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To be continued  例

平移. 一、向量的內積. 1. 向量的夾角：. ，我們可以將它們平移. 使其始點重合，. . To be continued  例. 例如：在正三角形 ABC 中，. C. C. 120 . 60 . A. B. A. B. 特別地，. 本段結束. 2. 內積的定義：. 注意：. 而是一個「 實數 」。. (2) 內積的記法中，「  」不能省略，. 也不可以寫成「  」。. 本段結束. 3. 範例： 已知  ABC 是邊長為 6 的正三角形，. C. 解：. = 18 。. 60 . B.

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To be continued  例

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Presentation Transcript

  1. 平移 一、向量的內積 1. 向量的夾角： ，我們可以將它們平移 使其始點重合，  To be continued  例

  2. 例如：在正三角形 ABC 中， C C 120 60 A B A B 特別地， 本段結束

  3. 2. 內積的定義： 注意： 而是一個「實數」。 (2) 內積的記法中，「」不能省略， 也不可以寫成「」。 本段結束

  4. 3.範例：已知 ABC 是邊長為 6 的正三角形， C 解： = 18 。 60 B A C 120 A B =18 。 Let’s do an exercise !

  5. 馬上練習： 解： C 6 5 A B 4 ＃

  6. 4.內積的坐標表示： 證明： y B(x2 , y2) A(x1 , y1)  x O To be continued  (2)(3)

  7. To be continued  注 意

  8. 注意： 本段結束

  9. 5.範例： 解： 所以  = 45。 Let’s do an exercise !

  10. 馬上練習： 解： ＃

  11. 3.範例： 解： 整理得 k = 1。 Let’s do an exercise ! 馬上練習： 解： ＃

  12. 7. 內積的運算性質： 180   (3) 證明： To be continued  (4) (5) (6)

  13. 證明： To be continued  (6) & 注意

  14. 證明： 注意：內積沒有結合律， 本段結束

  15. 8.範例： 解： =  5。 = 22 32 = 922  1223cos60 + 432 = 36。 Let’s do an exercise !

  16. 馬上練習： 解： = 32 + 234cos120 + 42 = 13。 ＃

  17. 9.範例： 解： Let’s do an exercise !

  18. 馬上練習： 求 k 的值。 解： 0 0 即 8k  16 = 0， 解得 k = 2。 ＃

  19. 10.範例： 2 解： 4 30 2 To be continued  (2)

  20. 10.範例： 2 解： 4 30 2 60 60 60 60 Let’s do an exercise !

  21. 馬上練習： <102學測> 解： = 1。 x  y = 2 (3, 5) x  y = 0 (4, 4) (2, 4) = 2x + 5y x + y = 8 (3, 3) 當 (x , y) = (3 , 5)， x + y = 6 故所求為31。 2x + 5y有最大值 = 23 + 55 = 31。 ＃

  22. 11.範例： A D 解： B C Let’s do an exercise ! 馬上練習： A 2 D 解： 2 2 2 60 C B 2 2 = 6。 ＃

  23. 12.範例： 解：  ＃

  24. 13. 平行四邊形定理： 平行四邊形的二對角線長的平方和等於四邊平方和。 證明： D C A B To be continued  範 例

  25. 範例： 解： A 則 ABEC 為平行四邊形 5 3 x ( ∵對角線互相平分 ) B C D 7 x 3 5 E 得 (2x)2 + 72 = 2( 32 + 52 ) ＃

  26. 14.範例： 解： A 6 4 B C 3 2 D = 18。 ＃

  27. 15.範例： 求ABC之面積。 解： A 1  G 2 B C ＃

  28. 16.範例：試證：三角形的三高交於一點（三角形的垂心）。16.範例：試證：三角形的三高交於一點（三角形的垂心）。 證明： A P 0 Q H C B = 0。 即過 A點的高也通過 H，故三高交於一點。 ＃

  29. 二、兩直線的交角： 1. 直線的法向量： L 證明：設 P(x1 , y1)，Q(x2 , y2)為 L：ax + by + c = 0上相異兩點， L Q(x2 , y2) P(x1 , y1) = 0。 To be continued  (2) (3)

  30. 證明：設 A(x0 , y0)為L上一定點，且 P(x , y)為L上任一點， L：ax + by + c = 0 L P(x , y) A(x0 , y0) 常數 c 注意： 本段結束

  31. 2.範例：已知直線 L：3x  4y + 5 = 0， 試問下列哪些向量可為 L 的法向量？ 解：直線 L：3x  4y + 5 = 0的一個法向量可以是 所以 (1) (3) (4)均可為 L的法向量。 Let’s do an exercise !

