Le lambda-calcul : réductions, causalité et déterminisme

Le lambda-calcul : réductions, causalité et déterminisme Gérard Berry Collège de France Chaire Informatique et sciences numériques Cours 2, 2 décembre 2009

Le -calcul pur • x, y, z,... : variables • x. M : abstraction fonction de x de corps M • (MN) : application d’une fonction à un argument • (x.M)N  M[N/x] : -réduction 0= f.x.x 1= f.x.fx ... n= f.x.fn(x) = f(f(...f(x)...)) let recFactmsi m1 alors 1 sinon Mult(m, Fact(m1)) Fact = Y (FACT) avec Y = (x. y.y(xxy)) (x. y.y(xxy)) Collège de France, G. Berry,

Boucle, récursion, ou point fixe Fact(m)  if m1 then 1 elseMult(m, Fact(m1)) • Récursion / point fixe FactY (f. mif m1 then 1 elseMult(m, f(m1))) • Boucle while e do p for (i=0; i<n; i++) p • Boucle récursion / point fixe : facile ! whilee do p  if e then { p; whilee do p } Whilee p = if ethen { p; While e p } While = Y (W. e. p. if ethen { p; W e p }) • Récursion  boucle : dur ! La récursion est plus primitive que la boucle G. Berry, Collège de France,

CAML : programmation fonctionnelle typée En C / C++ : pointeurs, boucles, etc. Bien mieux et plus sûr en CAML ! 3 1 4 head tail A faire : [ 3; 1; 4 ]  [4; 2; 5 ] # let rec mapf lst = match lst with [] [] | head :: tail (f head) :: (map f tail);; val map : ('a -> 'b) -> 'a list -> 'b list = <fun> # let f n = n+1 in map f [3; 1; 4];; : int list = [4; 2; 5] Théorème : un programme bien typé ne peut pas faire d’erreur non détectée à l’exécution

Erreur de type oubli de “::” # let recbadmapf lst= match lst with []-> [] | head :: tail -> (f head) (badmap f tail);; valbadmap : ('a -> 'b list -> 'b list) -> 'a list -> 'b list = <fun> # let f n = n+1 in badmapf [1; 2; 3];; Characters 24-25: let f n = n+1 in badmap f [1; 2; 3];; ^ Error: This expression has type int -> int but is here used with type int -> 'a list -> 'a list G. Berry, Collège de France, G. Berry, Collège de France, 5 02/12/2009

Récursion et ordre supérieuren calcul numérique M M2 M3 M4 M1 F(f, x) T (F, f, x) U (F, f, x) G. Berry, Collège de France,

Agenda • Cohérence et confluence • Causalité • Normalisation relative • Approximations, stabilité, séquentialité • Le -calcul simplement typé • Les types d’ordre supérieur G. Berry, Collège de France,

Interconvertibilité et cohérence • Mais nous avons caché quelque chose : le -calcul est-il cohérent? Par exemple, les entiers sont ils bien tous différents? mnsimn? 3+4 7  5+2 3+4 se calcule en 7, forme normale et 7 est aussi la valeur de 5+2 M N M Q S * * * * * P R N interconvertibles Le calcul ne change pas la valeur, il la rend plus lisible G. Berry, Collège de France,

Confuence (Church-Rosser) M M  N1 N2 N Théorème de Church-Rosser => forme normale unique => résultat déterministe G. Berry, Collège de France,

Interconvertibilité et cohérence M Q S * * * * * M N P R N => Met N confluent * * * * * * T => cohérence : mnsimn G. Berry, Collège de France,

Confluence locale – le cas simple (3+4)+(8-3) (3+4)+(8-3) 7+(8-3) (3+4)+5 résidu 7+5 G. Berry, Collège de France,

Confluence locale du -calcul (M)  (x.xx) ((y.y)M) ((y.y)M) ((y.y)M) (x.xx)M résidus résidu M((y. y) M) MM Les résidus de redex non réduits sont les mêmes G. Berry, Collège de France,

Disparition de redex (x.z) ((y.y)M) M (x.z) M * * N z Dans une réduction, un redex non réduit a 0, 1 ou plusieurs résidus Certains calculs peuvent être inutiles G. Berry, Collège de France,

Problème de récurrence M * * Argl ! Carreaux pas carrés ! G. Berry, Collège de France,

Développements finis (Curry & Feys) Théorème : Soient R1, R2, ..., Rn des redex de M. Les réductions qui réduisent tous les Ri et leurs résidus sont finies et conduisent au même terme M * * M réduire un paquet de redex en un coup N M G. Berry, Collège de France,

Solution 2 : lemme de Newman Soit M fortement normalisable (toutes les réductions terminent). Soit p(M) la longueur de la plus longue réduction de M. montrons la confluence par récurrence sur p(M) M N P 1. p(N)  p(M) * 2. p(P)  p(M) 3. CQFD G. Berry, Collège de France,

Création de redex – le cas simple (3+4)+(8-3) (3+4)+(8-3) 7+(8-3) (3+4)+5 résidu 7+5 7+5 créé 12 G. Berry, Collège de France,

