PROPRIETATILE DETERMINANTILOR

1. PROPRIETATILEDETERMINANTILOR CUPRINS Proprietatea 1 Proprietatea 2Concluzii Proprietatea 3Aplicatiepractica Proprietatea 4 Proprietatea 5Test Proprietatea 6Rezolvare test Proprietatea 7 Proprietatea 8 Proprietatea 9

2. Competenţe specifice vizate: C3.1Aplicarea proprietăţilor în probleme de calcul C3.2Rezolvarea unor ecuaţii utilizând algoritmii de calcul

3. PROPRIETATEA 1 • Determinantul matricei pătratice A este egal cu determinantul matricei transpuse ; Obs.Acesta proprietate ne arata ca orice proprietate valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.

4. EXEMPLU

5. PROPRIETATEA 2 Dacă matricea A are două linii(coloane) egale, atunci determinantul ei este egal cu zero;

6. exemplu C1=C2 L1 = L3

7. PROPRIETATEA 3 Dacă matricea B se obţine din matricea A permutand două linii (coloane), atunci det B=- det A;

8. EXEMPLU In matricea B am schimbatliniile 1si 2 din matricea A. detA = -19 Det B=19

9. PROPRIETATEA 4 • Dacă toate elementele unei linii (coloane) ale unei matrice se înmulţesc cu un număr a,atunci se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu produsul dintre a şi determinantul matricei;

10. EXEMPLU Inmultimelementeleliniei 2 cu nr. 4 obtinemmatricea : Det B = -76 = 4(-19) = 4 det A

11. OBSERVATIE • ESTE O PROPRIETATE IMPORTANTA PENTRU CA NE PERMITE SA SCOATEM FACTOR COMUN DE PE LINII SI/SAU COLOANE ASTFEL INCAT DETERMINANTUL CARE RAMANE ESTE MAI USOR DE CALCULAT.

12. exemplu

13. PROPRIETATEA 5 • Dacă toate elementele unei linii (coloane) dintr-o matrice pătratică sînt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;

14. EXEMPLU

15. PROPRIETATEA 6 • Dacă o matrice conţine douălinii (coloane) proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;

16. exemplu Observam ca liniile 1 si 2 suntproportionalepentru ca elementeleliniei 2 se obtin din elementele liniei1 prininmultire cu 3 L2= 3L1

17. PROPRIETATEA 7 • Dacă o linie (coloana) a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două linii (coloane), atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;

18. EXEMPLU Observam ca elementeleliniei 2 se obtinprinadunareaelementelorliniei 1 cu elementeleliniei 3 inmultite cu 2. decilinia 2 este o combinatieliniare a liniilor 1si 3. L2=L1+2L3 Det A =0

19. Proprietatea 8 • Dacaelementeleuneilinii (coloane)se pot scrie ca suma de doitermeniatuncideterminantulmatricei de poatescrie ca suma de doideterminanti in care elementeleliniilor(coloanelor) suntaceleasi cu exceptialiniei (coloanei) scrisa ca suma.

20. exemplu

21. PROPRIETATEA 9 • Dacă la elementele unei linii (coloane) a matricei A adunăm elementele ale altei linii(coloane) înmulţite cu unul şi acelaşi număr a,atunci se obţine o matrice, al cărei determinant este egal cu determinantul matricei A;

22. concluzii • CAND UN DETERMINANT ESTE ZERO?

23. Dacă matricea A are două linii(coloane) egale, atunci determinantul ei este egal cu zero; • Dacă toate elementele unei linii(coloane) dintr-o matrice pătratică sunt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero; Dacă o linie(coloana) a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două linii(coloane), atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero; Dacă o matrice conţine douălinii(coloane) proporţionale, atunci determinantul ei este egal cu zero;

24. Aplicatiepractica

25. Test 1. Daca o linie a unui determinant este inmultita cu 2 determinantul se modifica ? 2. Daca la coloana a doua adaug prima coloana obtin un determinant mai mare decat primul ? 3. La linia a doua a unui determinant scad prima linie inmultita cu doi. Ce se intampla ? 4. Fie determinantul el va fi egal cu sau cu explicaţi răspunsul ales. 5. Daca inversez liniile cu coloanele intr-un determinant atunci se obtine un determinant nul?

26. Test 6. Dacatoateelementeleunui determinant suntpozitivedeterminantulestepozitiv? 7. Un determinant estenuldacatoateelementele sale suntnule? 8. Daca o linieesteegala cu o coloanadeterminantulestenul? 9. Daca o coloana a uneimatricipatraticeeste o combinatieliniara de celelaltecoloaneatuncideterminantulesteegal cu ? 10. Existaproprietativalabiledoarpentruliniisaupentrucoloane? 11. Se poatecalculadeterminantuluneimatrici de doualiniisitreicoloane? 12. Dacainmultesc cu zero o liniesi o adun la alta se obtine un determinant nul?

27. Test 13. Care estemai mare: - determinantul care are elementele de pedoualiniiegale cu 10 saualtul care are elementele de peultimeledouacoloaneegale cu 100? 14. Este corecturmatorulcalcul? 15. Este corecturmatorulcalcul? 16. Motivati de cedeterminantulesteegal cu 0, fara a face calcule. I7.DacaDet(A) > Det(B) atunciDet(A*B) > Det(A) * Det(B) ?

28. Test • 18. Fie . • Ceproprietati au fostaplicate? • Suntcorectaplicate? • Undeestegreseala? • 19. Dacaschimbdoualiniiintreeledeterminantulobtinutesteopusuldeterminantului initial. • 20. Candinmultim un determinant cu un numarvominmultitoateelementeledeterminntului cu acelnumar ?

29. Rezolvare test • Da • Nu • Se obtineacelasi determinant. • Corecteste al doileacalcul. • Nu • Nu • Nu • Nu • Nu • Proprietatilesuntvalabileatatpentrulinii cat sipentrucoloane.

30. Rezolvare test 11. Determinantul se calculeazanumaipentrumatricipatratice. 12. Nu 13. Ambiideterminantisuntnuli. 14. Nu, Factorulcomun se scoate de pe o liniesau de pe o coloana. 15. Nu, Factorulcomun se scoate de pe o liniesau de pe o coloana. 16. Dadeoareceuna din liniiestecombinatieliniara a celorlaltedoua. 17. Nu 18. a) Proprietatile 2, 9. b) Nu c) Ultimul determinant estenuldatoritaproprietatii 2 decirezultatuleste 0. 19. Da 20. Nu