  32. 馬上練習：已知直線 L：2x + 3y  5 = 0， 試問下列哪些向量可為 L 的法向量？ 解：直線 L：2x + 3y  5 = 0 的一個法向量可以是 所以 (2) (3) (4)均可為 L的法向量。 ＃

  33. 3. 兩直線的夾角：   L2 說明： L1 180 則直線L1與 L2的夾角為   與 180。 本段結束

  34. 4.範例： 解： = 45， 故 L1與 L2的交角為 45與 135。 Let’s do an exercise ! 馬上練習： 解： 故所求交角為 30或 150。  = 30， ＃

  35. 5.範例： 夾角為 30的直線方程式。 解：設所求直線 L的斜率為m M  mx  y  m + 2 = 0 L：(y  2) = m(x  1) L 30 (1, 2) x = 1 但直線 L必有兩解，故另一直線無斜率(鉛垂線)， 即 x = 1， ∵過點 (1 , 2)。 ＃

  36. 三、點到直線的距離 1. 點到直線的距離： 證明：設 A(x1, y1)為 L 上任一點， P(x0 , y0)   d  A(x1, y1) L：ax + by + c = 0 ax1+ by1+ c = 0 本段結束

  37. 2.範例：求點 P(3 , 4) 到直線 L：3x  4y + 5 = 0 的距離。 解： Let’s do an exercise ! 馬上練習：求點 P(2, 1) 到直線 L：12x  5y  3 = 0 的距離。 解： ＃

  38. 3.範例： 解： P(1, 2) L (x, y) = 2。 Let’s do an exercise !

  39. 馬上練習：(1) 已知 x，y 滿足 L：3x + 4y = 15，求 x2 + y2 的最小值。 (2) 設 O 為原點， P 為平面上的動點， 設點 C(1, 2)，求點 C 與集合 S 所成圖形的最近距離。 解：(1) x2 + y2表 L上任一點 (x , y)到 O(0 , 0)的距離平方。 x2 + y2的最小值 = 3。 Q(3, 3) (2) 如圖，點集合 S 所成的圖形為平行四邊形 OAQB， y C(1, 2) A(1, 2) ∴點 C與 集合 S圖形的最近距離 H B(2, 1) ＃ x O

  40. 4.範例：設直線 L：2x + 3y +5 = 0，A(1 , 3)，B(2 , 1)， B 解：由相似三角形 P L A = 1：6 。 = 2：12 ＃

  41. 5.兩平行線的距離： 證明： L1 P(x1 , y1) d L2 本段結束

  42. 6.範例： (2) 求平行直線 L：3x + 4y + 5 = 0，且距離為 2 的直線方程式。 解： Let’s do an exercise !

  43. 馬上練習： (2) 一圓與直線 x  y = 1以及直線 x  y = 5 所截的 弦長皆為14。求此圓的面積為多少 ? <102學測> 解： (2) 兩平行直線的距離 x  y = 1 x  y = 5 Q 7 故所求圓面積 = 51。 ＃ 7

  44. 7.範例：已知兩直線 L1：2x  y + 1 = 0，與 L2：x  2y + 5 = 0， 求兩直線的銳角平分線與鈍角平分線方程式。 解：設點 P(x , y)為角平分線上任一點。 L1 P L2 (1) 銳角平分線： 此時 P(x , y)在 L1：2x  y + 1 = 0的右側 2x  y + 1 > 0 x  2y + 5 < 0 P(x , y)在 L2：x  2y + 5 = 0的左側 故銳角平分線方程式為 2x  y + 1 =  (x  2y + 5) x  y + 2 = 0。 To be continued  鈍 角 平 分 線

  45. L1 Q L2 (2) 「鈍角」平分線： 2x  y + 1 < 0 此時 Q(x , y)在 L1：2x  y + 1 = 0的左側 Q(x , y)在 L2：x  2y + 5 = 0的左側 x  2y + 5 < 0 故鈍角平分線方程式為  (2x  y + 1) =  (x  2y + 5) x + y  4 = 0。 ＃

  46. 8.「圓上」已知切點的切線方程式：過圓 x2+ y2+ dx + ey + f = 0 上 已知點 A(x0 , y0)的切線方程式為 證明：設點 P(x , y)在 L上， L A P(x , y) Q 因為 A(x0 , y0)在圓上， 得 x02 + y02 = dx0  ey0  f， To be continued  範 例

  47. 範例：(1) 求通過圓 x2 + y2 = 5上一點 A(1  2) 的切線方程式。 (2) 求通過圓 (x1)2 + (y+2)2 = 25上一點 A(4  2) 的切線方程式。 解：(1) 因為切點 A(x0, y0) = (1 , 2) 切線：1 x + 2 y = 5。 故所求為 x + 2y = 5。 (2) 由 (x1)2 + (y+2)2 = 25得 x2+ y2  2x + 4y  20 = 0， 又切點 A(x0, y0) = (4 , 2) 整理得所求為 3x + 4y = 20。 ＃

  48. 9.範例：兩圓 C1：(x10)2 + (y8)2 = 25，C2：(x+12)2 + (y12)2 = 225， (2) 兩外公切線的交點。 求：(1) 外公切線段長。 (3) 外公切線的方程式(有兩解)。 解： B 20 C A 20 10 O1 O2 = 20。 To be continued  (2) (3)

  49. (2) 兩外公切線的交點。 (3) 外公切線的方程式 (有兩解)。 B A 15 2k 5 k P O2 O1 (3) P (21  6) 在圓外，設過 P的切線 L：y  6= m ( x  21 ) mx  y  21m + 6 = 0， 故所求為 7x  24y  3 = 0與 3x + 4y  87 = 0。 ＃

  50. 10. 圓的極線 (切點弦直線)： 設點 P(x0 , y0)在圓 C：x2+y2+dx+ey+f=0 的外部，過 P的二直線 L1、L2與圓 C分別相切於 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)兩點，則 L1 A (見附錄 1) P P P P 注意： (1) 若點 P(x0 , y0)在圓上 B L2 (2) 若點 P(x0 ,y0)在圓外 本段結束

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