - 3i y x 1 2 -1 -2 -3 P(a;b) Ritorna

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