Causalité : la création de redex ()  (x.xx) ((y.y)) ((y.y)) ((y.y)) (x.xx) ((y. y) )   (z.z)(z.z) créé (z.z) G. Berry, Collège de France,

Développements finis généralisés • Familles de redex d’un terme : les classes obtenues par fermeture réflexive, transitive et symétrique de résidu ()  (x.xx) ((y.y)) ((y.y)) ((y.y)) (x.xx) 3 familles ((y. y) )   (x.x)(y.y) créé Théorème (Lévy) : toute réduction qui réduit seulement des redex d’un nombre fini de familles est finie G. Berry, Collège de France,

Corollaire immédiat : la confluence M * La confluence locale n’introduit pas de nouvelles familles le lemme de Newman s’applique aux réductions finies des familles de redex initiales G. Berry, Collège de France,

si Mult(2, Fact(2))0 alors Fact(2) sinon si Fact(2)0 alors Mult(2, Fact(2)) sinon (Add(Mult(2, Fact(2))1, Fact(2)1)1)1 si • 0 si Add(•1, •1)1)1 • 0 Mult(2, •) Fact(2) Calculer sur les arbres en partageant les sous-arbres communs G. Berry, Collège de France,

Les résidus peuvent s’emboîter ! (x.xx) (y.(z.z)yy) (y.(z.z)yy) (y.(z.z)yy) (z.z)(y.(z.z)yy) (y.(z.z)yy) Théorème de Lévy : partager les redex de même famille donnerait des réductions optimales. Abadi-Gonthier-Lévy : mais les structures de données adaptées sont dures et chères! G. Berry, Collège de France,

Le problème du ou parallèle • En C, trois disjonctions booléennes sont possibles • OuS(e, e’) e | e’ :boucle si e ou e’ boucle • OuG(e, e’) e || e’ :si e alors vrai sinon e’ rend vrai si erend vrai, même si e’ boucle • OuD(e, e’)  e’ || e : symétrique • Le parallélismeest-il possible ? • existe-t-ilOuP(e, e’)qui rend vraisil’un de eoue’ • rend vrai, même sil’autre boucle ? Réponse : non ! G. Berry, Collège de France,

Approximations de -termes • On ajoute un nouveau terme , sans réduction. Un -terme est un terme avec des. • Pour un terme M, le terme M est obtenu par remplacement des redex externes de M par  • On écrit M  N si on peut obtenir N en remplaçant des de M par des -termes quelconques x.x((y.y)x) (z ((u.u)x)) x.xP (z)   x.x (z) G. Berry, Collège de France,

Théorèmes sur l’approximation Théorème de monotonie : siM  N et siM a uneformenormale sans, alors N a la même forme normale Théorème de stabilité : siM1 M et M2 M et siM1 et M2 ontuneformenormaleN sans , alors M1M2a la mêmeformenormale. M M1 M2 M2 M1M2 N G. Berry, Collège de France,

L’impossibilité du vrai parallélisme Corollaire : Il n’existe pas de terme « ou parallèle » OuP tel que M1  OuPvrai*vrai M2  OuPvrai*vrai M3  OuPfauxfaux*faux Preuve : Si OuP existe, on pose MOuPvraivrai On a M1 M et M2 M stabilité : M1 *vrai et M2 *vraiM1  M2 Oup *vrai monotonie : Oup *vraiOupfauxfaux *vrai confluence : contredit Oupfauxfaux*faux, contradiction ! G. Berry, Collège de France,

La séquentialité • Théorème de séquentialité : siMN, siMn’a pas de formenormalemaisN en a une, alorsilexiste un dansM qui doitdevenir non-dans toutP Mqui auneformenormale. point critique pour le calcul M      G. Berry, Collège de France,

Corollaire • Corollaire : lafonction de Gustavesuivanten’est pas définissable : Gusvraifaux * vrai Gusfauxvrai * vrai Gusvraifaux * vrai • Preuve : le termeGus  n’a pas de  critique G. Berry, Collège de France,

Le -calcul simplement typé f : DE, x : D fx: E g : EF g○f: DF ○ : (EF)(DE)  (DF) ○  f.g.x.g(f(x)) ○ : (EF)((DE)  (DF)) ○ : (EF)(DE)DF G. Berry, Collège de France,

Variables de type : , , , ... • Si  et sont des types, alors () est un type • Un terme bien typé Mdoit vérifier 4 conditions: • Tout sous-terme doit être bien typé • Toute abstraction doit avoir la forme • (x.M)() • Toute application doit avoir la forme • (M()N) • Toute les occurrences libres ou liées par le même lieur • doivent avoir le même type • ... x... x ...    • y. ... y... y...      Un terme M est typable s’il existe des types pour lui G. Berry, Collège de France,

Exemples idD: (DD)   (x. x)() ○ : (EF)(DE)DF ○  (g().f().x.(g()(f() (x))))()()() ouch!  ○  g().f().x. g(fx) mieux  2 f().x.(f(fx)) type ()() x. x xdemanderait t.q.  () G. Berry, Collège de France,

