Nierówności (mniej lub bardziej) geometryczne

1. Nierówności (mniej lub bardziej) geometryczne Rami M. Ayoush v. 1.0.3

2. Wstęp Chociaż będziemy zajmować się nierównościami, które są związane w jakiś sposób z geometrią, na początek udowodnimy/przypomnimy kilka algebraicznych przykładów. Dla nieujemnych a i b mamy: Jest to nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch liczb, wynik znany już w starożytności.

3. Wstęp Warto zwrócić na sposób dowodzenia, uzupełnienie do kwadratu. Jest on niezwykle skuteczny, wyrażenie jest bardzo często stosowane w teorii nierówności. Oto jeszcze kilka przykładów, które dowodzimy analogicznie: Prawdziwe są dla dowolnych liczb rzeczywistych.

4. Wstęp Przypomnijmy jeszcze (bez dowodu, chyba że istnieje na niego szczególne zapotrzebowanie) nierówności między średnimi: Kolejno od lewej: średnia harmoniczna, geometryczna, arytmetyczna i kwadratowa. Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną nazywana jest nierównością Cauchy’ego.

5. Przykład 1 Na początek rozwiążemy zadanie z XV Zawodów Matematycznych Państw Bałtyckich. Rozważmy prostokąt o bokach długości 3 i 4 oraz na każdym jego boku wybieramy dowolny punkt wewnętrzny. Niech x, y, z, u oznaczają długości boków czworokąta wyznaczonego przez te punkty. Udowodnić, że

6. Przykład 1 Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku: Z twierdzenia Pitagorasa i z (4):

7. Przykład 1 Aby udowodnić nierówność prawą trzeba najpierw wymyśleć i wykazać, że dla dodatnich a i b (a więc m.in. długości boków czworokąta) mamy: Stąd otrzymujemy:

8. Twierdzenie Van Aubela Do kolejnego zadania przyda się nam twierdzenie Van Aubela: Jeżeli w trójkącie ABC proste AA’, BB’ i CC’ przecinają się w punkcie M, to:

9. Twierdzenie Van Aubela W dowodzie będziemy korzystać z własności proporcji ( ) oraz faktu, że jeżeli dane są 3 współliniowe punkty A, B i C oraz niewspółliniowy z tą trójką D to:

10. Dowód:

11. Dowód:

12. Dowód:

13. Przykład 2 Wewnątrz trójkąta ABC obrano punkt M. Proste AM, BM, i CM przecinają boki BC, CA i AB odpowiednio w punktach P, Q i R. Udowodnij, że:

14. Przykład 2 Stosując do trójkąta ABC twierdzenie Van Aubela Otrzymujemy wyrażenie: …które szacujemy z dołu za pomocą faktu (2) lub nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną.

15. Boki trójkąta W niektórych nierównościach mamy „do czynienia” z bokami trójkąta. Do ich dowodzenia bardzo przydatny jest następujący fakt: Jeżeli a, b i c są długościami boków trójkąta to istnieją dodatnie liczby x, y i z spełniające układ równań: Lemat ten jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia o stycznej.

16. Przykład 3 Jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta, to zachodzi nierówność: Istotnie, stosując wspomniane podstawienie i korzystając z faktu (2) lub nierówności Cauchy’ego otrzymujemy:

17. Trygonometria Teraz trochę o zastosowaniach trygonometrii. Znane są nierówności: Z (5) i z wzoru możemy wywnioskować, że pole trójkąta nie przekracza połowy iloczynu dwóch jego dowolnych boków.

18. Przykład 4 W trójkącie boki a, b i c spełniają nierówności , a jego pole wynosi 1. Dowieść, że Zastosujemy tu wspomniany przed chwilą wniosek oraz nierówność trójkąta:

19. Przykład 5 Niech - kąty trójkąta. Udowodnić, że Z twierdzenia cosinusów i wzoru na sinus połowy kąta: Analogicznie

20. Nierówność Ptolemeusza Dla każdego czworokąta wypukłego ABCD prawdziwa jest nierówność:

21. Nierówność Ptolemeusza Obieramy na półprostych AB, AC i AD odpowiednio takie punkty B’, C’ i D’, że Wówczas , stąd (bkb), gdzie skala podobieństwa . Stąd Analogicznie . Stosując nierówność trójkąta do punktów B’, C’ i D’ mamy:

22. Przykład 6 Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność

23. Przykład 6 Wbrew pozorom jest to zadanie z geometrii. Stosujemy twierdzenie cosinusów i nierówność Ptolemeusza do czworokąta na rysunku. Ustalamy w nim jedynie miary kątów, przez co a, b i c są dowolne.

24. >Koniec< Powyższe przykłady nie wyczerpują tematu – przeciwnie są jedynie krótkim wstępem (a nawet wstępem do wstępu) do dowodzenia nierówności geometrycznych. Aby się o tym przekonać wystarczy przejrzeć kilka zbiorów zadań z olimpiad.