La normalisation forte du -calcul typé Proposition : Si M est typable de type et si M*N dans le calcul pur, alors N est typable de type  Théorème : Si M est typable, alors toutes les réductions de M sont finies Preuve : par morphisme des familles de Lévy Corollaire : il n’existe pas de combinateur de point fixe Y() tel que YMM(YM) Preuve : Y()(x.x)bouclerait ! G. Berry, Collège de France,

La limitation intrinsèque du  -calcul typé Théorème : sur les entiers de Church, seuls les polynômes étendus sont définissables polynômes étendus : projections, constantes, test à 0, fermés par somme et produits G. Berry, Collège de France,

Augmenter la puissanceen gardant la simplicité • Ajouterexplicitementce qui a disparu • PCF : booléens, entiers, Y()pour tout , cfcours 3 • ML / CAML : types paramétriques, inférence de types, etc. • resteindécidable, maisraisonnablementdomestiqué • Rendre le système de types plus puissant • augmenterl’expressivité, préserver de la normalisation forte • Système T (Gödel) • Système F (Jean-Yves Girard, John Reynolds) • Théorie des constructions (G. Huet, T. Coquand) G. Berry, Collège de France,

Théorie des constructions • On ne peut écrire que des programmes qui terminent, mais beaucoup de programmes qui terminent ! • La preuve de terminaison doit faire partie du programme • On peut ensuite l’enlever et extraire automatiquement un programme CAML exécutable du terme source complet • On peut aussi faire des maths vraiment formelles • CompCert, compilateur C prouvé (Leroy et. al.) • Théorème des 4 couleurs (Gonthier – Werner) G. Berry, Collège de France,

Agenda • Cohérence et confluence • Causalité • Normalisation relative • Le -calcul simplement typé • Approximations, stabilité, séquentialité • Les types d’ordre supérieur G. Berry, Collège de France,

Types d’ordre supérieur • Système F (Jean-Yves Girard / John Reynolds) : • quantificateurs explicites pour les types • deux réductions, une pour les termes et une pour les types . x.xde type.() b xb.xb b vrai (xb.xb) vrai vrai Théorème : un terme typable dans Système F est fortement normalisable Preuve : dur ! Relations avec les familles de redex : inconnue G. Berry, Collège de France,

Avantages de Système F • Permet des définitions de types très riches (record, listes, arbres, types récursifs, types existentiels, etc.) • Ne permet de coder que des fonctions qui terminent, mais permet de codertoutes les fonctions primitives récursives, plus d’autres • Mais la typabilité est indécidable et il n’y a pas d’inférence de types ! G. Berry, Collège de France,

Exemple : produit  • Lambda-calcul pur • x, y z.zxy • 1 p. p (x.y.x) • 2 p. p(x.y.y) • Système F •     . (  ) • x, y . z  .z x y • 1 p. p (x.x.x) • 2 p.  (x.x.y) G. Berry, Collège de France,

Entiers de Church, de typeint d  . ()() • 0intd. f ().x.x • +1intd. nint.f ().x.f (nu f x) • It : itération n fois d’une fonction f() sur y • It dnint . f().y. nf y • - It0f y 0 f y  (. f ().x.x) f y  y • - Itn+1f y  n+1 fy • It u f n+ 1 (. f ().x.f(nfx))  f y • It u f n+1  f(n y f) • It u f n+1  f(Itf n y) G. Berry, Collège de France,

Récursion primitive • R df(int).nint. y. • 1(It n (x.f(1x) (2x), +12x)y,0) R0f y  y Rn+1f y  f(Rnf y)n PreddR+1 Pred0 0 Predn+1n Pred(+1(+1(+1(+1(0))))) G. Berry, Collège de France,

Agenda • Cohérence et confluence • Causalité • Normalisation relative • Le -calcul simplement typé • Approximations, stabilité, séquentialité • Les types d’ordre supérieur • Bonus: inférence de types en ML G. Berry, Collège de France,

Types polymorphes à la ML 1. Factoriser les types identiques au lieu d’une identité () x.x pour chaque , avoir une seule identité (’a’a)où’a est un type générique, i.e. une variable de type quantifiée universellement. 2. Inférer les types pour ne pas les déclarer G. Berry, Collège de France,

# let recappendx L <= sinullLalorsconsxnil sinoncons(hdL) (appendx (tlL)) append : ‘a’alist’alist # let recappendx L <= sinullLalorsconsxnil sinoncons(tlL) (appendx (tlL))  type-check error ! G. Berry, Collège de France,

Conclusion • Le -calcul est apparemment hyper-simple mais il est hyper-expressif. • Les théorèmes syntaxiques sont fondamentaux mais durs. • Les types d’ordre supérieurs permettent de définir toutes les fonctions totales d’intérêt => fondamental pour la preuve de programme (CoQ). • Mais le -calcul reste strictement séquentiel. G. Berry, Collège de France,

Le lambda-calcul : réductions, causalité et déterminisme